(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices $\;P(1,1)\,$, $\;Q(3,-4)\,$ e $\;R(-5,2)\,$ de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice $\;Q\;$ é:
(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p . Então:
a)
se C dividir o segmento $\;\;\overline{AB}\;\;$ em partes iguais a $\;\; \overline{MA}\,=\,\overline{MB}\;\;$, então o segmento $\;\;\overline{MC}\;\;$ é perpendicular a p
b)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
c)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então $\;\;\overline{MA}\,=\,\overline{MB}\,=\,\overline{MC}\;\;$ implica que o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
d)
se ABC for um triângulo equilátero e o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C .
(MACKENZIE - 1979) O triângulo $\,MNP\,$ retângulo em $\,N\,$ e o paralelogramo $\,NPQR\,$ situam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais":
a)
é sempre verdadeira.
b)
não pode ser analisada por falta de dados.
c)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = \overline{QR}$.
d)
nunca é verdadeira.
e)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = 2\overline{QR}$.
(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:
(PUC-SP - 1982) Um triângulo isósceles $ABC$, com $AB = BC = 30$ e $AC = 24$, tem o lado $AC$ contido em um plano $\alpha$ e o vértice $B$ a uma distância 18 de $\alpha$. A projeção ortogonal do triângulo $ABC$ sobre o plano $\alpha$ é um triângulo: a) retângulo. b) obtusângulo. c) equilátero. d) isósceles, mas não equilátero. e) semelhante ao triângulo $ABC$.
(UFPR - 1980) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equilátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o ponto equidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtém-se:
(PUC-RS - 1980) Se "$\;\ell\;$" é a medida da aresta de um tetraedro regular, então sua altura mede:
a)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{2}}{3}$
c)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{4}$
b)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$
d)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{3}$
e)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{9}$
resposta:
Resolução:
altura do tetraedro regular:
Na figura, o segmento $\;\overline{MC}\;$ ou apótema "g" na face inferior do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$: $\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$ O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo. A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então: $\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$ $\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$ Assim temos: $\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$ Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$
(FUVEST - 1977) Num triângulo $\,ABC\,$, os ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ medem $50^o$ e $70^o$, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice $A$ forma com a reta $\overleftrightarrow{BC}$ ângulos proporcionais a:
(UCMG - 1982) Na figura ao lado, o ângulo $\phantom{X}A\hat{D}C\phantom{X}$ é reto. O valor, em graus, do ângulo $\phantom{X}C\hat{B}D\phantom{X}$ é de:
(PUC-SP - 1984) Em um triângulo isósceles a média aritmética das medidas de dois de seus ângulos é 50°. A medida de um dos ângulos do triângulo pode ser:
Nessa figura, $\overline{AB} \cong \overline{AC}$, $\overline{BD}$ bissetriz de $A\hat{B}C$, $\overline{CE}$ bissetriz de $B\hat{C}D$ e a medida do ângulo $A\hat{C}F$ é $140^0$. A medida do ângulo $D\hat{E}C$, em graus, é:
(UFRPE - 1991) Observe que, na figura abaixo, a reta $\phantom{X}{\large \ell}\phantom{X}$ faz ângulos idênticos com as retas $\phantom{X}{\large \ell_1}\phantom{X}$ e $\phantom{X}{\large \ell_2}\phantom{X}$. A soma $\;\alpha\,+\,\beta\,+\,\gamma\;$ vale:
(COVEST - 1990) No triângulo ABC, o ângulo $\hat{A}$ mede 110°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C?
(FUVEST - 1977) $\;\;ABC\;\;$ é equilátero de lado $\;\;4\;$; $\;\;\overline{AM}\,=\,\overline{MC}\,=\,2\;$, $\;\;\overline{AP}\,=\,3\;\;$ e $\;\;\overline{PB}\,=\,1\;$. O perímetro do triângulo $\;\;APM\;\;$ é:
(F.C.M.STA.CASA - 1981) Na figura ao lado temos o triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região sombreada é, em cm² :
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a)
$\sqrt{3}\;$m
b)
$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m
c)
$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m
d)
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m
e)
$2\sqrt{2}\;$m
resposta:
Considerações:
A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício
Resolução: O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. $\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,
a)
$\;18\sqrt{427}$
b)
$\;27\sqrt{427}$
c)
$\;36\sqrt{427}$
d)
$\;108\sqrt{3}$
e)
$\;45\sqrt{427}$
resposta:
Considerações:
Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência: 1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 $\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$
Resolução:
Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$ 1. calcular $\;R\;$: $\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm
2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$: A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$. O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$
3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$): Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$. Pelo Teorema de Pitágoras: $\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$
4. Calcular a área lateral da pirâmide: A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa
Com os dados da figura, completar as igualdades dos itens a. até d.
a)
$\;h^2\; = \;m\centerdot\;$
b)
$\;c\centerdot h\;= \; $
c)
$\;c^2 \; = \;m \centerdot \; $
d)
$\;b^2\;=\;n \centerdot\;$
resposta: a. $n$ ($h^2 = mn$) b. $bm$ ($c \centerdot h = bm$) c. $a$ ($c^2 = ma$) d. $a$ ($b^2 = n \centerdot a$) ×
A altura do triângulo equilátero de lado $3$ cm. mede:
a)
$ \dfrac{1}{2} $ cm
b)
$\dfrac{3}{2}$ cm
c)
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm
d)
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ cm
e)
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm
resposta: Alternativa E
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero $\,ABC\,$ de lado 3 cm é traçada a altura $\,h\,$, que é perpendicular a $\,\overline{BC}\,$ e divide o segmento no seu ponto médio $\,M\,$.Considerando-se o triângulo retângulo $\,AMC\,$, temos:
hipotenusa
$\,\overline{AC}\,=\,3\,cm\,$
cateto
$\,\overline{MC}\,=\,\dfrac{3}{2}\,cm\,$
cateto
$\,\overline{AM}\,=\,h\,$
e pelo Teorema de Pitágoras: $\,\boxed{(AC)^2\,=\,(MC)^2\,+\,(AM)^2}\;\Rightarrow\;$ $ 3^2\,=\;(\dfrac{3}{2})^2\,+\,h^2\;\Rightarrow\,$ $\,\Rightarrow\;h^2 \,=\,9\,-\,\dfrac{9}{4}\;\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{36\,-\,9}{4}}\;\Rightarrow$ $\,\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{27}{4}}\,=\,\sqrt{\dfrac{3\centerdot9}{4}}\,=\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$
o valor $\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$ é satisfeito pela alternativa (E). Observações: ●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros. ●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos. ●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado $\,\ell\,$ é igual a $\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$.
Num triângulo retângulo, a hipotenusa menos o cateto maior é igual a $\;3\;m$, a hipotenusa menos o cateto menor é igual a $\;6\;m$. Calcule os catetos e a hipotenusa.
resposta:
Resolução: $\;a - b = 3\;\Rightarrow\;b = a - 3\phantom{X}$(I) $\;a - c = 6\;\Rightarrow\; c = a - 6\phantom{X}$(II) Pitágoras:$\phantom{X}a^2 = b^2 + c^2\phantom{X}$(III)
Substituindo (I) e (II) em (III) temos então: $\;a^2 = (a - 3)^2 + (a - 6)^2\;\;\Rightarrow\;$ $a^2 - 18a + 45 = 0 \;\; \Rightarrow\;$ $\Rightarrow\;$
$a = 15$ $a = 3$ (inadequado porque $\;b\;\neq\;0\;$)
Substituindo $\;a\;=\;15\;$ em (I) e (II) $\;b\;=\;12\;$ $\;c\;=\;9\;$ Resposta:
o triângulo procurado tem catetos $9m\;$,$\;12m\;$ e hipotenusa $\;15m\;$
Determinar o valor do lado $\;\overline{AC}\;$ na figura abaixo:
resposta:
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
A diagonal de um quadrado de lado medindo $\;a\;$ tem medida igual a $\;a \centerdot \sqrt{2}$. ×
(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$. O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento. Determinar o volume do prisma $\;C\;$.
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
resposta:
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).
aresta da base altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$ área da base, o triângulo equilátero
Resolução: 1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$ A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).
2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)
Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$
Na figura, calcule "$\;x\;$" em função de $\;a\;$.
resposta: Resolução: $\;z^2\; = a^2 + a^2$ $\;y^2\; = z^2 + a^2 \; \Longrightarrow\; y^2 \; = a^2 + a^2 + a^2$ $\;w^2\; = y^2 + a^2\; \; \Longrightarrow\; w^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$ $\;x^2\; = w^2 + a^2 \;\Longrightarrow \; x^2 \; = 5 \centerdot a^2$ então Resposta: $\;x\; = \; a \sqrt{5}$ Observe que $\;x\; = a \centerdot \sqrt{n + 1}\;$, sendo $\;n\;$ o número de triângulos retângulos. ×
Na figura, $\;\overline{AD}\;$ é bissetriz interna relativa ao lado $\;\overline{BC}\;$. Calcule a medida do segmento $\;\overline{AD}\;$, sendo $\;AB \;= 6 cm$, $\;AC\; = 10 cm$ e $\;m(A\hat{B}C) = 90^o$.
resposta:
Resolução: Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras: $(\overline{AC})^2 = (\overline{AB})^2 + (\overline{BC})^{2} \;\Rightarrow $ $\;10^2\;= \;6^2 + (\overline{BC})^2 \; \Rightarrow \;\overline{BC} = \sqrt{64} \;\Longrightarrow \; \overline{BC} = 8$ portanto, na figura $\;a + b\; =\; 8$ Pelo Teorema da Bissetriz Interna, $\frac{6}{a}\; = \;\frac{10}{b}$$\Rightarrow 5a - 3b \;=\;0$ então: $\begin{align} 3a + 3b = 24 \phantom{XXXX} (I) \\ \;5a - 3b =\; 0 \phantom{XXXX}(II) \end{align}$ Somando (I) e (II) $\Longrightarrow 5a + 3a = 24 \Longrightarrow$ $\;a \; = 3\;$ e $\;b\;=\;5$ Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD: $\;h^2 = 6^2 + 3^2 \;\;\Rightarrow h^2 \;= 36 + 9 \;\;\Rightarrow h\;=\; 3\sqrt{5} $
Resposta: A medida do segmento $\;\overline{AD}\;$ é $\;3\sqrt{5}\;cm$ ×
Um triângulo cujas medidas dos três lados são, respectivamente $\;7, \;8\;$ e $\;13\;$ é: a) um triângulo retângulo b) um triângulo acutângulo c) um triângulo obtusângulo d) um triângulo equiângulo e) nenhuma das anteriores
Numa sequência de três números naturais (a , b , c) , os termos são chamados de "Números Pitagóricos" se forem tais que c² = a² + b² . Assinale a alternativa onde só existem Números Pitagóricos:
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo $\phantom{X}ABC\phantom{X}$ é retângulo e $\;\overline{AH}\,=\,h\;$ é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
(ENERJ) Entre duas torres de 13 m e 37 m de altura existe na base uma distância de 70 m. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano?
(USP) Na figura, temos a representação de um retângulo inscrito num setor de $\;90^o\;$ e de raio $6m$. Medindo o lado OA do retângulo $\;\frac{2}{3}\;$ do raio, o produto $OA\;\times\;AB\;$ é:
(USP) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo $ABC$: $\;\measuredangle\; CAB = 30^o\;$; $\;AB = 8m\;$;$\;CB = 5m\;$. Pode-se afirmar que:
a) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;-\;3)\;m$ é a única solução. b) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;+\;3)\;m$ é a única solução. c) $AC\;=\;(4\sqrt{3}\;-\;2)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(4\sqrt{2}\;+\;3)\;m\;$ d) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;-\;3)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(2\sqrt{3}\;+\;3)\;m\;$ e) $AC\;=\;(4\sqrt{3}\;-\;3)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(4\sqrt{3}\;+\;3)\;m\;$
(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.
resposta:
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a $r_1$ (a reta tangente).
Então $\alpha = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o\;$ e sabemos que a tangente de $30^o$ é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. $tg30^o = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente} = \dfrac{OA}{AP} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow$ $ \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow \; r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\;$
2.
o arco $\stackrel \frown{AOB}$, suplementar de $\stackrel \frown{AOC}$, mede $120^o$.
Então a superfície $S = \dfrac{120^o}{360^o} \centerdot \pi (r)^2 = \dfrac{\pi}{3}(\dfrac{\sqrt{6}}{3})^2 = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
Calcular o lado $\;a\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ sabendo-se que $\;\hat{B}\,=\,60^o\,\text{, } \hat{C}\,=\,45^o \;\text{ e }\; \overline{AB}\,=\, 2\text{ m}$.
(UFMG - 1990) Os lados de um triângulo isósceles medem $\,5 \text{ cm, } 6 \text{ cm e } 5\text{ cm}\,$. O volume do sólido que se obtém girando-o em torno de sua base, em $\,cm^3\,$, é:
(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio $\,R\,$ tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale $\, \dfrac{R}{m}\phantom{X} (m \geqslant 1)\,$. Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:
(STO AMARO) Se forem indicados por $\;a \text{, } b \text{, } c \;$ os três lados de um triângulo e $\;\hat{A} \text{, } \hat{B} \text{, }\hat{C}\;$, respectivamente, os ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados $\;a \text{, } b\;$ e o ângulo $\,\hat{B}\,$, assinale qual das fórmulas abaixo poderá ser utilizada para calcular o lado $\,c\,$. a) $\,a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,2bc\,\operatorname{cos}A\,$ b) $\,b^2\,=\,a^2\,+\,c^2\,+\,2ac\,\operatorname{cos}(A\,+\,C)\,$ c) $\,c^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,2ab\,\operatorname{cos}C\,$ d) $\,c^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,2ab\,\operatorname{cos}(A\,+\,B)\,$ e) $\,b^2\,=\,a^2\,+\,c^2\,+\,2ac\,\operatorname{cos}(A\,+\,B)\,$
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo $\,ABC\,$ os ângulos $\;\hat{B}\text{ e } \hat{C}\;$ são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e $\,\operatorname{sen}C\,=\,{\large \frac{\operatorname{sen}B}{2}}\;$, calcule as medidas dos catetos.
resposta: $\,\frac{3 \sqrt{5}}{5}\,\text{cm. e }\,\frac{6\sqrt{5}}{5}\,\text{cm.}$
(FUVEST) Em um triângulo $\,ABC\,$ o lado $\,AB\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ e o ângulo $\,\hat{C}\,$, oposto ao lado $\,AB\,$, mede $\,45^o\,$. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
resposta:
Resolução:
Na figura, $\,\triangle ABC\,$ onde o ângulo $\,\hat{C}\,$ mede 45° e o lado $\,\overline{AB}\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro $\,O\,$.
Se $\,A\hat{C}B\,$ é um ângulo inscrito, então o ângulo $\,A\hat{O}B\,$ é o ângulo central correspondente e mede o dobro de $\,A\hat{C}B\,$, ou seja, mede $\,2\,\centerdot\,45^o\,=\,90^o\;$ $\,\longrightarrow \,$ o triângulo $\,A\hat{O}B\,$ é reto em $\,\hat{O}\,$
O triângulo $\,AOB\,$ é isósceles com dois lados iguais ao raio $\;r\;$ da circunferência e o terceiro lado igual a $\;4\sqrt{2}\,$.
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles $\,AOB\,$ temos:
Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é $\,\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{\,2\,}$ podemos utilizar o Teorema dos Senos: $\, \dfrac{med(AB)}{sen\,45^o}\,=\,2\, \centerdot \, Raio\;\Rightarrow\;\dfrac{\;4\sqrt{\,2\,}\;}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \,=\,2R\,\Rightarrow$ $\,2R\,=\,8\;\Rightarrow\;R\,=\,4\,$
