(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a)
$\sqrt{3}\;$m
b)
$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m
c)
$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m
d)
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m
e)
$2\sqrt{2}\;$m
resposta:
Considerações:
A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício
Resolução: O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. $\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$
"Quando percebi que o doente expirava, recuei aterrado, e dei um grito, mas ninguém me ouviu."(M. de Assis) A função sintática das palavras doente — grito — ninguém — me é, respectivamente:
Assinale a alternativa em que o A craseado introduz termo sintático com função de objeto indireto.
a) Ele se referia à mesma pessoa. b) Quando se dirigirá à casa paterna? c) Chegaremos possivelmente às duas horas. d) Estamos à sua espera. e) Foi um almoço à moda americana.
Considerando a oração "os cabelos, em bandós, eram apanhados sobre a nuca por um velho pente de tartaruga" , assinale a opção em que a função sintática dos constituintes grifados aparece correta e na ordem correta.
a)
núcleo do agente da passiva, adjunto adnominal
b)
núcleo do agente da passiva, complemento nominal
c)
núcleo do adjunto adverbial de lugar, adjunto adnominal
d)
núcleo do adjunto adverbial de lugar, complemento nominal
Leia o trecho abaixo e indique a função sintática das palavras grifadas. " Como é solene e grave, no meio das nossas matas, a horamisteriosa do crepúsculo, em que a natureza se ajoelha aos pés do criador, para murmurar a preceda noite." (J. de Alencar. O Guarani.) As funções sintáticas das palavras sublinhadas são, respectivamente:
a)
predicativo do sujeito, adjunto adverbial de lugar, núcleo do sujeito, adjunto adnominal, sujeito, adjunto adverbial de lugar, objeto direto e adjunto adnominal.
b)
adjunto adnominal, predicativo do sujeito, objeto direto, sujeito, agente da passiva, adjunto adverbial de lugar, sujeito e adjunto adnominal.
c)
sujeito, sujeito, adjunto adverbial de lugar, predicativo do sujeito, objeto direto, objeto indireto, complemento nominal e sujeito.
d)
objeto direto, agente da passiva, sujeito, objeto indireto, complemento nominal, sujeito, adjunto adverbial de lugar e sujeito.
e)
agente da passiva, adjunto adnominal, sujeito, sujeito, predicativo do sujeito, complemento nominal, objeto direto e objeto indireto.
(ITA - 2004) Considere a função $\;f : {\rm I\!R} \rightarrow \mathbb{C}$, $f(x) = 2\;cosx + 2\;i\;senx$. Então, $\;\forall \; x, y \; \in \; {\rm I\!R}\;$, o valor do produto $\;f(x)f(y)\;$ é igual a:
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,
a)
$\;18\sqrt{427}$
b)
$\;27\sqrt{427}$
c)
$\;36\sqrt{427}$
d)
$\;108\sqrt{3}$
e)
$\;45\sqrt{427}$
resposta:
Considerações:
Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência: 1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 $\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$
Resolução:
Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$ 1. calcular $\;R\;$: $\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm
2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$: A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$. O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$
3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$): Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$. Pelo Teorema de Pitágoras: $\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$
4. Calcular a área lateral da pirâmide: A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa
(ITA - 2004) Sejam as funções $\;f\;$ e $\;g\;$ definidas em $\;{\rm I\!R}\;$ por $\;f(x) = x^2 + \alpha x\; $ e $\;g(x) = -(x^2 + \beta x)\;$, em que $\alpha$ e $\beta$ são números reais. Considere que estas funções são tais que
$f$
$g$
Valor mínimo
Ponto de mínimo
Valor máximo
Ponto de máximo
$-1$
$< 0$
$\frac{9}{4}$
$> 0$
Então a soma de todos os valores de $\;x\;$ para os quais $\;(f \circ g)(x) = 0\;$ é igual a:
I) O proprietário da farmácia saiu. II) O proprietário saiu da farmácia.
Sobre elas são feitas as seguintes considerações: Na I, da farmácia é adjunto adnominal. Na II, da farmácia é adjunto adverbial. Ambas as frases têm exatamente o mesmo significado. Tanto em I como em II, da farmácia tem a mesma função sintática. Destas quatro considerações:
a) apenas uma é verdadeira b) apenas duas são verdadeiras c) apenas três são verdadeiras d) as quatro são verdadeiras e) nenhuma é verdadeira
(MED. ABC) Sabendo que a oração subordinada substantiva apositiva exerce a função de aposto e que este "é um termo de natureza substantiva que se refere a outro, também de natureza substantiva" , marque a alternativa que apresenta uma oração apositiva:
a) Disse-me: vá embora. b) Cometeu dois erros, aliás, três. c) Havia apenas um meio de ajudá-la: contar-lhe a verdade. d) "Como Sofia falasse das bonitas rosas que possuía, Rubião pediu para ir vê-las: era doido por flores." e) Não preciso de ajuda: sei arrumar-me sozinho.
(U.F.VIÇOSA) "O médico sabia piano e tocava agradavelmente; a sua conversa era animada; sabia esses mil modos que entretêm geralmente as senhoras quando elas não gostam..."(M. de Assis)
A oração grifada no período desempenha a função sintática de:
a) predicado nominal b) aposto c) predicativo d) complemento nominal e) adjunto adnominal
(PUC) "... uma lagoa compreende as nossas pequeninas desventuras, o efêmero que nos fere."
Os termos "que" e "nos" exercem função sintática respectivamente:
a) conjunção integrante e objeto direto b) pronome relativo (obj. dir.) e sujeito c) pronome relativo (sujetito) e objeto direto d) pronome relativo (sujeito) e objeto indireto e) conjunção integrante e objeto indireto
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
resposta:
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).
aresta da base altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$ área da base, o triângulo equilátero
Resolução: 1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$ A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).
2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)
Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$
Na figura, calcule "$\;x\;$" em função de $\;a\;$.
resposta: Resolução: $\;z^2\; = a^2 + a^2$ $\;y^2\; = z^2 + a^2 \; \Longrightarrow\; y^2 \; = a^2 + a^2 + a^2$ $\;w^2\; = y^2 + a^2\; \; \Longrightarrow\; w^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$ $\;x^2\; = w^2 + a^2 \;\Longrightarrow \; x^2 \; = 5 \centerdot a^2$ então Resposta: $\;x\; = \; a \sqrt{5}$ Observe que $\;x\; = a \centerdot \sqrt{n + 1}\;$, sendo $\;n\;$ o número de triângulos retângulos. ×
Calcular o lado $\;a\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ sabendo-se que $\;\hat{B}\,=\,60^o\,\text{, } \hat{C}\,=\,45^o \;\text{ e }\; \overline{AB}\,=\, 2\text{ m}$.
Dados $\,A\,=\,\lbrace \, 2, 3, 4 \,\rbrace\,$ e $\, B\,=\,\lbrace \, 3, 4, 5, 6\,\rbrace\,$, seja $\,f\,$ a Relação Binária de $\,A\,$ em $\,B\,$ tal que $\,f\,=\,\lbrace \, (x; y)\,\in \,A \times B \,\mid x\;$divide$\; y \,\rbrace\,$ Então:
(PUCC) São dados os conjuntos $\,A\,=\,\lbrace \, 3, 5, 6 \,\rbrace\,$ e $\,B\,=\,\lbrace \,4, 5, 9, 10, 12 \,\rbrace\,$ e a relação $\,R\,=\,\lbrace \,(x;y)\, \in \,A \times B\,\mid\,$ m.d.c$(x;y)\,=\,1 \,\rbrace\,$ O número de elementos da relação inversa de $\;R\;$ é:
Com base nas definições, resolver a equação: $(x,\, y)\centerdot(1, \,2) \, + \, (2,\, 3)\,=\,(4, \, 5)$
resposta: $\,x\,=\,\frac{6}{5}\,$ e $\,y\,=\,- \frac{2}{5}$ ou $(\frac{6}{5};-\frac{2}{5})$ ×
Se $\,A\,$ é um conjunto tal que $\,n(A \times A)\,=\,9\;$ e que $\,\lbrace \, (2;4), (4;5)\,\rbrace\, \subset \,A \times A\,$, determinar $\,A \times A\,$.
(PUCC) Sejam $\,M\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 0 \, \leqslant \, x \, \leqslant 5 \,\rbrace\,$ e $\,P\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 3 \, \leqslant \, x \, \leqslant 7 \,\rbrace\,$. O conjunto $\,(M\,-\,P)\,\times\,(P\,-\,M)\,$ é representado pela região:
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $A\,=\,\lbrace \,3,\, 4,\, 6 \,\rbrace\,$, $\;B\,=\,\lbrace \,1,\, 2\,\rbrace\,$ e $\,C\,=\,\lbrace \,3,\, 6,\, 9,\,12 \,\rbrace\,$, determine o conjunto $\,(C\,-\,A)\, \times\,B\,$.
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3 \,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$ represente, graficamente, o produto cartesiano $\,B\, \times\,A\,$.
Em relação ao gráfico a seguir que representa uma relação binária de $\,A\,$ em $\,B\,$, responda as questões:Se o gráfico representa ou não uma função de $\,A\,$ em $\,B\,$;Em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADOMÍNIO e o CONJUNTO IMAGEM da mesma.
resposta: a) é função b) D(f) = [1;4] CD(f) = [1;3] $\,Im(f)\,=\,$ $\lbrace y \in \mathbb{R} \;\mid\; 1 \leqslant y < 2\,$ ou $\, y = 3 \rbrace$ ×
(MED JUNDIAÍ - 1982) O domínio da função $\,f\;$, definida por $\,f(x)\,=\, \frac{\sqrt{2x - 1}}{2x - 1}\,$, é:
a)
$\,\lbrace \, x\; \mid \; x \in \mathbb{R}\;$ e $\;x \neq \frac{1}{2} \,\rbrace\,$
b)
$\,\lbrace \, x\; \mid \; x \in \mathbb{R}\;$ e $\;x > \frac{1}{2} \,\rbrace\,$
c)
$\,\lbrace \, x\; \mid \; x \in \mathbb{R}\;$ e $\;x \geqslant \frac{1}{2} \,\rbrace\,$
(OSEC) Seja $\,f\,$ a função tal que $\,f(x)\,=$ $\,x^3\,-\,8\,+\,(x^2\,+\,2x\,+\,4) \centerdot (2\,-\,x)\,$ O conjunto de todas as soluções da equação $\,f(x)\,=\,0\,$ é:
(FUVEST) As funções $\,f\,$ e $\,g\,$ são dadas por: $\left \{ \begin{array} {rcr} f(x)\,=\,{\large \frac{3}{5}}x - 1 \\ g(x)\,=\,{\large \frac{4}{3}}x + a \\ \end{array}\right.$ Sabe-se que $\;f(0)\,-\,g(0) = {\large \frac{1}{3}}\,$. O valor de $\;f(3)\,-\,3 \centerdot g({\large \frac{1}{5}})\;$ é:
(FEI) Seja $\,f\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,$ a função tal que: $\,f(x)\,=\, x^2\,+\,bx\,+\,c\,$ Calcule $\,b \centerdot c\;$ sabendo-se que $\,f(-1)\,=\, 1\;$ e $\,f(1)\,=\, \alpha\,$.
resposta: $ b \centerdot c \,=\, (\frac{\alpha - 1}{2})^2\,$
(FAAP) Dada a função $\,f(x)\,=\, 2x^2 \, + \, 1\,$, se $\,\Delta f \,=\, f(x)\,-\,f(3)\,$, expressar $\,\Delta f\,$ somente em termos de $\,\Delta x\,$, sendo $\,\Delta x \,=\, x\,-\,3\,$.
(UEMT) O domínio e o contradomínio de uma função $\,f\,$ são subconjuntos de $\,\mathbb{R}\,$. Sendo $\,f\,$ dada por $\,f(x)\,=\, {\large \dfrac{1}{\sqrt{x - x^2}}}\,$ o dominio de $\,f\,$ pode ser:
(MACKENZIE) Se $\,f\,$ é tal que $\,f(x\,+\,1) = {\dfrac{\;3x\,+\,5\;}{\;2x\,+\,1\;}},\,x\,\neq\,\dfrac{\;-1\;}{\;2\;}\,$, então o domínio de $\,f\,$ é:
(MAUÁ) Seja $\,f\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,$ a função tal que $\,f(x)\,=\,x^2\,$. Seja $\,g\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,$ a função tal que $\,g(x)\,=\,{\large \frac{f(x \,+\, h) \,- \,f(x)}{h} }\,$. Assim, $\,g(x)\,$ é igual a:
(PUC) Seja $\,D\,=\,\lbrace \, 1, \,2, \,3, \,4, \,5 \,\rbrace\,$, e $\,f\,:\, D \rightarrow \mathbb{R}\;$ a função definida por $\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)\centerdot(x\,-\,4)\,$. Então:
a)
$f\,$ é sobrejetora
b)
$f\,$ é injetora
c)
$f\,$ é bijetora
d)
O conjunto imagem de $\,f\,$ possui 3 elementos somente
(STA MARIA - MANAUS) O número de funções injetoras definidas em $\,A\,=\,\lbrace \,1, 2 \,\rbrace\,$ com valores em $\,B\,=\,\lbrace \,0,\,1,\,2,\,3\,\rbrace\;$ é:
(USP) Dizemos que uma função real é par se $\,f(x)\,=\,f(-x)\,$ e que é ímpar se $\,f(x)\,=\,-f(-x)\,$. Das afirmativas que seguem indique qual a falsa:
a)
O produto de duas funções ímpares é uma função ímpar.
b)
O produto de duas funções pares é uma função par.
c)
A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
Logo $ \left\{\begin{array}{rcr} &g \circ h : \, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\; \phantom{XXXXX} \\ &(g \circ h)(x)\,=\,x^2\,-\,3x\,+\,3 \\ \end{array} \right.$
É muito importante notar que $\; \left\{\begin{array}{rcr} g \circ f & \neq & f \circ g \\ h \circ f & \neq & f \circ h \\ h \circ g & \neq &g \circ h \\ \end{array} \right.$
Seja $\,f\,:\, \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\;$ a função definida por $\,f(x)\,=\,x^2\;$. Determine uma função $\,g\,:\, \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\;$ tal que a função composta $\;(f \circ g)\;$ seja uma função identidade.
(UBERABA) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma função bijetora (injetora e sobrejetora) com domínio $\,\mathbb{R}\,$ e contradomínio $\,\mathbb{R}\,$ é:
(ITA) Supondo $\,a < b\;$, onde $\;a\;$ e $\;b\;$ são constantes reais, considere a função $\,H(x)\,=\,(b\,-\,a)x\,+\,a\,$ definida em $\,[0; 1]\,$. Podemos assegurar que:
a)
$\,H\,$ não é uma função injetora.
b)
Dado $\,y_0 < b\,$, sempre existe $\,x_0\,$ em $\,[0; 1]\,$, tal que $\,H({\large x_0})\,=\,y_0\,$
c)
Para cada $\,y_0\,$, com $\,a < y_0 < b\,$, corresponde um único $\,x_0\,$ em $\,[0; 1]\,$ tal que $\,H({\large x_0})\,=\,y_0\,$
d)
Não existe uma função real $\,G\,$, definida em $\,[a; b]\,$ tal que $\;(G \circ H)(x)\,=\,x\;$ para cada $\,x\,$ em $\,[0; 1]\,$
e)
$\,H\,:\,[0; 1] \rightarrow [a; b]\,$ não é sobrejetora.
(FUVEST) Se $\;f\,:\, {\rm I\!R}\; \rightarrow \; {\rm I\!R} \;$ é da forma $\,f(x)\,=\,ax\,+\,b\;$ e verifica $\,(f \circ f)(x)\,=\,x\,+\,1\;$, para todo $\,x\,$ real, então $\,a\,$ e $\,b\,$ valem, respectivamente:
(UBERLÂNDIA) Se $\,f(x\,-\,2)\,=\,2x^2\;, \vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \,\in\, \, \mathbb{R}\,$, então $\,f(x\,+\,2)\,$ é igual a:
(VUNESP) Sejam $\;A\;$, $B$ e $C \;$ conjuntos de números reais. Sejam $\;f\,:\, A \rightarrow B \;$ e $\;g\,:\, B \rightarrow C \;$ definidas, respectivamente, por:
Se existe $\;f\,:\, A \rightarrow C \;$, definida por $\,h(x)\,=\,g{\large [f(x)]} \text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{, }\,x \,\in\, \, A\;$, então:
(MACKENZIE) A função $\,f\,$ definida em $\,\mathbb{R}- \lbrace 2 \rbrace\,$ por $\;f(x)\,= \large{\,\frac{2\,+\,x}{2\,-\,x}\,}\;$ é inversível. O seu contradomínio é $\,\mathbb{R} \,-\,\lbrace a \rbrace\;$. O valor de $\;a\;$ é:
(PUCC - 1982) Seja $\;f\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \;$ uma função definida por $\;f(x)\,=\,4x\,-\,x^2\;$. Definir a função $\;g(x)\,=\,f(x\,+\,2)\,-\,f(3)\;$.
(STA CASA - 1982) Diz-se que uma funçao $\,f\,$ é ímpar se, para todo x de seu domínio, tem-se que $\;f(-x)\,=\,-\,f(x)\;$. Se as funções seguintes são tais que $\;f\,:\,A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \;$, qual delas pode ser ímpar?
(MACKENZIE) Uma funcão $\,f\,$ é definida em $\,A\,$ e tem imagem em $\,B\,$. Sabe-se que o conjunto $\,A\,$ tem 2K - 2 elementos e o conjunto $\,B\,$ tem K + 3 elementos. Se $\,f\,$ é injetora, então:
(MACKENZIE - 1982) Seja a função $\;f\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \;$ definida por $\;f(x)\,=\,3\;$. Então $\;g\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \;$ definida por
$\;g(x)\,=\,$$ \; \underbrace{f(x)\centerdot f(x)\centerdot f(x)\centerdot f(x)\, ...\, f(x)}_{\large n \, fatores \, iguais \, a \,f(x)}\;$
Sabendo-se que $\;\hat{x}\;$ é um ângulo agudo e que $\;\operatorname{tg}\hat{x}\,=\,{\large \frac{5}{12}}\;$, calcule o $\,\operatorname{sen}\hat{x}\,$
resposta: Resolução: $\,\operatorname{sen^2}x \,=\,{\large \frac{\operatorname{tg^2}x}{1\,+\,\operatorname{tg^2}x}}\; \Rightarrow \operatorname{sen^2}x \,=\,{\large \frac{\frac{25}{144}}{1\,+\,\frac{25}{144}}} \,=\,\frac{25}{169}$ Então $\,\boxed{\operatorname{sen}x\,=\,\frac{5}{13}}\;\text{ (para x agudo) }$ ×
Calcular $\,y\,=\,{\Large \frac{\operatorname{cos}x\,-\,\operatorname{sec}x}{\operatorname{sen}x\,-\,\operatorname{cossec}x}}\;$, sabendo que $\,\operatorname{tg}x\,=\,3\;$.
Determine o vértice e o conjunto imagem da função $\;f\;\text{ de }\,\mathbb{R}\,\text{ em } \,\mathbb{R}\;$ definida por $\;f(x)\,=\,2x^2 \,-\,12x\,+\,10\;$.
resposta: Vértice: $\,V\,=\,(3;\,-8)\;$ Conjunto Imagem: $\;Im(f)\,=\,[-8;\,+\infty[ \;$ ou $\;Im(f)\,=\,\lbrace \,y\in \mathbb{R} \mid \; y \geqslant -8 \,\rbrace$ ×
(MAUÁ) Determinar a equação da parábola que tem seu eixo paralelo ao eixo $\;y\;$, tangencia o eixo $\;x\;$ no ponto $\;V(-1,\,0)\;$ e corta o eixo $\;y\;$ no ponto $\;P(0;\,1)\;$.
Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas:Se $\;f\;$ é uma função de $\;{\rm I\!N}\;\text{ em }\;{\rm I\!R}\;$ definida por $\;f(x)\,=\,a_x\;$, com $\;x\in {\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; a_x \in {\rm I\!R}\;$, então:
()
a)
$\;f\;$ é uma sequência de números reais.
()
b)
$\;D(f)\,=\,{\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; CD(f)\,=\,{\rm I\!R}$
$\;(a_n)\;$ é estritamente crescente se, e somente se, $\;a_n < a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
e)
$\;(a_n)\;$ é estritamente decrescente se, e somente se, $\;a_n > a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
f)
$\;(a_n)\;$ é constante se, e somente se, $\;a_n\,=\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
g)
$\;(a_n)\;$ é crescente se, e somente se, $\;a_n\,\leqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
h)
$\;(a_n)\;$ é decrescente se, e somente se, $\;a_n\,\geqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
i)
$\;(a_n)\;$ é alternante se, e somente se, $\;a_n\;$ não é monotônica.
Seja $\;f\,:\, {\rm I\!R} \rightarrow {\rm I\!R} \;$ uma função polinomial do 4° grau cujo gráfico é:
Determinar o conjunto verdade de:
a)
f(x) = 0
b)
f(x) > 0
c)
f(x) < 0
resposta: Resolução: a) O conjunto verdade para f(x) = 0 é o conjunto de valores para os quais y = 0. Observando o gráfico, y = 0 quando x é igual a -3 , 1 e 4. Portanto se $\,f(x)\,=\,0\,$ o conjunto verdade é $\,V\,=\,\lbrace -3,\,1,\,4 \rbrace\,$. b) O conjunto verdade de f(x) > 0 é o conjunto de todos os valores de x que correspondem a um y positivo e diferente de zero, a saber x < -3, x > 1 e x < 4 , e finalmente x >4. Então $\,V\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x < -3 \; \text{ ou } \; x > 1\;\text{ e }\; x\,\neq\,4\,\rbrace\,$. c) O conjunto verdade de f(x) < 0 é o conjunto de valores para os quais y < 0, ou seja, verificando no gráfico, x é maior que -3 e menor que 1. $\,V\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,-3 < x < 1\,\rbrace\,$. ×
Resolver em $\,\mathbb{R}\,$ as inequações, aplicando as propriedades da desigualdade.
(PUC) Seja $\;x\;$ elemento de $\;\mathbb{A}\;$. Se $\;x\,\notin \;]{\small -1};\,2]\,\text{, }\; x < 0\;$ ou $\; x \geqslant 3\,$, determine $\;\mathbb{A}\,$.
