(UFGO - 1980) No triângulo abaixo, os valores de x e y , nesta ordem, são:
a) e b) e c) e d) e e) e
(E)
(MACKENZIE - 1977) Na figura ao lado, vale:
a) 60b) 65c) 70 d) 75e) não sei.
(D)
(PUC-SP - 1981) Qual é o valor de x na figura ao lado?
a) b) c) d) e)
(E)
(CESESP - 1985) Considere a figura abaixo, onde G é o baricentro do triângulo ABC.
Assinale a única alternativa que corresponde à razão entre as áreas dos triângulos ABG e EGD.
a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 12
(D)
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:m, m, m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a) m b) mc) m d) me) m
Considerações:" A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto vale (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício Resolução:O triângulo é semelhante ao triângulo pois possuem o ângulo comum e os ângulos e são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. corresponde à
Alternativa D
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521
(A)
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
Com os dados das figuras abaixo, determine m .
m = 3,6
Com os dados das figuras abaixo, determine h .
h = 4,8
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo). aresta da base = altura do prismaárea da base, o triângulo equilátero Resolução:1. Sabemos que a área lateral é igual a A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura) . então 2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado em função da medida do lado do triângulo vale ) Então 3. Área total:
Na figura, calcule "" em função de .
Resolução: então Resposta:
Observe que , sendo o número de triângulos retângulos.
Os itens a seguir definem medidas de lados de triângulos. Classifique cada triângulo de 1 a 6, associando-os de acordo com o código:
A - um triângulo retângulo B - um triângulo acutângulo C - um triângulo obtusângulo D - um triângulo equiângulo E - não é triângulo
1. lados 3, 4 e 5 () 2. lados 12, 15 e 16 () 3.lados 5, 12 e 13 () 4. lados 10, 12 e 14 () 5. lados 2, 2 e 3 () 6. lados 2, 3 e 5 ()
1.lados 3, 4 e 5 (A) 2.lados 12, 15 e 16 (B) 3.lados 5, 12 e 13(A) 4.lados 10, 12 e 14(B) 5.lados 2, 2 e 3(C) 6.lados 2, 3 e 5(E)
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo é retângulo e é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(PUC - 1973)
Na figura, sabendo-se que:
,
,
Então, e valem, respectivamente:
a) 25 m e 25 m b) 32 m e 18 m c) 38 m e 12 m d) 40 m e 10 m e) nenhuma dasanteriores
(B)
Determine a medida do segmento mostrado na figura:
Com os dados da figura ao lado,
determine o valor de " x ".
x = 12
Na figura abaixo, determinar o valor de "x" .
x = 25
(CESGRANRIO - 1980) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120° . A maior diagonal deste paralelogramo mede:
a) b) c) d) e)
(D)
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo os ângulos são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e , calcule as medidas dos catetos.
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M dosegmento BD , tracemos o segmento MP paraleloa AD ,onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC .Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a) MN + MP = 2BM b) MN + MP = 2CM c) MN + MP = 2AB d) MN + MP = 2AD e) MN + MP = 2AC
Resolução:
1. é paralelo a e é paralelo a (I) (II) 2. Fazendo a soma (I) + (II): 3. é a mediana relativa ao lado é ponto médio de . 4. Da figura, , então concluimos que:
Resposta:
(D)
Na figura a seguir, o ângulo mede 46° e os triângulos , e são isósceles de bases , e , respectivamente. Quanto mede o ângulo ?
o ângulo DEF mede 44°
Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² eo volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.
Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.
Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal... Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETOe suas bases são POLÍGONOS REGULARES.
RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases
REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.
A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases.A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases.O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.
Resolução:Área Lateral(I) Volume(II) Dividindo (II) por (I) temos: Substituindo em (I): Resposta:As dimensões do prisma são
aresta da base igual a 3 m e altura igual a 8/3 m
(FUVEST - 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é:
a) 200 b) 204 c) 208 d) 212 e) 220
Alternativa D
Resolução:
Na figura, os pontos F, G, H e I são evidentemente colineares e, como tal, não podem formar triângulos entre si. O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos. Os pontos X, Y, W e Z são TAMBÉM colineares e não podem formar triângulos entre si. O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos. O número de combinações de 12 pontos tomados três a três para formar triângulos é . Então o número de triângulos com vértices nos pontos da figura é:
212 é a resposta correspondente ao item D.
(FUVEST - 1977)
Dados:;;; Então é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(MACKENZIE - 1979) No triângulo retângulo ABC da figura, b = 1 e c = 2. Então x vale:
a) b) c) d) e)
(E)
(FATEC - 1979) Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
a) ]1; 5[b) ]0; 4[c) ]2; 6[ d) ]3; 7[e) ]4; 8[
(B)
(FATEC - 1979) Na figura, ABCD é um retângulo. , e . Então é:
a) b) c) d) e)
(B)
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é: