(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo tal que está contido num plano , e os ângulos de vértices e medem, respectivamente, 70° e 60°. Se // , , , contém a bissetriz do ângulo e , então a medida do ângulo , assinalado é:
a) 165°b) 155°c) 145°d) 130°e) 120°
(B)
(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a) 5 b) 10c) 15 d) 18e) 24
O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.
O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo). Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si. As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes. Resolução:
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas. Modo intuitivo:A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos. Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5. 1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior. 2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior. 3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. 4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. 5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, e são 10 as diagonais do prisma pentagonal. Resposta:
Alternativa B
(ITA - 1990) Na figura abaixo é o centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por e é tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos , , e é dada, respectivamente , por 49° , 18° , 34° , determinar a medida dos ângulos 4 , 5 , 6 e 7 . Nas alternativas abaixo considere os valores dados iguais às medidas de 4, 5 , 6 e 7 , respectivamente.
a) 97°, 78°, 61°, 26° b) 102°, 79°, 58°, 23° c) 92°, 79°, 61°, 30° d) 97°, 79°, 61°, 27° e) 97°, 80°, 62°, 29°
(D)
(FGV - 1978) O perímetro da figura abaixo é:
a) b) c) d) e)
(C)
(UFGO - 1980) No triângulo abaixo, os valores de x e y , nesta ordem, são:
a) e b) e c) e d) e e) e
(E)
(MACKENZIE - 1977) Na figura ao lado, vale:
a) 60b) 65c) 70 d) 75e) não sei.
(D)
Determine as medidas dos seguintes ângulos em radianos (rad) :
a) 1,20 ; b) 2,9 ; c) 4,57 ; d) 0,80
(PUC-SP - 1984) A soma A + B + C + D + E das medidas dos ângulos:
a) é 60°. b) é 120°. c) é 180°.d) é 360°. e) varia de "estrela" para "estrela".
(C)
(CESESP - 1986) Na figura abaixo as retas e são paralelas e as retas e são perpendiculares. Assinale, então, dentre as alternativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença: " os ângulos distintos e são...
a) opostos pelo vértice" b) adjacentes" c) suplementares" d) complementares" e) sempre congruentes"
(D)
(CESGRANRIO - 1989) Na figura, as retas e são paralelas, e a reta é perpendicular a . Se o menor ângulo entre e mede 72°, então o ângulo da figura mede:
a) 36°b) 32°c) 24° d) 20°e) 18°
(E)
(CESGRANRIO - 1990) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
a) 142°b) 144°c) 148° d) 150°e) 152°
(B)
(CESGRANRIO - 1991) As retas e da figura são paralelas cortadas pela transversal . Se o ângulo é o triplo de , então vale:
a) 90°b) 85°c) 80° d) 75°e) 60°
(A)
(FUVEST - 1977) Num triângulo , os ângulos e medem e , respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice forma com a reta ângulos proporcionais a:
a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6
(D)
(UFMG - 1992) Os pontos são colineares e tais que cm, cm, cm e cm. Nessas condições, uma possível disposição desses pontos é:
a) d) b) e) c)
(A)
(PUC-SP - 1980) Na figura abaixo, a = 100° e b = 110° . Quanto mede o ângulo x ?
a) 30° b) 50° c) 80° d) 100° e) 120°
(A)
(FUVEST - 1981) Na figura AB = BD = CD . Então:
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y
(A)
(UFMG - 1981) Os ângulos e da figura medem:
a) b) c) d) e)
(D)
(UCMG - 1982) Na figura ao lado, o ângulo é reto. O valor, em graus, do ângulo é de:
a) 95 b) 100c) 105 d) 110e) 120
(B)
(PUC-SP - 1980) Na figura BC = CA = AD = DE . O ângulo mede:
a) 10°b) 20°c) 30° d) 40°e) 60°
(B)
(PUC-SP - 1984) Em um triângulo isósceles a média aritmética das medidas de dois de seus ângulos é 50°. A medida de um dos ângulos do triângulo pode ser:
a) 100°b) 90°c) 60° d) 30° e) 20°
(E)
(FUVEST - 1991) Na figura, AB = AC , BX = BY e CZ = CY . Se o ângulo A mede 40° , então o ângulo XYZ mede:
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 90°
(D)
(UFMG - 1992) Observe a figura.
Nessa figura, , bissetriz de , bissetriz de e a medida do ângulo é . A medida do ângulo , em graus, é:
a) 20 b) 30c) 40 d) 50e) 60
(C)
(UFRPE - 1991) Observe que, na figura abaixo, a reta faz ângulos idênticos com as retas e . A soma vale:
a) 180° b) 215° c) 230° d) 250° e) 255°
(C)
(FUVEST - 1978) Na figura abaixo, os ângulos , , e medem, respectivamente, , , e . O ângulo é reto. Qual a medida do ângulo ?
a) 16°b) 18°c) 20°d) 22°e) 24°
(B)
(COVEST - 1990) No triângulo ABC, o ângulo mede 110°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C?
a) 60° b) 80° c) 70° d) 75° e) 65°
(C)
(FATEC - 1978) Na figura abaixo, é a bissetriz do ângulo . Se e , então:
a) b) c) d) e) os dados são insuficientes para a determinação de
(B)
(PUC-SP - 1981) Qual é o valor de x na figura ao lado?
a) b) c) d) e)
(E)
(FUVEST - 1977) é equilátero de lado ; , e . O perímetro do triângulo é:
a) b) c) d) e)
(A)
(CESESP - 1985) Considere a figura abaixo, onde G é o baricentro do triângulo ABC.
Assinale a única alternativa que corresponde à razão entre as áreas dos triângulos ABG e EGD.
a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 12
(D)
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:m, m, m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a) m b) mc) m d) me) m
Considerações:" A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto vale (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício Resolução:O triângulo é semelhante ao triângulo pois possuem o ângulo comum e os ângulos e são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. corresponde à
Alternativa D
Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 12 horas e 20 minutos.
110°
Calcular, em graus, o ângulo convexo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 3h 42min.
141°
Calcular o comprimento de um arco descrito pela extremidade do ponteiro dos minutos, decorridos 22 minutos, sabendo que o ponteiro tem comprimento 3 cm .
cm
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521
(A)
(ITA - 2004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a . Então seu maior ângulo mede, em graus,
a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160
(E)
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
Com os dados das figuras abaixo, determine m .
m = 3,6
Com os dados das figuras abaixo, determine h .
h = 4,8
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo). aresta da base = altura do prismaárea da base, o triângulo equilátero Resolução:1. Sabemos que a área lateral é igual a A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura) . então 2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado em função da medida do lado do triângulo vale ) Então 3. Área total:
Na figura, calcule "" em função de .
Resolução: então Resposta:
Observe que , sendo o número de triângulos retângulos.
Na figura, é bissetriz interna relativa ao lado . Calcule a medida do segmento , sendo , e .
Resolução:
Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras: portanto, na figura Pelo Teorema da Bissetriz Interna, então: Somando (I) e (II) e Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
Resposta: A medida do segmento é
Os itens a seguir definem medidas de lados de triângulos. Classifique cada triângulo de 1 a 6, associando-os de acordo com o código:
A - um triângulo retângulo B - um triângulo acutângulo C - um triângulo obtusângulo D - um triângulo equiângulo E - não é triângulo
1. lados 3, 4 e 5 () 2. lados 12, 15 e 16 () 3.lados 5, 12 e 13 () 4. lados 10, 12 e 14 () 5. lados 2, 2 e 3 () 6. lados 2, 3 e 5 ()
1.lados 3, 4 e 5 (A) 2.lados 12, 15 e 16 (B) 3.lados 5, 12 e 13(A) 4.lados 10, 12 e 14(B) 5.lados 2, 2 e 3(C) 6.lados 2, 3 e 5(E)
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo é retângulo e é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(PUC - 1973)
Na figura, sabendo-se que:
,
,
Então, e valem, respectivamente:
a) 25 m e 25 m b) 32 m e 18 m c) 38 m e 12 m d) 40 m e 10 m e) nenhuma dasanteriores
(B)
Determine a medida do segmento mostrado na figura:
Com os dados da figura ao lado,
determine o valor de " x ".
x = 12
Na figura abaixo, determinar o valor de "x" .
x = 25
(CESGRANRIO - 1980) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120° . A maior diagonal deste paralelogramo mede:
a) b) c) d) e)
(D)
A que horas da noite os ponteiros de um relógio coincidem entre os números 8 e 9 do mostrador?
20 h 43 min 37,2 seg.
(STO AMARO) Se forem indicados por os três lados de um triângulo e , respectivamente, os ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados e o ângulo , assinale qual das fórmulas abaixo poderá ser utilizada para calcular o lado . a) b) c) d) e)
(B)
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo os ângulos são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e , calcule as medidas dos catetos.
(ITA - 1979) O valor numérico de um ângulo excede o de seu seno de 11% do valor do ângulo. O seno desse ângulo é 0,75 portanto o valor do ângulo é de aproximadamente:
a) 0,833 rad c) 48° b) 0,84° d) 0,676 rad e) 39°
Resolução:
regra de 3: ou
Resposta:
alternativa C
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M dosegmento BD , tracemos o segmento MP paraleloa AD ,onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC .Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a) MN + MP = 2BM b) MN + MP = 2CM c) MN + MP = 2AB d) MN + MP = 2AD e) MN + MP = 2AC
Resolução:
1. é paralelo a e é paralelo a (I) (II) 2. Fazendo a soma (I) + (II): 3. é a mediana relativa ao lado é ponto médio de . 4. Da figura, , então concluimos que:
Resposta:
(D)
Na figura a seguir, o ângulo mede 46° e os triângulos , e são isósceles de bases , e , respectivamente. Quanto mede o ângulo ?
o ângulo DEF mede 44°
Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² eo volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.
Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.
Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal... Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETOe suas bases são POLÍGONOS REGULARES.
RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases
REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.
A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases.A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases.O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.
Resolução:Área Lateral(I) Volume(II) Dividindo (II) por (I) temos: Substituindo em (I): Resposta:As dimensões do prisma são
aresta da base igual a 3 m e altura igual a 8/3 m
(FGV - 1976) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, a peça (2, 5) é também a peça (5, 2). Se em cada metade podem aparecer desde nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é:
a) b) c) d) e)
(E)
(ITA - 1982) Num triangulo isóceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos adjacentes são . Então a área do triangulo é de:
a) 168 m² b) 192 m² c) 84 m² d) 96 m² e) 157 m²
(A)
(FUVEST - 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é:
a) 200 b) 204 c) 208 d) 212 e) 220
Alternativa D
Resolução:
Na figura, os pontos F, G, H e I são evidentemente colineares e, como tal, não podem formar triângulos entre si. O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos. Os pontos X, Y, W e Z são TAMBÉM colineares e não podem formar triângulos entre si. O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos. O número de combinações de 12 pontos tomados três a três para formar triângulos é . Então o número de triângulos com vértices nos pontos da figura é:
212 é a resposta correspondente ao item D.
(FUVEST - 2018) Prolongando-se os lados de um octógono convexo , obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura.
A soma vale
a) 180° b) 360° c) 540° d) 720° e) 900°
(B)
(FUVEST - 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.
Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região hachurada, em função de x e y, é: a) b) c) d) e)
(B)
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
Resolução: a)
Seja o triângulo retângulo como na figura, com ângulo de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro circunscrita ao .O ângulo é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente . Portanto a medida de é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento , é um diâmetro da circunferência de centro , e que (centro) é ponto médio de . Sendo um raio da circunferência, então a medida de é igual à metade da medida do diâmetro . Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a e têm a mesma medida, então o é isósceles e portanto: . Sendo bissetriz de de medida 90°, então , donde concluímos que: resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
Na figura o comprimento do arco é 22 cm e O é o centro da circunferência. Então o perímetro da circunferência é:
a) 990 cm b) 67 cm c) 176 cm d) 88 cm e) nenhuma das respostas anteriores
(C)
(FUVEST - 1977)
Dados:;;; Então é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(MACKENZIE - 1979) No triângulo retângulo ABC da figura, b = 1 e c = 2. Então x vale:
a) b) c) d) e)
(E)
(FATEC - 1979) Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
a) ]1; 5[b) ]0; 4[c) ]2; 6[ d) ]3; 7[e) ]4; 8[
(B)
(FATEC - 1979) Na figura, ABCD é um retângulo. , e . Então é:
a) b) c) d) e)
(B)
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é: