Lista de exercícios do ensino médio para impressão
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

 



resposta:
prisma triangular regular

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$
aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero
Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).
$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$
2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)
Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$
3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$
$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

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