Para um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm , 4 cm e 5 cm , calcular:

a) A área total
b) A medida da diagonal

resposta:

a) Resolução:

área total = $A_t = 2(ab + bc + ac) \;\Rightarrow$
$\Rightarrow A_t = 2(5\centerdot 3 + 3\centerdot 4 + 4 \centerdot 5 )$
Resposta:

$A_t = 94\;cm^2$

b)Resolução

figura diagonal do paralelepípedo reto retângulo

diagonal do paralelepípedo = $D = \sqrt{\;a^2 + b^2 + c^2\;}$
$D = \sqrt{\;5^2 + 4^2 + 3^2\;}$
$ D = \sqrt{\;50\;}$
Resposta:

$D = 5\sqrt{2\,}\,cm$

×

Determinar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm, 4 cm e 5 cm.

resposta:

Resolução:
volume = $V = abc$
$V = 5 \centerdot 3 \centerdot 4 = 60\; cm^3$
Resposta:

O volume é $ V = 60 \;cm^3$

×

(MAUÁ) No cubo $\;(ABCDA'B'C'D')\;$ de aresta $\;\ell\;$, calcule o volume da parte piramidal $\;(AA'BD)\;$ e a altura do vértice $\;A\;$ em relação ao plano $\;A'BD\;$.
pirâmide resultado da secção do cubo

resposta: $\,V = \frac{\ell^3}{6}\;$ ; $\;H = \ell \frac{\sqrt{3}}{3}\,$
×

Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .

resposta:

A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.

Resolução:
$A_{face} = 5 \centerdot 10 = 50 \;cm^2 \;\;\;\Rightarrow$
$A_{lat} = 3 \centerdot A_f = 3 \centerdot 50 = 150\;cm^2$
Resposta:

$A_{lat} = 150\;cm^2$
×

Determinar a área total e o volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.

resposta:

A área total da um prisma é igual à soma da área de todas as faces laterais com a área da base superior e a área da base inferior.

Resolução:

Área total = $A_{tot} = A_{lateral} + 2 \centerdot A_{base} \;\;\Rightarrow$

$\;A_{lateral} = 3 \centerdot A_{face} = 3 \centerdot 5 \centerdot 10 = 150\; cm^2 \;\;$

$A_{base} = A_{\triangle} = \dfrac{\;b \centerdot h\;}{2} = \dfrac{\;\ell ^2 \sqrt{3}\;}{4} =$ $ \dfrac{\;5^2 \sqrt{3}\;}{4} = \dfrac{\;25\;}{4} \sqrt{3}\; cm^2$

$A_{total} = 150 + 2\dfrac{\;25\;}{4}\sqrt{3}\;\Rightarrow$

$A_{total} = \dfrac{\;25 \centerdot (12 + \sqrt{\;3\;})\;}{2} \; cm^2$

O volume de um prisma é a sua altura multiplicada pela área da base. Lembremos que, sendo um prisma, a base inferior e superior são congruentes.

Volume = $A_{base} \centerdot altura \;\;\Rightarrow \;\; V = A_{base} \centerdot H$

$\;V = \dfrac{25}{4}\sqrt{3} \centerdot 10 \;\;\Rightarrow$ $\;V = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$

Resposta:

$A_{total} = \dfrac{25 \centerdot (12 + \sqrt{3})}{2} \; cm^2\phantom{X}$ $V_{olume} = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$
×

Determinar o volume do prisma oblíquo da figura, onde a base é um hexágono regular de aresta 1 m e a aresta lateral que faz um ângulo de 60° com o plano da base mede 2 m .

resposta: Resolução:

$\;H = \frac{2\sqrt{3}}{2}\; = \; \sqrt{3}\;m \Rightarrow $
$A_{Base} = \ell \centerdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \;=\;3 \centerdot \frac{1 \sqrt{3}}{2} \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \;\; m^2$
$\;V\; = \; A_{Base} \centerdot H \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \centerdot \sqrt{3} \;=\; \frac{9}{2} \;=\;4,5 m^3$

$\; V\;=\;4,5\;m^3$

×

O apótema da base de um prisma triangular regular mede $\;5\;cm\;$ e a área lateral mede $\;100\;cm^2\;$. Calcular a altura do sólido.

resposta:

ilustração prisma triangular reto e apótema

Resolução:
1. a base é um triângulo equilátero, então:

$ \; h = \; $ altura do triângulo da base

$\;a =\; $ apótema

$\; h = 3a\;\;\;\;$ e $\;\;\;h =\frac{\ell \sqrt{3}}{2}\;$ $\;\Rightarrow \;\;3a = \frac{\ell \sqrt{3}}{2} \;\;\Rightarrow \;$ $\; 3 \centerdot 5 \; = \; \frac{\ell \sqrt{3}}{2}\;\; \Longleftrightarrow \;$ $\;\ell \; = \; \frac{30}{\sqrt{3}}\;\; \Longleftrightarrow \;$ $\; \ell \;=\;10\sqrt{3}\;cm$

2. Área lateral = $\;A_{lateral} \;=\; 3 \centerdot A_{face} \;\; \Rightarrow \;\; A_{face} \;=\; \frac{100}{3} cm^2$

Sendo $\;A_{face} \;=\; \ell \centerdot H \;$ temos que

$\; \frac{100}{3}\;=\;10 \centerdot \sqrt{3} \centerdot H \;\; \Rightarrow \;\; H \; = \frac{10}{3 \sqrt{3}}$

Resposta:

$\;H\;=\;\frac{10\sqrt{3}}{9} \; cm$
×

Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

resposta:

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$

aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero

Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).

$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$

2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)

Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$

3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$

$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² e o volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.

resposta:

Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.

Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal...

Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETO e suas bases são POLÍGONOS REGULARES.

RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases

REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.

A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases.
A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases.
O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.

prisma quadrangular regular indicados lados, bases e arestas

paralelepípedo prisma quadrangular de lado da base a e altura h

Resolução:
Área Lateral$\;A_L\,=\,4\centerdot ah\,=\,32\;\Rightarrow\;ah\,=\,8\,m^2\phantom{X}$(I)

Volume$\,=\,A_{\large base}\centerdot h\,=\,a^{\large 2}\centerdot h \,=\,24\phantom{X}$(II)

Dividindo (II) por (I) temos:

$\;\dfrac{a^{\large 2}h}{ah}\,=\,\dfrac{24}{8}\;\Rightarrow\;\boxed{\,a\,=\,3\,m\,}\;$

Substituindo $\;a\,=\,3\;$ em (I):

$\;3\centerdot h\,=\,8\;\Rightarrow\;\boxed{\,h\,=\,\dfrac{8}{3}\,m\,}\;$

Resposta:As dimensões do prisma são

aresta da base igual a 3 m e altura igual a 8/3 m
×

Demonstrar que, num paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da soma das medidas das arestas é igual à soma do quadrado da diagonal com a área total.

resposta: demonstração.

Nesse caso o paralelepípedo é chamado RETO RETÂNGULO:
●RETO significa: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

As faces laterais de todo prisma reto são sempre retângulos

.
●RETÂNGULO significa: suas bases são retângulos. Poderia ser chamado retangular.

Observação importante: Se você ainda não viu como calcular a diagonal de um paralelepípedo retangular reto veja este exercício sobre diagonal do prisma retangular reto.

Resolução:

Queremos provar que a soma das medidas das arestas elevada ao quadrato é igual ao quadrado da diagonal somado à área total.

Hipótese:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{prisma reto retangular} & \\ \mbox{dimensões }\,a,\, b \mbox{ e }c\phantom{XX}\; &\\ \mbox{diagonal }\,D\phantom{XXXXX}\;\, & \\ \mbox{área total }\,A_{\large t}\phantom{XXXXX} & \end{array} \right.\,$

Tese:

$\,\lbrace(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\;$

1.$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,+\,c^2\,+\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\;\Rightarrow\phantom{XX}$(I)
2.$\,D\,=\,\sqrt{a^2\,+\,b^2\,+\,c^2}\phantom{XX}$(II)
3.$\,A_{\large t}\,=\,2(ab\,+\,bc\,+\,ac)\,=\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\phantom{XX}$(III)
então substituindo em (I) as assertivas (II) e (III) temos que:
$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\, $

c.q.d.

Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo com dimensões a , b e c .

paralelepípedo reto retângulo de lados a, b e c traçada a diagonal D

resposta:

paralelepípedo reto retângulo com diagonal

Conforme a figura ao lado, o polígono $\,ABCD\,$ é o retângulo de uma das bases do paralelepípedo reto retângulo de medidas $\,a\,,\,b\,$ e $\,c\,$.

Traçada a diagonal da base $\,\overline{BC}\,$ obtém-se o triângulo retângulo $\,BAC\,$, reto no ângulo de vértice $\,A\,$, com catetos de medidas iguais às arestas da base a e b e hipotenusa o segmento $\;\overline{BC}\;$ oposto a $\,\hat{A}\,$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,ABC\,$ temos:

$\;\left(\overline{BC}\right)^{\large 2}\,=\,a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\;\Rightarrow\;\overline{BC}\,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$

Traçando-se a diagonal do paralelepípedo $\;\overline{FC}\;$ (veja figura) temos o triângulo retângulo $\;CBF\;$, reto em $\,\hat{B}\,$ cujos catetos são $\,\overline{BF}$ de medida igual a $\;c\;$ e $\;\overline{BC}\,$ de medida $\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,FBC\,$ temos a medida da hipotenusa $\,\overline{FC}\,$ que é uma diagonal do paralelepípedo.

$\;\left( \overline{FB} \right)^{\large 2}\, + \,\left( \overline{BC} \right)^{\large 2}\,=\,\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,\Rightarrow\;$

$\;c^{\large 2}\,+\,\left(\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\right)^{\large 2}\,=\,\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\;\Rightarrow\,$

$\;\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,=\,c^{\large 2}\,+\,\left(\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\right)^{\large 2}\,$

$\;\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,=\,c^{\large 2}\,+\,\left(a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\right)\,$

$\;\overline{FC} \,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}}\,$Donde concluímos que

A medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo é igual à raiz quadrada da soma do quadrado de cada uma das suas três dimensões.

$\;\mbox{medida da diagonal}\,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}}\,$
×

Num prisma reto, cada base é um retângulo que tem um lado o dobro do outro, a altura do prisma mede 15 cm e a área total 424 cm² .
Calcular as dimensões da base.

resposta:

O enunciado descreve um paralelepípedo reto retângulo com dimensões de (veja figura):
arestas da base x e 2x e
aresta lateral 15 cm .
Resolução:

Área Total:A_Total = 2(A_base) + A_lateral = 424

Área Total$\;A_T\,=\,2(x\centerdot 2x\,+\,x\centerdot 15\,+\,2x\centerdot \,15)\,=\,424\;\Rightarrow\;$

$\;2x^{\large 2}\,+\,15x\,+\,30x\,=\,212\;\Rightarrow\;$

$\;2x^{\large 2}\,+\,45x\,-\,212\,=\,0\;\Rightarrow\;$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} x_1\,=\,4\;\phantom{XXXX}\;& \\ x_2\,\mbox{ raiz negativa }& \end{array} \right.\,$

Resposta:Como as bases medem x e 2x, então as arestas da base são iguais a

4 cm e 8 cm.
×

(FEI - 1982) O sólido ao lado é composto de dois cubos de arestas 2 cm e 1 cm e centros M e N .
a) Achar a distância AB.
b) Achar a distância MN.

dois cubos sobrepostos de centros M e N e arestas 1 cm e 2 cm

resposta: $\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10}\,\mbox{cm}\;$ e $\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2}\,\mbox{cm}\;$

Considerações:
Observando-se a vista lateral do sólido, como na figura, o prolongamento da aresta lateral do cubo menor que contém o ponto A define o triângulo retângulo ACB, reto em C. Nesse triângulo aplicaremos o teorema de Pitágoras.

vista lateral do sólido formado por dois cubos de 1cm e 2cm de aresta

Resolução:

$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{AC}\;\mbox{ = 1 cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{BC}\;\mbox{ = 3 cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(\overline{AC})^{\large 2}\,+\,(\overline{BC})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$

$\;\Rightarrow\;(\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(1)^{\large 2}\,+\,(3)^{\large 2}\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10} \mbox{ cm}\;}$

Considerações:
Para calcular a distância $\;\overline{MN}\;$ consideraremos um plano que passe pelo centro de ambos os cubos e pelas diagonais das bases de ambos os cubos, gerando no sólido a secção representada no polígono azul da figura.

secção diagonal do sólido formado por dois cubos de 1cm e 2cm de aresta

Resolução:

Consideremos o triângulo NPM reto em P.
$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{PM}\,=\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mbox{ cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{NP}\,=\,\dfrac{3}{2}\mbox{ cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\overline{MP})^{\large 2}\,+\,(\overline{NP})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$

$\;\Rightarrow\;(\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{\large 2}\,+\,(\dfrac{3}{2})^{\large 2}\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2} \mbox{ cm}\;}$

O volume de um paralelepípedo retângulo é igual a 96 cm³ .Duas de suas dimensões medem 3 cm e 4 cm .Calcular a terceira dimensão.

resposta: 8 cm
×

O comprimento da base de um paralelepípedo retângulo é 3 cm maior que a largura. Sendo 22 cm o perímetro da base e 280 cm³ o seu volume, calcular a altura.

resposta: 10 cm
×

A soma das arestas de um paralelepípedo reto retângulo é 48 m . Calcular o seu volume, sabendo-se que as dimensões são números inteiros consecutivos.

resposta: 60 m³
×

Determine o volume do prisma quadrangular regular inscrito no cilindro equilátero da figura em função do raio da base do mesmo.

prisma quadrangular inscrito em um cilindro equilátero

resposta:

Resolução:

base do cilindro equilátero que contém um prisma quadrangular inscrito

1. calcular a aresta da base do prisma interno:

$\;\overline{AB}\;\rightarrow\;$ lado do quadrado inscrito

$\;\overline{AC}\;\rightarrow\;$ diagonal do quadrado e diâmetro $\;2R\;$

$\;AB\sqrt{2}\,=\,2R\;\Rightarrow\;$ $\;AB\,=\,\dfrac{2R}{\sqrt{2}}\centerdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;\overline{AB}\,=\,R\sqrt{2}\;$

2. calcular a altura do prisma interno:

Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).

3. calcular o volume do prisma:

Volume = (Área da Base)×(altura)

$\;V\,=\,\left( R\sqrt{2}\right)^{\large 2}\centerdot 2R\;\Rightarrow\;$

$\;V\,=\,2R^{\large 2}\centerdot 2R\;=\;4R^{\large 3}\;$

Resposta: O volume do prisma em função do raio será

V = 4R³
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Um feixe de luz monocromática e de raios paralelos entre si, penetra numa região cúbica, de aresta L, representada em corte na figura abaixo.
Os raios emergem desta região segundo as direções indicadas.

raios incidentes e emergentes de uma região cúbica

Essa região cúbica deve conter, dentre as seguintes:

Uma lente convergente de distância focal menor que L.

Uma lente divergente de distância focal menor que L.

Uma lente convergente de distância focal maior que L.

Uma lente divergente de distância focal maior que L.

Uma associação de prismas.

resposta: (A)
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Calcular o volume de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo-se que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20 e que a diagonal mede 100 m.

resposta: V = 138240 m³
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Calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto retângulo, cujas dimensões são 3 m , 4 m e 12 m.

resposta: V = 144 m³ A_total = 192m² D = 13 m
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A área total de um paralelepípedo retângulo é 720 m², a diagonal de uma face mede 20 m e a soma das suas dimensões é 34 m. Calcular as dimensões.

resposta: 16m12m6m
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Calcular o volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo de lados medindo 4m, 6m e 8m respectivamente, e sabendo-se que a área lateral é 90m².

resposta: $\;V\,=\,15\sqrt{15}\,m^3\;$
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(FUVEST) Na figura abaixo:

ABCD e EFGH são trapézios de lados 2, 8, 5 e 5 .

Os trapézios estão em planos paralelos, cuja distância é 3.

As retas AE, BF, CG e DH são paralelas.

Calcule o volume do sólido.

prisma quadrangular reto com bases trapezoidais

resposta: V = 60
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(FUVEST) Uma caixa d'água tem forma cúbica com 1 metro de aresta. De quanto baixa o nível da água ao retirarmos 1 litro de água da caixa?

resposta: 0,001 m
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