(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$. O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento. Determinar o volume do prisma $\;C\;$.
(MAUÁ) No cubo $\;(ABCDA'B'C'D')\;$ de aresta $\;\ell\;$, calcule o volume da parte piramidal $\;(AA'BD)\;$ e a altura do vértice $\;A\;$ em relação ao plano $\;A'BD\;$.
(FUVEST - 1980) A aresta do cubo abaixo mede 2 e BP = 3. Calcule PC e PD.
resposta: A medida de PC é $\,\sqrt{29}\,$ e a medida de PD é $\,\sqrt{33}\,$ ×
(ITA - 1971) Dispomos de seis cores diferentes. Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica a outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?
(FEI - 1982) O sólido ao lado é composto de dois cubos de arestas 2 cm e 1 cm e centros M e N . a) Achar a distância AB. b) Achar a distância MN.
resposta: $\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10}\,\mbox{cm}\;$ e $\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2}\,\mbox{cm}\;$
Considerações: Observando-se a vista lateral do sólido, como na figura, o prolongamento da aresta lateral do cubo menor que contém o ponto A define o triângulo retângulo ACB, reto em C. Nesse triângulo aplicaremos o teorema de Pitágoras.
Resolução:
$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{AC}\;\mbox{ = 1 cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{BC}\;\mbox{ = 3 cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(\overline{AC})^{\large 2}\,+\,(\overline{BC})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$
Considerações: Para calcular a distância $\;\overline{MN}\;$ consideraremos um plano que passe pelo centro de ambos os cubos e pelas diagonais das bases de ambos os cubos, gerando no sólido a secção representada no polígono azul da figura.
Resolução:
Consideremos o triângulo NPM reto em P. $\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{PM}\,=\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mbox{ cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{NP}\,=\,\dfrac{3}{2}\mbox{ cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\overline{MP})^{\large 2}\,+\,(\overline{NP})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$
Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).
(FUVEST - 1996) Considere um circuito formado por 4 resistores iguais, interligados por fios perfeitamente condutores. Cada resistor tem resistência R e ocupa uma das arestas de um cubo, como mostra a figura a seguir. Aplicando entre os pontos A e B uma diferença de potencial V , a corrente que circulará entre A e B valerá:
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$ b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$ c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD) ×
(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 .Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .
a)
Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$
b)
Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?
c)
Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°
resposta: a)
Resolução:
Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:
i)
pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$
ii)
o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$
iii)
o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$
iv)
o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$
v)
Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:
$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$ b)
Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.
Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.
raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$ c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4. ×
Determinar a e b reais de modo que $\phantom{X}8x^3\,+\,ax^2\,+\,bx\,+27\phantom{X}$ seja um cubo perfeito.
Qual é a área da secção plana feita numa esfera de raio 1 cm , por um plano distante $\,\frac{\;\sqrt{\,2\,}\;}{6}\,$cm do centro da mesma?
resposta:
Veja a figura onde está representado o raio da secção (r), o raio da esfera (R = 1) e a distância entre a secção e o centro da esfera ($\,\frac{\sqrt{2}}{6}\,$).
Aplicando o teorema de pitágoras: $\,R^2\,=\,r^2\,+\,(\frac{\sqrt{\,2\,}}{6})^2\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,1\,-\,(\frac{2}{\,36\,})\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,\frac{\,34\,}{\,36\,}\;=\;\frac{\,17\,}{\,18\,}\;$
O raio da secção plana é $\,r\,=\,\sqrt{\,\frac{17}{18}\;}\,$. Como essa secção tem área circular, então: