Exercícios sobre

Lista de exercícios do ensino médio para impressão

(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:

a) 165°
b) 155°
c) 145°
d) 130°
e) 120°

resposta: alternativa B
×

(FUVEST - 1977) Num triângulo $\,ABC\,$, os ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ medem $50^o$ e $70^o$, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice $A$ forma com a reta $\overleftrightarrow{BC}$ ângulos proporcionais a:

1 e 2

2 e 3

3 e 4

4 e 5

5 e 6

resposta: (D)
×

(UFMG - 1992) Observe a figura.

triângulo equilátero com bissetrizes

Nessa figura, $\overline{AB} \cong \overline{AC}$, $\overline{BD}$ bissetriz de $A\hat{B}C$, $\overline{CE}$ bissetriz de $B\hat{C}D$ e a medida do ângulo $A\hat{C}F$ é $140^0$. A medida do ângulo $D\hat{E}C$, em graus, é:

resposta: Alternativa C
×

(FATEC - 1978) Na figura abaixo, $\;\;r\;\;$ é a bissetriz do ângulo $\;\;A\hat{B}C\;\;$. Se $\;\;\alpha = 40^o\;\;$ e $\;\;\beta = 30^o\;\;$, então:
triângulo ABC

$\gamma = 0^o$

$\gamma = 5^o$

$\gamma = 35^o$

$\gamma = 15^o$

e) os dados são insuficientes para a determinação de $\gamma$

resposta: (B)
×

Na figura, $\;\overline{AD}\;$ é bissetriz interna relativa ao lado $\;\overline{BC}\;$. Calcule a medida do segmento $\;\overline{AD}\;$, sendo $\;AB \;= 6 cm$, $\;AC\; = 10 cm$ e $\;m(A\hat{B}C) = 90^o$.

figura do exercício sobre Teorema da Bissetriz Interna

figura do exercício sobre Teorema da Bissetriz Interna

resposta:

Resolução:
Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.

triângulo retângulo ABC teoria da bissetriz interna answerm1606221458.png

Pelo Teorema de Pitágoras:
$(\overline{AC})^2 = (\overline{AB})^2 + (\overline{BC})^{2} \;\Rightarrow $
$\;10^2\;= \;6^2 + (\overline{BC})^2 \; \Rightarrow
\;\overline{BC} = \sqrt{64} \;\Longrightarrow \; \overline{BC} = 8$
portanto, na figura $\;a + b\; =\; 8$
Pelo Teorema da Bissetriz Interna,
$\frac{6}{a}\; = \;\frac{10}{b}$$\Rightarrow 5a - 3b \;=\;0$
então:
$\begin{align} 3a + 3b = 24 \phantom{XXXX} (I) \\ \;5a - 3b =\; 0 \phantom{XXXX}(II) \end{align}$
Somando (I) e (II) $\Longrightarrow 5a + 3a = 24 \Longrightarrow$
$\;a \; = 3\;$ e $\;b\;=\;5$
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
$\;h^2 = 6^2 + 3^2 \;\;\Rightarrow h^2 \;= 36 + 9 \;\;\Rightarrow h\;=\; 3\sqrt{5} $

Resposta:
A medida do segmento $\;\overline{AD}\;$ é $\;3\sqrt{5}\;cm$
×

Para um sistema de coordenadas ortogonais, estão certas as seguintes afirmações:

( 1 )

Pontos com abscissa nula estão no eixo 0x

( 2 )

A distância do ponto (-3 ; 5) ao eixo Oy é 3.

( 3 )

A distância entre os pontos A (-2 ; 4) e B (8 ; 4) vale 10.

( 4 )

A distância entre os pontos A (1 ; 5) e B (-3 ; 2) vale 5.

( 5 )

Os pontos da bissetriz dos quadrantes pares têm abscissa e ordenada iguais.

resposta:
Estão corretas 2, 3 e 4

×

(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

resposta:

Resolução:
a)

triângulo retângulo inscrito na circunferência

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta

a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

×

(MACKENZIE - 1979) No triângulo retângulo ABC da figura, b = 1 e c = 2. Então x vale:

$\,\sqrt{2}\,$

$\,\dfrac{3}{2}\,$

$\,\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\,$

$\,\dfrac{2}{3}\,$

$\,\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\,$

triângulo ABC reto em A com bissetriz x de A traçada

resposta: Alternativa E
×

No triângulo $\,ABC\,$ da figura, $\,\overline{AS}\,$ é bissetriz interna relativa do vértice $\,A\,$.
Prove que $\;\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\;$ (sugestão: Teorema de Tales)

triângulo provar teorema da bissetriz interna

resposta: demonstração.

demonstração do teorema da bissetriz interna utilizando o teromea de Tales

1. No triângulo $\,ABC\,$, construimos $\, \overleftrightarrow{MC}\,//\, \overleftrightarrow{AS}\,\longrightarrow\;$ pelo teorema fundamental do paralelismo temos
$\,\hat{M}\,=\,B\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (ângulos correspondentes)
$\,\hat{C}\,=\,C\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (alternos internos)
Se $\,\hat{M}\,=\,\hat{C}\,=\,\alpha\,\therefore\,\,\triangle ACM\,$ é isósceles com $\,\boxed{\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,}$
2. Pelo Teorema de Tales:
$\phantom{X}\dfrac{AB}{AM}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$, mas $\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,$ então: $\phantom{X}\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$

c.q.d.

(MAPOFEI) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m . Determine os lados desse triângulo.

resposta:

Resolução:Teorema da Bissetriz

Construindo-se a bissetriz de um ângulo de um triângulo, determinam-se no lado oposto segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

Na figura ao lado, um triângulo ABC de lados de medidas a, b e c, onde $\,\overleftrightarrow{AS}\,$ é a bissetriz do ângulo no vértice A.
Sabemos no enunciado que

$\,m\,=\,16\,$ e $\,n\,=\,24\,$, então o lado c do triângulo mede $\,c\,=\,m\,+\,n\,=\,16\,+\,24\,=\,40\;\Rightarrow\;\boxed{\,c\,=\,40\,m\,}\,$

O perímetro do triângulo é 100 m, então a soma $\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,100\;\Rightarrow\;a\,+\,b\,+\,40\,=\,100\,$ $\Rightarrow\,a\,+\,b\,=\,60\,$(I)

Se os lados são proporcionais aos segmentos gerados pela bissetriz (TEOREMA DA BISSETRIZ) então temos conforme a figura: $\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{m}{n}\,$ $\Rightarrow\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\,$(II)(I) e (II)$\,\longrightarrow\,\left\{\begin{array}{rcr} \,a\,+\,b\,=\,60\,& \\ \dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$ $\Rightarrow\,a\,=\,\dfrac{2b}{3}\phantom{X}\Rightarrow\;\dfrac{2b}{3}\,+\,b\,=\,60 $
$\,\Rightarrow\;5b\,=\,180\;\Rightarrow\;\boxed{\,b\,=\,36\,m\,}\;a\,=\,\dfrac{2b}{3}\;\Rightarrow\,\boxed{\,a\,=\,24\,m\,}$

Resposta:

Os lados do triângulo são 24m, 36m e 40m
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Dados os pontos A( 3; -1) e B( -2; 4), determinar a intersecção de AB com:

eixo das abscissas

II)

eixo das ordenadas

III)

bissetriz dos quadrantes ímpares

IV)

bissetriz dos quadrantes pares

resposta: I) (2;0) II) (0;2) III)(1;1) IV) não existe

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Entre os pontos A(0; 7), B(3; 3), C(-2; 0), D(-1; 1), E(${\small \sqrt{\,3\;}}$; 0), F(-4; 4), G(0; ${\small -\sqrt{\,2\;}}$), H($\frac{\,1\,}{2}$; $-\frac{\,1\,}{2}$) e I(0; 0):

quais estão no eixo Ox?

quais estão no eixo Oy?

quais estão na bissetriz dos quadrantes ímpares?

quais estão na bissetriz dos quadrantes pares?

resposta: a)CEI b)AGI c)BDI d)FHI
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(FUVEST - 1998) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC = x .

Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos?

Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?

resposta: a) $\phantom{X}\,1\,\lt\,x\,\lt\,\sqrt{\,2\;}\phantom{X}$
b) $\phantom{X} 0\,\leqslant\,x\,\lt\,1\;$ou$\,x\,=\,\sqrt{\,2\;}$
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a) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação ao

b) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,x\,-\,\pi\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação à

c) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,2\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação ao

d) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação à

resposta: a) imagem de $\,x\,$ - eixo dos senos
b) imagem de $\,x\,$ - origem dos eixos
c) imagem de $\,x\,$ - eixo dos cossenos
d) imagem de $\,x\,$ - reta bissetriz do primeiro quadrante

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