Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(ITA - 1970) Quando a projeção de um ângulo $\;\theta\;$ sobre um plano paralelo a um de seus lados é um ângulo reto, podemos afirmar que:
a)
$90^{o}\,<\,\theta\,<\,180^{o}$
b)
$\theta\,<\,90^{o}$
c)
$\theta \, = \, 90^{o}$
d)
$\theta \, = \, 2\pi \, Rad$
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: Alternativa C
×
(CESCEM - 70) Do enunciado abaixo:

"A condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano."

Podemos concluir que:
a)
A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos.
b)
A condição ser necessária significa que: toda reta paralela a uma reta de um plano é paralela a este plano.
c)
A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta conterá todas as retas paralelas à reta dada.
d)
A condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos.
e)
Nenhuma das anteriores.

 



resposta: Alternativa E
×
(MACKENZIE - 1973) Marque uma das alternativas:

a) se existir um(a) e um(a) só
b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as)
c) se existir um número finito porém maior que 2
d) se existirem infinitos(as)
e) se não existir nenhum(a)
de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:

reta perpendicular a duas retas reversas.
plano paralelo a duas retas reversas.
dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra.
retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{CD}$ reversas, plano por $\overleftrightarrow{CD}$ e equidistante dos pontos $A$ e $B$.

 



resposta: 1a - 2d - 3e - 4b
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(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p .
Então:
a)
se C dividir o segmento $\;\;\overline{AB}\;\;$ em partes iguais a $\;\; \overline{MA}\,=\,\overline{MB}\;\;$, então o segmento $\;\;\overline{MC}\;\;$ é perpendicular a p
b)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
c)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então $\;\;\overline{MA}\,=\,\overline{MB}\,=\,\overline{MC}\;\;$ implica que o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
d)
se ABC for um triângulo equilátero e o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C .
e)
nenhuma das respostas anteriores.

 



resposta: alternativa C
×
(MACKENZIE - 1979) Considere as afirmações:
   I -
Se uma reta é paralela a dois planos, então estes planos são paralelos.
  II -
Se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a uma reta do outro.
 III -
Se duas retas são reversas, então existe uma única perpendicular comum a elas.
Então:
a)
todas são verdadeiras.
b)
somente a II é verdadeira.
c)
somente a III é verdadeira
d)
somente a I é verdadeira.
e)
somente II e III são verdadeiras.

 



resposta: alternativa E
×
(MACKENZIE - 1979) O triângulo $\,MNP\,$ retângulo em $\,N\,$ e o paralelogramo $\,NPQR\,$ situam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais":
a)
é sempre verdadeira.
b)
não pode ser analisada por falta de dados.
c)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = \overline{QR}$.
d)
nunca é verdadeira.
e)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = 2\overline{QR}$.

 



resposta: alternativa A
×
(PUC-SP - 1980) Se r e s são retas reversas, então pode-se garantir que:
a)
todo plano que contém r também contém s .
b)
existe um plano que contém r e é perpendicular a s .
c)
existe um único plano que contém r e s .
d)
existe um plano que contém r e é paralelo a s .
e)
toda reta que encontra r encontra s .

 



resposta: alternativa D
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(MACKENZIE - 1980) Considerando as afirmações abaixo, assinale a alternativa correta:
   I -
Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
  II -
Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóia em ambas.
 III -
Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então é perpendicular à interseção desses planos.
a)
Somente a afirmação I é verdadeira.
b)
Somente a afirmação II é verdadeira.
c)
São verdadeiras as afirmações II e III, apenas.
d)
Todas as afirmações são verdadeiras.
e)
Nenhuma afirmação é verdadeira.

 



resposta: Alternativa C
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(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ . Sabe-se que $ABCD$ é um retângulo, $AE \perp AB$ e $AE \perp AD$ . Pode concluir que são perpendiculares as retas:

a) $EA$ e $EB$
b) $EC$ e $CA$
c) $EB$ e $BA$
d) $EA$ e $AC$
e) $AC$ e $BE$



 



resposta: Alternativa D
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(PUC-SP - 1981) Dois planos $\,\beta\;$ e $\;\gamma\,$ se cortam na reta $\,r\,$ e são perpendiculares a um plano $\alpha$. Então:

a) $\beta$ e $\gamma$ são perpendiculares.
b) $r$ é perpendicular a $\alpha$.
c) $r$ é paralela a $\alpha$.
d) todo plano perpendicular a $\alpha$ encontra $r$.
e) existe uma reta paralela a $\alpha$ e a $r$.



 



resposta: Alternativa B
×
(PUC-SP - 1980) Assinale a afirmação verdadeira:
a)
Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b)
Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si.
c)
Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.
d)
Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
e)
Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.

 



resposta: Alternativa C
×
(UFBA - 1981) Sendo $\alpha$ e $\beta$ dois planos e $r_{1}$ e $r_{2}$ duas retas, tais que $\alpha \; // \; \beta$, $r_1 \; \perp \; \alpha$ e $r_2 \; // \; \beta$, então $r_1$ e $r_2$ podem ser:
a)
paralelas a $\alpha$.
b)
perpendiculares a $\beta$.
c)
coincidentes.
d)
oblíquas.
e)
ortogonais.

 



resposta: Alternativa E
×
(FUVEST - 1982) Sejam $r$ e $s$ duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:
a)
existe uma reta perpendicular a $\;r\;$ e a $\;s\;$.
b)
$\;r\;$ e $\;s\;$ determinam um único plano.
c)
existe um plano que contém $\;s\;$ e não intercepta $\;r\;$.
d)
existe uma reta que é paralela a $\;r\;$ e a $\;s\;$.
e)
existe um plano que contém $\;r\;$ e um único ponto de $\;s\;$.

 



resposta: Alternativa A
×
(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:
a) 165°
b) 155°
c) 145°
d) 130°
e) 120° 
imagem do triângulo no plano alfa

 



resposta: alternativa B
×
(UBERLÂNDIA - 1982) Das alternativas abaixo:
   I -
Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si.
  II -
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um forma um ângulo reto com qualquer reta do outro.
 III -
Distância entre duas retas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra.
 IV -
Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então por qualquer ponto de uma passa reta que se apoia nas outras duas.
Pode-se afirmar que:
a)
todas as alternativas são verdadeiras.
b)
todas as alternativas são falsas.
c)
apenas a alternativa I é falsa.
d)
apenas a alternativa I é verdadeira.
e)
apenas as alternativas I, II e III são verdadeiras.

 



resposta: Alternativa B
×
(PUC-SP - 1982) Um triângulo isósceles $ABC$, com $AB = BC = 30$ e $AC = 24$, tem o lado $AC$ contido em um plano $\alpha$ e o vértice $B$ a uma distância 18 de $\alpha$. A projeção ortogonal do triângulo $ABC$ sobre o plano $\alpha$ é um triângulo:
a) retângulo.
b) obtusângulo.
c) equilátero.
d) isósceles, mas não equilátero.
e) semelhante ao triângulo $ABC$.

 



resposta: Alternativa C
×
(CESESP - 1986) Na figura abaixo as retas $\;r\;$ e $\;s\;$ são paralelas e as retas $\;t\;$ e $\;v\;$ são perpendiculares.
plano com 2 paralelas cortadas por 2 transversais perpendiculares entre si
Assinale, então, dentre as alternativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença: " os ângulos distintos $\;\alpha\;$ e $\;\beta\;$ são...
a)
opostos pelo vértice"
b)
adjacentes"
c)
suplementares"
d)
complementares"
e)
sempre congruentes"

 



resposta: Alternativa D
×
(CESGRANRIO - 1989) Na figura, as retas $\,{\large r}\,$ e $\,{\large r'}\,$ são paralelas, e a reta $\,{\large s}\,$ é perpendicular a $\,{\large t}\,$. Se o menor ângulo entre $\,{\large r}\,$ e $\,{\large s}\,$ mede 72°, então o ângulo $\alpha$ da figura mede:
duas paralelas cortadas por duas perpendiculares
a)
36°
b)
32°
c)
24°
d)
20°
e)
18°

 



resposta: Alternativa E
×
(CESGRANRIO - 1990) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
a)
142°
b)
144°
c)
148°
d)
150°
e)
152°

 



resposta: Alternativa B
×
(CESGRANRIO - 1991) As retas $\;r\;$ e $\;s\;$ da figura são paralelas cortadas pela transversal $\;t\;$. Se o ângulo $\;B\;$ é o triplo de $\;A\;$, então $\;B\; - \;A\;$ vale:
duas paralelas cortadas por uma transversal
a)
90°
b)
85°
c)
80°
d)
75°
e)
60°

 



resposta: Alternativa A
×
(UFMG - 1992) Os pontos $\;A, B, C, D\;$ são colineares e tais que $\;AB = 6$ cm, $\;BC = 2$ cm, $\;AC = 8$ cm e $\;BD = 1$ cm. Nessas condições, uma possível disposição desses pontos é:
a)
$ADBC$
d)
$BACD$
b)
$ABCD$
e)
$BCDA$
c)
$ACBD$

 



resposta: Alternativa A
×
Sendo a reta a paralela à reta b, determine x nos casos:
a)
duas paralelas cortadas por uma transversal a 50 graus
b)
duas paralelas cortadas por uma transversal a 120 graus

 



resposta: 50° e 60°
×
Se as retas r e s são paralelas, determine x nos seguintes casos:
a)
retas paralelas r e s cortadas por uma transversal
b)
diagrama retas paralelas cortadas por uma transversal

 



resposta: 60° e 70°
×
As retas r e s dos casos representados nas figuras são paralelas entre si. Determine x e y.
a)
duas retas paralelas e duas transversais
b)
duas paralelas cortada por duas transversais perpendiculares entre si

 



resposta: a) x = 120° e y = 75° b) x = 20° e y = 50°
×
No triângulo $\,ABC\,$ da figura, $\,\overline{AS}\,$ é bissetriz interna relativa do vértice $\,A\,$.
Prove que $\;\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\;$ (sugestão: Teorema de Tales)
triângulo provar teorema da bissetriz interna

 



resposta: demonstração.
demonstração do teorema da bissetriz interna utilizando o teromea de Tales
1. No triângulo $\,ABC\,$, construimos $\, \overleftrightarrow{MC}\,//\, \overleftrightarrow{AS}\,\longrightarrow\;$ pelo teorema fundamental do paralelismo temos
$\,\hat{M}\,=\,B\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (ângulos correspondentes)
$\,\hat{C}\,=\,C\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (alternos internos)
Se $\,\hat{M}\,=\,\hat{C}\,=\,\alpha\,\therefore\,\,\triangle ACM\,$ é isósceles com $\,\boxed{\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,}$
2. Pelo Teorema de Tales:
$\phantom{X}\dfrac{AB}{AM}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$, mas $\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,$ então: $\phantom{X}\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$

c.q.d.


×
(UFMG - 2001) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos F , A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo $\;A\hat{B}C\;$ mede
a)
39°
b)
44°
c)
47°
d)
48°
e)
52°
figura polígono com lados CB e ED paralelos

 



resposta: (D)
×
Veja exercÍcio sobre:
geometria espacial
paralelismo
perpendicularidade