(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a)
$\sqrt{3}\;$m
b)
$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m
c)
$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m
d)
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m
e)
$2\sqrt{2}\;$m
resposta:
Considerações:
A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício
Resolução: O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. $\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo $\phantom{X}ABC\phantom{X}$ é retângulo e $\;\overline{AH}\,=\,h\;$ é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M dosegmento BD , tracemos o segmento MP paraleloa AD ,onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC .Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a)
MN + MP = 2BM
b)
MN + MP = 2CM
c)
MN + MP = 2AB
d)
MN + MP = 2AD
e)
MN + MP = 2AC
resposta:
Resolução:
1.$\;\overline{MN}\;$ é paralelo a $\;\overline{AD}\;$ e $\;\overline{AD}\;$ é paralelo a $\;\overline{MP}\;$ $MN // AD\;\Rightarrow\;$ $\;\triangle BMN\thicksim\triangle BDA\;\Rightarrow\;\dfrac{MN}{DA}\,=\,\dfrac{BM}{BD}\;\Rightarrow\;$ $\;MN\,=\,DA\centerdot\, \dfrac{BM}{BD}\phantom{X}$(I)
Dados: $\,\overline{MP}\;\bot\;s\,$;$\;\overline{MQ}\;\bot\;t\,$;$\;\overline{MQ}\;\bot\;\overline{PQ}\,$;$\;\overline{MP}\,=\,6$ Então $\,\overline{PQ}\,$ é igual a:
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se $\;\overline{AG}\,=\,\overline{CD}\,+\,2\;\,$ e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
(FATEC - 1979) Na figura, ABCD é um retângulo. $\,\overline{AB}\,=\,4\,$, $\,\overline{BC}\,=\,1\;$ e $\,\overline{DE}\,=\,\overline{EF}\,=\,\overline{FC}\;$. Então $\,\overline{BG}\,$ é:
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é:
Determine o tamanho mínimo e a posição de um espelho plano vertical para que um observador de altura H, cujos olhos estão à altura h, possa se ver de corpo inteiro.
resposta:
Resolução:Vamos construir a imagem no espelho plano e definir a relação entre as medidas.
Passo 1. Marcar os pontos A' e B' simétricos a A e B em relação à superfície do espelho. Desenhar a imagem A'B' simétrica, que na figura (em azul) representa a imagem de AB no espelho. A medida da distância entre a pessoa AB até o espelho (p) é igual à medida da distância da imagem A'B' ao espelho (p')
Passo 2. Para o observador enxergar a imagem do seu pé, ou seja, enxergar o ponto A, o raio de luz que atinge o seu olho no ponto O deve passar pela imagem do pé no ponto A'. Desenhe então o raio que parte de A' e atinge O. Lembre-se que atrás do espelho é o ambiente escuro, por isso a porção do raio A'O atrás do espelho é representada como linha pontilhada. Note na figura que o ponto de cruzamento do raio A'O com o espelho E é o ponto chamado I1. O segmento OI1 representa o raio de luz; o segmento I1A' pontilhado representa o prolongamento do raio que define a imagem da sola do pé A'.
Passo 3. O raio I1O é resultado da reflexão da luz real de um raio que partiu de A e atingiu o espelho no ponto I1. Desenhar então o raio AI1.
Passo 4. Analogamente, para que o observador possa ver a imagem do topo da sua cabeça, o olho deve receber um raio que passa pelo ponto alto da imagem de sua cabeça, o ponto B'. Desenhamos um raio de luz que atinge O e cujo prolongamento passa pela imagem do topo da cabeça B'. Note que esse raio de luz OB' cruza com o espelho num ponto que foi chamado I2. O segmento B'I2 é representado por linha pontilhada porque está na área escura do espelho, ou seja, é apenas um prolongamento do raio de luz. O segmento I2O é o raio de luz na área clara (real), por isso é representado por linha contínua.
Passo 5. O raio I2O é resultado da reflexão de um raio real que partiu de B e atingiu o espelho no ponto I2. Desenhar então o raio BI2: o raio que, refletido, gerou a imagem do ponto mais alto da cabeça.
Passo 6. Do esquema ao lado, podemos concluir que o triângulo A'OB' e o triângulo I1OI2 são semelhantes pelo critério (AA∾). O ângulo $\hat{O}$ é comum a ambos os triângulos A'OB' e I1OI2 Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_2}$ e $\hat{B'}$ são ângulos correspondentes. Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_1}$ e $\hat{A'}$ são ângulos correspondentes.
Passo 7. Conforme o enunciado, a altura do observador em frente ao espelho é H então $\;\overline{AB}\;=\;H\,$ Vamos chamar a dimensão vertical mínima do espelho $\;\overline{I_1I_2}\;$ de $\;d\;$. Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .Da semelhança dos triângulos OI1I2 e OA'B' decorre que: $\;\dfrac{\;H\;}{\;d\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{|p|}\;\Rightarrow\;H\,=\,2d\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;d\;=\;\dfrac{\;H\;}{\;2\;}\;}\;$
O tamanho mínimo de um espelho plano, na posição vertical, para que uma pessoa possa ver seu corpo inteiro, independe da distância entre a pessoa e o espelho.
Passo 8. Vamos chamar de D a posição do espelho em relação ao chão, então $\;\overline{CI_1}\;=\;D\,$ A distância do olho do observador até o chão, segundo o enunciado, é $\;h\;$, então $\;\overline{AO}\;=\;h\,$. O triângulo AOA' é semelhante ao triângulo CI1A' pelo critério (AA∾) O ângulo $\;\hat{A}\;$ e o ângulo $\;\hat{C}\;$ são ângulos retos; O ângulo $\;\hat{A'}\;$ é um ângulo comum aos dois triângulos. Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| . Da semelhança dos triângulos AOA' e CI1A' decorre que: $\;\dfrac{\;h\;}{\;D\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{\;|p|\;}\;\Rightarrow\;h\;=\;2D\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;D\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,2\,}\;}$
A posição de um espelho plano relativa ao solo para que um observador consiga ver-se de corpo inteiro independe da distância do observador ao espelho (p).
