(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,2)\;$, $\;B=(2,-2)\;$ e $\;C=(4,3)\;$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\;\overline{BC}\;$ é:
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação $\;x^2 + y^2 + 2axy = 0\;$ é a reunião de duas retas, então: a) $a = 0$ b) $0 < |a| <1$ c) $|a|=1$ d) $|a|>1$ e) nenhuma das anteriores
(CESCEM - 1976) O ponto $(a, -b)$ pertence ao interior do 2º quadrante. Os pontos $(-a,b)$ e $(-a,-b)$ pertencem, respectivamente, aos quadrantes: a) 3º e 1º b) 3º e 4º c) 4º e 3º d) 4º e 1º e) 1º e 3º
(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices $\;P(1,1)\,$, $\;Q(3,-4)\,$ e $\;R(-5,2)\,$ de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice $\;Q\;$ é:
(CESCEA - 1968) Dado o segmento $\;\overline{AB}\;$ de extremidades $\;A \equiv (-4,1)\;$ e $\;B \equiv (5,7)\;$ as coordenadas do ponto $\;C\;$ que divide na razão $\;\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = 4\;$ são:
(CESCEA - 1972) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades $\;A\,\equiv\,(1,1)\;$ e $\;C\,\equiv\,(3,3)\;$. As coordenadas dos outros dois vértices do quadrado são:
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação $\;Ax + By + C = 0\,$, assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) se $A \ne 0$ e $B \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem b) se $B \ne 0$ e $C=0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos c) Se $A = 0$ e $C \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta paralela ao eixo $0x$ d) se $A \ne 0$, $B = 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$ e) se $A = 0$, $B \ne 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$
(CESCEA - 1972) A equação da reta que passa pelo ponto $\;A\,\equiv \,(2,\,5)\;$ e que corta a reta de equação $\;y\,=\,-x\,+\,1\;$ num ponto $\;B\;$, tal que $\;AB\,=\,3\sqrt{2}\;$, é:
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,\,2)\,$, $\;B=(2,\,-2)\,$ e $\;C=(4,\,3)\,$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\,\overline{BC}\,$ é:
a) se existir um(a) e um(a) só b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as) c) se existir um número finito porém maior que 2 d) se existirem infinitos(as) e) se não existir nenhum(a) de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
1º reta perpendicular a duas retas reversas. 2º plano paralelo a duas retas reversas. 3º dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra. 4º retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{CD}$ reversas, plano por $\overleftrightarrow{CD}$ e equidistante dos pontos $A$ e $B$.
(ITA - 1982) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x . A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60° . O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x . A área da superfície total do sólido mede:
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ . Sabe-se que $ABCD$ é um retângulo, $AE \perp AB$ e $AE \perp AD$ . Pode concluir que são perpendiculares as retas:
a) $EA$ e $EB$ b) $EC$ e $CA$ c) $EB$ e $BA$ d) $EA$ e $AC$ e) $AC$ e $BE$
(PUC-SP - 1981) Dois planos $\,\beta\;$ e $\;\gamma\,$ se cortam na reta $\,r\,$ e são perpendiculares a um plano $\alpha$. Então:
a) $\beta$ e $\gamma$ são perpendiculares. b) $r$ é perpendicular a $\alpha$. c) $r$ é paralela a $\alpha$. d) todo plano perpendicular a $\alpha$ encontra $r$. e) existe uma reta paralela a $\alpha$ e a $r$.
(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?
(UFBA - 1981) Sendo $\alpha$ e $\beta$ dois planos e $r_{1}$ e $r_{2}$ duas retas, tais que $\alpha \; // \; \beta$, $r_1 \; \perp \; \alpha$ e $r_2 \; // \; \beta$, então $r_1$ e $r_2$ podem ser:
(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a)
5
b)
10
c)
15
d)
18
e)
24
resposta:
O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.
O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo). Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si. As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes. Resolução:
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas.
Modo intuitivo: A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos.
Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5.
1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, $\,5\,\times\,2\,=\,10\,$ e são 10 as diagonais do prisma pentagonal.
(ITA - 1990) Na figura abaixo $\phantom{X} O\phantom{X}$ é o centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por $\;E\;$ e $\;F\;$ é tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos $\;1\;$, $\;2\;$, e $\;3\;$ é dada, respectivamente , por 49° , 18° , 34° , determinar a medida dos ângulos 4 , 5 , 6 e 7 . Nas alternativas abaixo considere os valores dados iguais às medidas de 4, 5 , 6 e 7 , respectivamente.
(CESCEM - 1968) Uma urna contém 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém $\,x\,$ bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas. Um primeiro experimento consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Num segundo experimento, as bolas das duas urnas são reunidas e destas, duas bolas são retiradas ao acaso. O valor mínimo de $\,x\,$ a fim de que a probabilidade de saírem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é:
(CESESP - 1986) Na figura abaixo as retas $\;r\;$ e $\;s\;$ são paralelas e as retas $\;t\;$ e $\;v\;$ são perpendiculares. Assinale, então, dentre as alternativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença: " os ângulos distintos $\;\alpha\;$ e $\;\beta\;$ são...
(CESGRANRIO - 1989) Na figura, as retas $\,{\large r}\,$ e $\,{\large r'}\,$ são paralelas, e a reta $\,{\large s}\,$ é perpendicular a $\,{\large t}\,$. Se o menor ângulo entre $\,{\large r}\,$ e $\,{\large s}\,$ mede 72°, então o ângulo $\alpha$ da figura mede:
(CESGRANRIO - 1990) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
(CESGRANRIO - 1991) As retas $\;r\;$ e $\;s\;$ da figura são paralelas cortadas pela transversal $\;t\;$. Se o ângulo $\;B\;$ é o triplo de $\;A\;$, então $\;B\; - \;A\;$ vale:
(FUVEST - 1977) Num triângulo $\,ABC\,$, os ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ medem $50^o$ e $70^o$, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice $A$ forma com a reta $\overleftrightarrow{BC}$ ângulos proporcionais a:
(CESGRANRIO - 1985) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é:
(UFMG - 1992) Os pontos $\;A, B, C, D\;$ são colineares e tais que $\;AB = 6$ cm, $\;BC = 2$ cm, $\;AC = 8$ cm e $\;BD = 1$ cm. Nessas condições, uma possível disposição desses pontos é:
(UFRPE - 1991) Observe que, na figura abaixo, a reta $\phantom{X}{\large \ell}\phantom{X}$ faz ângulos idênticos com as retas $\phantom{X}{\large \ell_1}\phantom{X}$ e $\phantom{X}{\large \ell_2}\phantom{X}$. A soma $\;\alpha\,+\,\beta\,+\,\gamma\;$ vale:
(COVEST - 1990) No triângulo ABC, o ângulo $\hat{A}$ mede 110°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C?
(F.C.M.STA.CASA - 1981) Na figura ao lado temos o triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região sombreada é, em cm² :
(COVEST - 1989) Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm ; o polígono é um hexágono regular, e o ângulo $\;A\hat{O}B\;$ é reto. Assinale a alternativa correta para a medida da área da região sombreada.
(FUVEST - 1991) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a)
$\sqrt{3}\;$m
b)
$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m
c)
$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m
d)
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m
e)
$2\sqrt{2}\;$m
resposta:
Considerações:
A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício
Resolução: O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. $\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$
Considerando a oração "os cabelos, em bandós, eram apanhados sobre a nuca por um velho pente de tartaruga" , assinale a opção em que a função sintática dos constituintes grifados aparece correta e na ordem correta.
a)
núcleo do agente da passiva, adjunto adnominal
b)
núcleo do agente da passiva, complemento nominal
c)
núcleo do adjunto adverbial de lugar, adjunto adnominal
d)
núcleo do adjunto adverbial de lugar, complemento nominal
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$. $\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3. $\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$. O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
As equações das tangentes são: $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$
I) Nos primeiros dias de agosto, já considerávamos consolidada a situação de Helena.(predicado verbo-nominal) II) A ambição enérgica desses homens não conhece temor nem desalento.(predicado verbal) III) As relações do Dr. Camargo com a família do conselheiro pareciam estreitas e antigas.(predicado nominal)
a) I e II b) I e III c) II e III d) todas estão corretas e) todas estão erradas
(OMEC) Assinale o período em que há oração substantiva objetiva indireta:
a) Tenho medo de que você se engane. b) Meu sonho era morar nos Estados Unidos. c) Recomendo-lhe uma coisa: seja sempre sincero. d) Aconselho-te a não fazeres este negócio. e) Dizem que você será eleito.
(OMEC) Assinale o período em que há oração substantiva objetiva direta:
a) Vê-se que você não entendeu nada. b) Vê-se tudo está certo. c) Convém não sair hoje. d) Parece que ele tem saudades de você. e) Sabe-se que não haverá greve.
(INST. CHAMPAGNAT) Abaixo, só não aparece oração substantiva objetiva direta em:
a) Perguntamos-lhe quando estaria de volta. b) Quero que você venha imediatamente. c) Vinde a mim todos os que têm fome e sede de justiça. d) Vocês sabem se eles voltarão no prazo combinado? e) Acho que você terá dificuldade para entrar.
(BRÁS CUBAS) Analisando-se sintaticamente o texto grifado, deve-se dizer que:
I) "Peço-lhe um favor: que me guardes esta carta." II) "Desvaneceu-lhe a idéia de que a casa estava prestes a cair." III) "Disse-lhe que precisavas estudar." IV) "Será necessário que vós vades para o deserto."
a) I = oração subordinada substantiva apositiva b) II = oração subordinada subjetiva c) III = oração subordinada objetiva indireta d) IV = oração subordinada substantiva objetiva direta e) todas = orações subordinadas relativas
Com os dados da figura, completar as igualdades dos itens a. até d.
a)
$\;h^2\; = \;m\centerdot\;$
b)
$\;c\centerdot h\;= \; $
c)
$\;c^2 \; = \;m \centerdot \; $
d)
$\;b^2\;=\;n \centerdot\;$
resposta: a. $n$ ($h^2 = mn$) b. $bm$ ($c \centerdot h = bm$) c. $a$ ($c^2 = ma$) d. $a$ ($b^2 = n \centerdot a$) ×
(FUNDAÇÃO LUSÍADAS) Logo que chegou ao acampamento, Paulo percebeu que esquecera o equipamento de pesca.
As orações grifadas são classificadas, respectivamente, como:
a) subordinada adverbial temporal e subordinada adverbial condicional b) subordinada substantiva objetiva direta e subordinada adverbial concessiva c) subordinada adverbial final e subordinada adverbial causal d) subordinada substantiva objetiva indireta e subordinada adjetiva e) subordinada adverbial temporal e subordinada substantiva objetiva direta
I) "Embora lhe desaprovassem a forma, justificavam-lhe a essência." II) "A estrela que nasceu tinha tanta beleza que voluntariamente a elegeu minha sorte." III) "Naquela noite, ele disse a todos que desejava que fosses feliz."
(SANTA CASA) Observe com atenção este trecho de notícia de jornal:
I) "Saindo de casa, não amarrou o sapato. II) Ao descer da calçada foi atropelado. III) O motorista não o socorreu, por não ter carta."
Classificando, corretamente, as orações grifadas, temos que:
a) as três são subordinadas adjetivas reduzidas; b) as três são subordinadas adverbiais reduzidas; c) as três são subordinadas substantivas reduzidas; d) são subordinadas, respectivamente, substantiva, adjetiva e adverbial; e) são reduzidas, respectivamente, substantiva, adjetiva e adverbial.
Num triângulo retângulo, a hipotenusa menos o cateto maior é igual a $\;3\;m$, a hipotenusa menos o cateto menor é igual a $\;6\;m$. Calcule os catetos e a hipotenusa.
resposta:
Resolução: $\;a - b = 3\;\Rightarrow\;b = a - 3\phantom{X}$(I) $\;a - c = 6\;\Rightarrow\; c = a - 6\phantom{X}$(II) Pitágoras:$\phantom{X}a^2 = b^2 + c^2\phantom{X}$(III)
Substituindo (I) e (II) em (III) temos então: $\;a^2 = (a - 3)^2 + (a - 6)^2\;\;\Rightarrow\;$ $a^2 - 18a + 45 = 0 \;\; \Rightarrow\;$ $\Rightarrow\;$
$a = 15$ $a = 3$ (inadequado porque $\;b\;\neq\;0\;$)
Substituindo $\;a\;=\;15\;$ em (I) e (II) $\;b\;=\;12\;$ $\;c\;=\;9\;$ Resposta:
o triângulo procurado tem catetos $9m\;$,$\;12m\;$ e hipotenusa $\;15m\;$
A diagonal de um quadrado de lado medindo $\;a\;$ tem medida igual a $\;a \centerdot \sqrt{2}$. ×
(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$. O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento. Determinar o volume do prisma $\;C\;$.
Determinar o volume do prisma oblíquo da figura, onde a base é um hexágono regular de aresta 1 m e a aresta lateral que faz um ângulo de 60° com o plano da base mede 2 m .
A palavra SE é conjunção subordinada integrante (por introduzir subordinada substantiva objetiva direta) em qual das orações seguintes:
a) Ela se morria de ciúmes pelo patrão. b) A federação arroga-se o direito de cancelar o jogo. c) O aluno fez-se passar por doutor. d) Precisa-se de pedreiros. e) Não sei se o vinho está bom.
(UFCE) "esclareceu que levaria apenas o que era seu..."
As orações introduzidas por "que" são, respectivamente:
a) objetiva direta e adjetiva b) objetiva direta e objetiva direta c) objetiva indireta e adjetiva d) adjetiva e objetiva indireta e) objetiva direta e objetiva indireta
