(ITA - 1982) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x . A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60° . O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x . A área da superfície total do sólido mede:
(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?
(UCMG - 1981) O raio da base de um cone de revolução é 10 cm, e a altura 30 cm. Se o raio aumentar 1 cm e a altura diminuir 3 cm, a razão entre o segundo volume e o primeiro é de:
(MACKENZIE - 1978) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:
(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, $\phantom{X}\stackrel \frown{AB} \phantom{X}$ é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo $\phantom{X}BCDE\phantom{X}$ é:
(COVEST - 1989) Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm ; o polígono é um hexágono regular, e o ângulo $\;A\hat{O}B\;$ é reto. Assinale a alternativa correta para a medida da área da região sombreada.
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,
a)
$\;18\sqrt{427}$
b)
$\;27\sqrt{427}$
c)
$\;36\sqrt{427}$
d)
$\;108\sqrt{3}$
e)
$\;45\sqrt{427}$
resposta:
Considerações:
Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência: 1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 $\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$
Resolução:
Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$ 1. calcular $\;R\;$: $\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm
2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$: A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$. O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$
3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$): Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$. Pelo Teorema de Pitágoras: $\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$
4. Calcular a área lateral da pirâmide: A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa
(ITA - 2004) Duas circunferência concêntricas $\;C_1\;$ e $\;C_2\;$ têm raios de $\;6\,cm\;$ e $\;6\sqrt{2}\,cm\;$, respectivamente. Seja $\;\overline{AB}\;$ uma corda de $\;C_2\;$, tangente à $\;C_1\;$. A área da menor região delimitada pela corda $\;\overline{AB}\;$ e pelo arco $\; \stackrel \frown{AB}\;$ mede, em $cm^2$,
(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$. $\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3. $\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$. O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
As equações das tangentes são: $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$
(USP) Na figura, temos a representação de um retângulo inscrito num setor de $\;90^o\;$ e de raio $6m$. Medindo o lado OA do retângulo $\;\frac{2}{3}\;$ do raio, o produto $OA\;\times\;AB\;$ é:
(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.
resposta:
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a $r_1$ (a reta tangente).
Então $\alpha = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o\;$ e sabemos que a tangente de $30^o$ é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. $tg30^o = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente} = \dfrac{OA}{AP} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow$ $ \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow \; r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\;$
2.
o arco $\stackrel \frown{AOB}$, suplementar de $\stackrel \frown{AOC}$, mede $120^o$.
Então a superfície $S = \dfrac{120^o}{360^o} \centerdot \pi (r)^2 = \dfrac{\pi}{3}(\dfrac{\sqrt{6}}{3})^2 = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio $\,R\,$ tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale $\, \dfrac{R}{m}\phantom{X} (m \geqslant 1)\,$. Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:
(FUVEST) Em um triângulo $\,ABC\,$ o lado $\,AB\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ e o ângulo $\,\hat{C}\,$, oposto ao lado $\,AB\,$, mede $\,45^o\,$. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
resposta:
Resolução:
Na figura, $\,\triangle ABC\,$ onde o ângulo $\,\hat{C}\,$ mede 45° e o lado $\,\overline{AB}\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro $\,O\,$.
Se $\,A\hat{C}B\,$ é um ângulo inscrito, então o ângulo $\,A\hat{O}B\,$ é o ângulo central correspondente e mede o dobro de $\,A\hat{C}B\,$, ou seja, mede $\,2\,\centerdot\,45^o\,=\,90^o\;$ $\,\longrightarrow \,$ o triângulo $\,A\hat{O}B\,$ é reto em $\,\hat{O}\,$
O triângulo $\,AOB\,$ é isósceles com dois lados iguais ao raio $\;r\;$ da circunferência e o terceiro lado igual a $\;4\sqrt{2}\,$.
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles $\,AOB\,$ temos:
Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é $\,\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{\,2\,}$ podemos utilizar o Teorema dos Senos: $\, \dfrac{med(AB)}{sen\,45^o}\,=\,2\, \centerdot \, Raio\;\Rightarrow\;\dfrac{\;4\sqrt{\,2\,}\;}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \,=\,2R\,\Rightarrow$ $\,2R\,=\,8\;\Rightarrow\;R\,=\,4\,$
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
resposta:
Resolução: A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é: $\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$. Como $\;C\,(0\,,\,0)\;$ e $\;R\,=\,3\;$, temos: $\,(x\,-\,0)^2\,+\,(y\,-\,0)^2\,=\,3^2\;\Rightarrow$ $\; \;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;$
Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.
resposta:
Resolução:
A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é: $\;(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\; \;$. Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então: $(x\,-\,2)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$ $\Rightarrow\;(x\,-\,2)^2\,+\,(y\,+\,3)^1\,=\,5^2\;\;\Rightarrow$ $\Rightarrow \phantom{X}\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;$
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
resposta:
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .
(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:
(ITA - 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por $\,Re\left(\dfrac{1}{z}\right)\,=\,C\,$ onde $\,z\,$ é um complexo não nulo e $\,C\,$ é uma constante real positiva. Para $\,C\,$ temos uma
a)
circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,C\,$.
b)
circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.
c)
circunferência tangente ao eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.
d)
circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.
e)
circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
resposta:
Resolução: a)
Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$. Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$. Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que: $\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$ resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento $\,\overline{PQ}\,$. 2. OP = 1 , OQ = $\,\sqrt{2}\,$. 3. A e B são pontos da circunferência. $\;\overline{AP}\; \bot \;\overline{PQ}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\overline{BQ}\; \bot\; \overline{PQ}\,$.
Assim sendo, determine:
a)
A área do triângulo APO.
b)
Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
(FUVEST - 1977) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo; cada um destes furos permite uma fazão de 1 litro por minuto. Esboce o gráfico do volume de água no reservatório em função do tempo (em minutos) posterior à realização dos furos. (Despreze o tamanho dos furos.)
resposta:
Resolução: Vamos chamar de $\;V_o$ o volume inicial total do reservatório (totalmente cheio de água). $\phantom{X}V_o\,=\,\pi\,\centerdot\,10^{\large 2}\,\centerdot\,30\,=\,3000\pi\;cm^{\large 3}\phantom{X}$ ou $\phantom{X}V_o\,=\,3\pi\,$ litros.
Cada furo permite a vazão de 1 litro por minuto, portanto a vazão de 2 furos é de 2 litros em cada minuto negativos. Volumetotal = Volumeinicial + (vazão)●(tempo) $\;\Longrightarrow\;V_t\;=\;3\pi\,-\,2t\;$. A equação acima vale até o momento em que o furo mais alto seja atingido pelo nível da água, ou seja, conforme a figura, durante a vazão de 2/3 do volume inicial. No instante em que o volume é um terço do inicial, ou seja, $\;V_t\,=\,\dfrac{1}{3}\centerdot 3\pi\,=\,\pi\;$ o furo mais alto deixa de ter vazão. Esse momento ocorre em: $\phantom{X}-2t\,=\,\pi\,-\,3\pi\;\Rightarrow\;t\;=\;\pi\phantom{X}$ .Então, após $\,\pi\,$ minutos a vazão é 1 litro por minuto, e o volume será Vtotal = $2\pi\,-\,t\,$ $\left\{ \begin{array}{rcr} V_{total}\,=\,3\pi\,-\,2t\,,&\;\mbox{se}\;t\,\leqslant\,\pi\phantom{XX}\; \\ V_{total}\,=\,2\pi\,-\,t\,,\;\;&\;\mbox{se}\;\pi\,\leqslant\,t\,\leqslant\,2\pi \\ \end{array}\right.$
(F. ESTÁCIO DE SÁ) Um espelho esférico convexo tem raio igual a 60 cm. Colocamos uma seta luminosa a 30 cm do vértice do espelho. Observamos que a imagem tem as seguintes características:
(MED SANTO ANDRÉ) Um ponto luminoso P percorre a distância AC, representada na figura, com velocidade escalar constante de 1,0 cm/s. E é um espelho esférico de centro C.
Qual a velocidade escalar média do ponto imagem de P, conjugado pelo espelho, quando P se desloca de A para C?
As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.
(CESGRANRIO - 1985) As circunferências da figura de centros M, N e P, são mutuamente tangentes externamente. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Então a área do triângulo MNP é:
(U.F.VIÇOSA - 1990) Na figura abaixo, a circunferência de centro P e raio 2 é tangente a três lados do retângulo ABCD de área igual a 32. A distância do ponto P à diagonal AC vale:
(FESP - 1991) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 6 cm. O triângulo é interceptado por um diâmetro de circunferência, formando um trapézio, conforme a figura abaixo. Podemos afirmar então que a razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio é igual a:
(U.C.SALVADOR - 1991) Na figura ao lado ABCD é um losango e A é o centro da circunferência de raio 4 cm. A área desse losango, em centímetros quadrados, é:
Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica conforme a figura. A abertura das taças é de 4 cm de raio interno, com profundidade de $\,8\sqrt{2}\,$cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?
a)
4
b)
3
c)
2
d)
1
e)
5
resposta:
Na figura, a pérola de colar esférica de centro O e raio 1 cm encalhada no fundo da taça com formato de cone — raio da base do cone $\;\overline{AB}\,=\,4\,$cm e altura do cone $\;h \,=\,8\sqrt{2}\,$cm. Foi traçada a altura do cone, o segmento $\;\overline{AC}\;$.
Se a esfera está apoiada sobre a face lateral do cone, então a aresta $\;\overline{BC}\;$ é tangente à esfera no ponto $\;P\;$ e o raio $\;\overline{OP}\;$ é perpendicular a $\;\overline{BC}\;$.
Consideremos o ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;ABC\;$ reto em $\;\hat{A}\;$.
$\,(d\,+\,1)^2\,=\,1^2\,+\,(2\sqrt{2})^2\;\Rightarrow\;d\,+\,1\,=\,\sqrt{9}\,$ $\Rightarrow\;d\,=\,3\,-\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\,d\,=\,2\,}\,$, que corresponde à
a altura do cone reto é $\,H\,=\,\sqrt{22}\,$ cm ×
A geratriz de um cone circular reto mede 10 cme a altura 8 cm. Determine o raio da base.
resposta:
Geratriz do cone é qualquer segmento de reta lateral com uma extremidade no vértice do cone e outra extremidade no perímetro da base do cone.
Como o cone é circular reto, a figura hachurada é um triângulo retângulo onde os catetos são, respectivamente, a altura do cone (8 cm) e o raio da base do cone (r). A hipotenusa é a geratriz do cone. $\,G^2\;=\;h^2\;+\;r^2\;\Rightarrow\;$ $\,10^2\,=\,8^2\,+\,r^2\;\Rightarrow\;$ $\,r^2\,=\,100\,-\,64\;\Rightarrow\;$ $r\;=\;6\,cm$
Sabendo que a área da base de um cone circular reto mede $\;16\pi\,cm^2\;$ e sua geratriz $\;5\,cm\;$, determine a altura do cone.
resposta:
Sendo o cone circular, sua base é um círculo. Podemos calcular o raio da base: $\,\require{cancel} S_{\text base}\,=\,\pi\,r^2\,=\,16\,\pi\;\Rightarrow$ $\,r^2\,=\,\dfrac{\,16\,\cancel{\pi}\,}{\cancel{\pi}}\,$ $\,\boxed{\;r = 4\;}\,$ Considerando-se o triângulo retângulo de catetos h e r com hipotenusa 5 cm, temos: (geratriz)² = (raio)² + (altura)² $\,4^2\,+\,h^2\,=\,5^2\,\;\Rightarrow$ $\,h^2\,=\,25\,-\,16\;\Rightarrow$ $\,h\,=\,3\,$cm
O ângulo do vértice da secção meridiana de um cone circular reto mede 60°e a área desta secção mede $\;4\sqrt{3}\,cm^2\;$. Determine o raio da base e a altura do cone.
resposta: $\,R\,=\,2\,cm\;$ e $\;H\,=\,2\sqrt{3}\,cm\;$ ×
O raio da base de um cone circular reto é Re a altura h. Determine sua área lateral.
resposta: Alateral$\,=\,\pi R \sqrt{R^{\large 2}\,+\,h^{\large 2}}\;$ ×
Determine a área da secção meridiana de um cone circular reto, sabendo que seu volume é $\;128\pi\;m^3\;$ e que seu raio mede $\;8\;m\;$.
Sabendo que um cone circular reto tem altura 24 cm e raio da base 8 cm , determine a que distância do vértice ele deve ser interceptado por um plano paralelo ao plano da base de forma que que a área da secção obtida seja $\;25 \pi\;$cm² .
A área lateral de um cone de revolução é o dobro da área da base. Calcule o volume do cone, sabendo que ele é equivalente a um cilindro de 1 m de altura e que tem por base um círculo de raio igual à altura do cone.
Calcular a altura de um cilindro circular reto inscrito num cone circular reto de raio 9 cme geratriz 16 cm, de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa circular determinada pelas bases do cilindro e do cone.
Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).
(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale
a)
$\;144\,cm^2\;$
b)
$\;12\,\pi\,cm^2\;$
d)
$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro
c)
$\;24\,cm^2\;$
e)
$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro
resposta:
Considerações:
Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro. Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro. Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases. O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.
A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$. $\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$
A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.
A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita
$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R
=
$\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$
A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais: Alateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$
Defina cilindro equilátero e calcule sua área lateral em função do raio da base.
resposta: Cilindro equilátero é aquele cuja secção meridiana é um quadrado $\;S_{\large \ell}\;=\;4\pi R^{\large 2}\;$ ×
(MAUÁ) Um cilindro circular reto, de raio R e altura h = 2R , é cortado por um plano paralelo ao seu eixo. Sendo R/2 a distância do eixo ao plano secante, calcule o volume do menor segmento cilíndrico resultante desta secção.
(PUC CAMPINAS) Uma nuvem está a um potencial de 8×106 V relativamente à Terra. Uma carga de 40 C é transferida por um raio, da nuvem à Terra. A energia dissipada foi de:
Considere um raio de luz que se reflete em uma superfície plana. O raio incidente é I e o raio refletido é R . O ângulo de incidência é α e o ângulo de reflexão é β .
I -
Os raios I e R estão em um mesmo plano.
II -
O ângulo α é igual ao ângulo β .
III -
Para os ângulos α e β vale a relação (α + β) < 180° .
Construa o raio de luz que parte do objeto luminoso P, sofre reflexão no espelho plano E e chega ao olho do observador O, nos esquemas (I) e (II).
ESQUEMA (I)
Se o raio incidente passa por P, o raio refletido passa por que é a imagem de P dada pelo espelho plano E. Como o raio refletido deve chegar em O, sua direção é dada pela reta
ESQUEMA (II)
Se o raio refletido deve chegar em O, o raio incidente deve passar por que é a imagem de O dada pelo espelho plano E de acordo com a reversibilidade da luz. Como o raio incidente deve passar por P, sua direção é dada pela reta
Determine o tamanho mínimo e a posição de um espelho plano vertical para que um observador de altura H, cujos olhos estão à altura h, possa se ver de corpo inteiro.
resposta:
Resolução:Vamos construir a imagem no espelho plano e definir a relação entre as medidas.
Passo 1. Marcar os pontos A' e B' simétricos a A e B em relação à superfície do espelho. Desenhar a imagem A'B' simétrica, que na figura (em azul) representa a imagem de AB no espelho. A medida da distância entre a pessoa AB até o espelho (p) é igual à medida da distância da imagem A'B' ao espelho (p')
Passo 2. Para o observador enxergar a imagem do seu pé, ou seja, enxergar o ponto A, o raio de luz que atinge o seu olho no ponto O deve passar pela imagem do pé no ponto A'. Desenhe então o raio que parte de A' e atinge O. Lembre-se que atrás do espelho é o ambiente escuro, por isso a porção do raio A'O atrás do espelho é representada como linha pontilhada. Note na figura que o ponto de cruzamento do raio A'O com o espelho E é o ponto chamado I1. O segmento OI1 representa o raio de luz; o segmento I1A' pontilhado representa o prolongamento do raio que define a imagem da sola do pé A'.
Passo 3. O raio I1O é resultado da reflexão da luz real de um raio que partiu de A e atingiu o espelho no ponto I1. Desenhar então o raio AI1.
Passo 4. Analogamente, para que o observador possa ver a imagem do topo da sua cabeça, o olho deve receber um raio que passa pelo ponto alto da imagem de sua cabeça, o ponto B'. Desenhamos um raio de luz que atinge O e cujo prolongamento passa pela imagem do topo da cabeça B'. Note que esse raio de luz OB' cruza com o espelho num ponto que foi chamado I2. O segmento B'I2 é representado por linha pontilhada porque está na área escura do espelho, ou seja, é apenas um prolongamento do raio de luz. O segmento I2O é o raio de luz na área clara (real), por isso é representado por linha contínua.
Passo 5. O raio I2O é resultado da reflexão de um raio real que partiu de B e atingiu o espelho no ponto I2. Desenhar então o raio BI2: o raio que, refletido, gerou a imagem do ponto mais alto da cabeça.
Passo 6. Do esquema ao lado, podemos concluir que o triângulo A'OB' e o triângulo I1OI2 são semelhantes pelo critério (AA∾). O ângulo $\hat{O}$ é comum a ambos os triângulos A'OB' e I1OI2 Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_2}$ e $\hat{B'}$ são ângulos correspondentes. Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_1}$ e $\hat{A'}$ são ângulos correspondentes.
Passo 7. Conforme o enunciado, a altura do observador em frente ao espelho é H então $\;\overline{AB}\;=\;H\,$ Vamos chamar a dimensão vertical mínima do espelho $\;\overline{I_1I_2}\;$ de $\;d\;$. Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .Da semelhança dos triângulos OI1I2 e OA'B' decorre que: $\;\dfrac{\;H\;}{\;d\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{|p|}\;\Rightarrow\;H\,=\,2d\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;d\;=\;\dfrac{\;H\;}{\;2\;}\;}\;$
O tamanho mínimo de um espelho plano, na posição vertical, para que uma pessoa possa ver seu corpo inteiro, independe da distância entre a pessoa e o espelho.
Passo 8. Vamos chamar de D a posição do espelho em relação ao chão, então $\;\overline{CI_1}\;=\;D\,$ A distância do olho do observador até o chão, segundo o enunciado, é $\;h\;$, então $\;\overline{AO}\;=\;h\,$. O triângulo AOA' é semelhante ao triângulo CI1A' pelo critério (AA∾) O ângulo $\;\hat{A}\;$ e o ângulo $\;\hat{C}\;$ são ângulos retos; O ângulo $\;\hat{A'}\;$ é um ângulo comum aos dois triângulos. Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| . Da semelhança dos triângulos AOA' e CI1A' decorre que: $\;\dfrac{\;h\;}{\;D\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{\;|p|\;}\;\Rightarrow\;h\;=\;2D\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;D\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,2\,}\;}$
A posição de um espelho plano relativa ao solo para que um observador consiga ver-se de corpo inteiro independe da distância do observador ao espelho (p).
Comparando os valores de Δ e α, fica evidente que: Δ = 2(i2 + r1) Δ = 2 α
b) Quando α = 90° temos que Δ = 180°, isso significa que os raios emergentes são paralelos. ×
Na figura E é um espelho esférico côncavo, O é o centro de curvatura e F é o foco. Um raio de luz incide em E passandopor O e não passando por F . O raio refletido:
a)
passa por O.
b)
somente passa por O se o raio incidente for paraxial.
Seja E um espelho esférico de pequena abertura mergulhado num líquido de índice de refração n .Seja S uma fonte de luz que envia raio luminoso paralelo ao eixo principal do espelho como mostra a figura. Esvaziando a cuba, o raio refletido passará por um ponto do eixo principal, cuja distância do vértice V é f' :
a)
igual à distância f anterior.
b)
maior que a distância f anterior.
c)
menor que a distância f anterior.
d)
nada podemos concluir sem o conhecimento de n.
e)
nada podemos concluir sem o conhecimento do índice de refração do ar no local.
(MACKENZIE) Os esquemas abaixo representam a reflexão de um raio luminoso em um espelho esférico côncavo. Assinale o correto:
a)
b)
c)
d)
e)
resposta: (E) O raio que incide no espelho esférico passando pelo centro de curvatura reflete pelo mesmo trajeto. ×
Na figura, Y é um espelho côncavo e X é o seu foco principal. O é um objeto pontual. Qual dos pontos A , B , C , D ou E melhor corresponde à imagem de O conjugada por Y?
a)
A
b)
B
c)
C
d)
D
e)
E
resposta: (E)
Resolução:
De acordo com o enunciado, X é o foco do espelho. O raio incidente (I) representado em vermelho é paralelo ao eixo principal e reflete passando pelo foco. O raio incidente (II) representado em azul passa pelo foco e reflete paralelo ao eixo principal do espelho. A formação da imagem é na intersecção dos raios refletidos, o que acontece em E.
No esquema a seguir temos um objeto real AB e sua imagem virtual A'B' fornecida por um espelho esférico.
Os pontos A e A' estão sobre o eixo principal do espelho. O vértice, o foco e o centro de curvatura do espelho são, nessa ordem:
a)
X, Y e Z.
b)
X, Z e Y.
c)
Y, X e Z.
d)
Y, Z e X.
e)
Z, X e Y.
resposta: (D)
Resolução:
1. O raio (I), representado em vermelho, define uma reta que une o ponto objeto com sua imagem conjugada. O cruzamento da reta (I) com o eixo principal do espelho determina o centro de curvatura do espelho, o ponto X.
2. O raio (II), representado em azul, define uma reta que une o ponto imagem ao simétrico do objeto. O cruzamento da reta (II) com o eixo principal determina a posição do espelho (= o vértice do espelho), o ponto Y.
3. O foco é o ponto médio entre o centro de curvatura (X) e o vértice (Y), então o foco é o ponto Z.
Considere duas lâminas de vidro de mesmo material, imersas no ar e dispostas paralelamente. Um raio de luz atravessa o sistema.
Sabendo-se que os índices de refração do ar e do vidro valem $\,1\,$ e $\,\sqrt{\;3\;}\,$ respectivamente e que $\,\alpha\,=\,30^o\,$, calcule os ângulos $\phantom{X}\beta,\; \gamma, \; \Delta\phantom{X}$ e $\phantom{X}\varepsilon \phantom{X}$
Considere uma lâmina de vidro de faces paralelas imersa no ar. O índice de refração absoluto do ar vale 1,0 e do vidro vale 2,0.
a) Construa os seguintes gráficos para $\,0\,\leqslant\,i\,\leqslant\,90^o\,$: (1) $\,sen\;r\,$ em função de $\,sen\;i\,$; (2) $\,sen\;i'\,$ em função de $\,sen\;i\,$.
b) Responda, justificando, se o raio de luz pode sofrer reflexão total na fronteira vidro-ar.
Um feixe de luz monocromática e de raios paralelos entre si, penetra numa região cúbica, de aresta L, representada em corte na figura abaixo. Os raios emergem desta região segundo as direções indicadas.
Essa região cúbica deve conter, dentre as seguintes:
a)
Uma lente convergente de distância focal menor que L.
b)
Uma lente divergente de distância focal menor que L.
c)
Uma lente convergente de distância focal maior que L.
d)
Uma lente divergente de distância focal maior que L.
Para acender um pavio utilizando a luz solar, ele é colocado a 10 cm de uma lente.
a)
De que tipo é a lente, convergente ou divergente? Justifique sua resposta.
b)
Qual é a distância focal da lente?
resposta: a) lente convergente. Os raios solares incidem paralelos ao eixo óptico principal da lente e após atravessar a lente convergem para o pavio, concentrando os raios nesse ponto e aumentando a temperatura. b) o pavio deve estar no foco imagem real a 10 cm da lente, portanto a distância focal da lente é 10 cm. ×
Um objeto puntiforme encontra-se a uma distância p de uma lente convergente ideal de distância focal f = p/2 . A imagem deste objeto é projetada nitidamente sobre uma tela disposta perpendicularmente ao eixo principal da lente. Faz-se o objeto executar um movimento circular uniforme de raio d , com centro no eixo principal e perpendicular a ele. Dada a velocidade escalar V1 do objeto, a velocidade escalar V2, da imagem, será:
Uma lente plano-convexa tem, no ar, a convergência de 8,0 di e, dentro da água, sua convergência passa a ser de 1,0 di . Calcular o raio de curvatura da face esférica da lente, sabendo-se que o índice de refração absoluto da água vale 4/3 .
Na figura abaixo estão representados um objeto e uma lente divergente delgada. Aproximadamente em que ponto do eixo óptico vai se formar a imagem do objeto conjugada pela lente?
São dadas duas lentes L1 e L2 e um feixe cilíndrico de luz.
O ponto F representa o foco imagem de L1 e também o foco objeto de L2. Sabendo que cada quadradinho na figura representa um quadrado real de 2,0 cm, pede-se:
a)
as distâncias focais de L1 e L2;
b)
construir o trajeto dos raios de luz e obter a relação entre os diâmetros dos feixes emergente e incidente.
resposta: a) FL1 = 8,0 cm e FL2 = 4,0 cm b)$\,\dfrac{d_{\text emergente}}{d_{\text incidente}}\;=\;\dfrac{\;1\;}{2}\,$
(IME) Um espelho plano sofre uma rotação de um ângulo α . Sabendo-se que o ângulo formado pelos raios refletidos antes e após a rotação é 70° , qual o valor de α ?
(FUVEST - 2012) Um rapaz com chapéu observa sua imagem em um espelho plano e vertical. O espelho tem o tamanho mínimo necessário, y = 1,0 m , para que o rapaz, a uma distância d = 0,5 m , veja a sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés. A distância de seus olhos ao piso horizontal é h = 1,60 m . A figura ilustra essa situação e, em linha tracejada, mostra o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem do ponto mais alto do chapéu.
a)
Desenhe, na figura, o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem da ponta dos pés do rapaz.
b)
Determine a altura H do topo do chapéu ao chão.
c)
Determine a distância Y da base do espelho ao chão.
d)
Quais os novos valores do tamanho mínimo do espelho (y') e da distância da base do espelho ao chão ( Y' ) para que o rapaz veja sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés, quando se afasta para uma distância d' iguala 1 m do espelho?
Qual é a área da secção plana feita numa esfera de raio 1 cm , por um plano distante $\,\frac{\;\sqrt{\,2\,}\;}{6}\,$cm do centro da mesma?
resposta:
Veja a figura onde está representado o raio da secção (r), o raio da esfera (R = 1) e a distância entre a secção e o centro da esfera ($\,\frac{\sqrt{2}}{6}\,$).
Aplicando o teorema de pitágoras: $\,R^2\,=\,r^2\,+\,(\frac{\sqrt{\,2\,}}{6})^2\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,1\,-\,(\frac{2}{\,36\,})\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,\frac{\,34\,}{\,36\,}\;=\;\frac{\,17\,}{\,18\,}\;$
O raio da secção plana é $\,r\,=\,\sqrt{\,\frac{17}{18}\;}\,$. Como essa secção tem área circular, então:
Qual a área da superfície da esfera cuja secção meridiana tem 6 ℼ m² de área?
resposta:
Quando um plano α secciona uma esfera e contém o centro da mesma, a secção será denominada 'círculo máximo da esfera' (seu raio é o mesmo raio da esfera).
Considerações:
O raio da secção meridiana tem medida igual à medida do raio da esfera.
A secção meridiana de uma esfera de raio R é equivalente a uma secção menor de uma segunda esfera, distante R do centro. Calcular o raio desta segunda esfera em função de R.
resposta:
Quando um plano α secciona uma esfera e não contém o centro da mesma, a secção determinada será um círculo cujo raio é menor do que o raio da esfera. Essa seção é denominada 'círculo menor esfera'.
Considerações:
No desenho, de acordo com o enunciado, a esfera maior apresenta uma secção plana que dista R do centro da esfera. O círculo menor determinado é equivalente ao círculo de raio R que encontramos na secção meridiana da esfera pequena.
Decorre do Teorema de Pitágoras: $\,x^2\,=\,R^2\,+\,R^2\,$ $\,x\,=\,R\sqrt{\,2\,}\,$
Dada uma esfera de raio r , calcular o volume do cilindro equilátero circunscrito.
resposta:
Resolução: O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base. Área da Base = $\,A_B = \pi\,r^2\;$ $\;h\,=\,2r\;$ $\,V\,=\,A_B\,\centerdot\,h\,=\,\pi\,r^2\,\centerdot\,2r\,=\,2\pi\,r^3\,$
