a) se existir um(a) e um(a) só b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as) c) se existir um número finito porém maior que 2 d) se existirem infinitos(as) e) se não existir nenhum(a) de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
1º reta perpendicular a duas retas reversas. 2º plano paralelo a duas retas reversas. 3º dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra. 4º retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{CD}$ reversas, plano por $\overleftrightarrow{CD}$ e equidistante dos pontos $A$ e $B$.
(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p . Então:
a)
se C dividir o segmento $\;\;\overline{AB}\;\;$ em partes iguais a $\;\; \overline{MA}\,=\,\overline{MB}\;\;$, então o segmento $\;\;\overline{MC}\;\;$ é perpendicular a p
b)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
c)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então $\;\;\overline{MA}\,=\,\overline{MB}\,=\,\overline{MC}\;\;$ implica que o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
d)
se ABC for um triângulo equilátero e o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C .
(MACKENZIE - 1979) O triângulo $\,MNP\,$ retângulo em $\,N\,$ e o paralelogramo $\,NPQR\,$ situam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais":
a)
é sempre verdadeira.
b)
não pode ser analisada por falta de dados.
c)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = \overline{QR}$.
d)
nunca é verdadeira.
e)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = 2\overline{QR}$.
(ITA - 1982) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x . A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60° . O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x . A área da superfície total do sólido mede:
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ . Sabe-se que $ABCD$ é um retângulo, $AE \perp AB$ e $AE \perp AD$ . Pode concluir que são perpendiculares as retas:
a) $EA$ e $EB$ b) $EC$ e $CA$ c) $EB$ e $BA$ d) $EA$ e $AC$ e) $AC$ e $BE$
(PUC-SP - 1981) Dois planos $\,\beta\;$ e $\;\gamma\,$ se cortam na reta $\,r\,$ e são perpendiculares a um plano $\alpha$. Então:
a) $\beta$ e $\gamma$ são perpendiculares. b) $r$ é perpendicular a $\alpha$. c) $r$ é paralela a $\alpha$. d) todo plano perpendicular a $\alpha$ encontra $r$. e) existe uma reta paralela a $\alpha$ e a $r$.
(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?
(UFBA - 1981) Sendo $\alpha$ e $\beta$ dois planos e $r_{1}$ e $r_{2}$ duas retas, tais que $\alpha \; // \; \beta$, $r_1 \; \perp \; \alpha$ e $r_2 \; // \; \beta$, então $r_1$ e $r_2$ podem ser:
(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:
(PUC-SP - 1982) Um triângulo isósceles $ABC$, com $AB = BC = 30$ e $AC = 24$, tem o lado $AC$ contido em um plano $\alpha$ e o vértice $B$ a uma distância 18 de $\alpha$. A projeção ortogonal do triângulo $ABC$ sobre o plano $\alpha$ é um triângulo: a) retângulo. b) obtusângulo. c) equilátero. d) isósceles, mas não equilátero. e) semelhante ao triângulo $ABC$.
(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a)
5
b)
10
c)
15
d)
18
e)
24
resposta:
O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.
O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo). Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si. As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes. Resolução:
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas.
Modo intuitivo: A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos.
Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5.
1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, $\,5\,\times\,2\,=\,10\,$ e são 10 as diagonais do prisma pentagonal.
(UFRS - 1981) Uma caixa tem 1 m de comprimento, 2 m de largura e 3 m de altura. Uma segunda caixa de mesmo volume tem comprimento $x$ metros maior do que o da anterior, largura $x$ metros maior do que a da anterior e altura $x$ metros menor que a da anterior. O valor de $\,x\,$ é:
(UFPR - 1980) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equilátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o ponto equidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtém-se:
(PUC-RS - 1980) Se "$\;\ell\;$" é a medida da aresta de um tetraedro regular, então sua altura mede:
a)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{2}}{3}$
c)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{4}$
b)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$
d)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{3}$
e)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{9}$
resposta:
Resolução:
altura do tetraedro regular:
Na figura, o segmento $\;\overline{MC}\;$ ou apótema "g" na face inferior do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$: $\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$ O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo. A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então: $\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$ $\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$ Assim temos: $\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$ Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$
(UCMG - 1981) O raio da base de um cone de revolução é 10 cm, e a altura 30 cm. Se o raio aumentar 1 cm e a altura diminuir 3 cm, a razão entre o segundo volume e o primeiro é de:
Pretende-se contruir um tanque com a forma e dimensões da figura ao lado. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro circular reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde às relaçoes existentes entre as dimensões indicadas.
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,
a)
$\;18\sqrt{427}$
b)
$\;27\sqrt{427}$
c)
$\;36\sqrt{427}$
d)
$\;108\sqrt{3}$
e)
$\;45\sqrt{427}$
resposta:
Considerações:
Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência: 1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 $\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$
Resolução:
Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$ 1. calcular $\;R\;$: $\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm
2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$: A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$. O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$
3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$): Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$. Pelo Teorema de Pitágoras: $\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$
4. Calcular a área lateral da pirâmide: A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa
(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$. O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento. Determinar o volume do prisma $\;C\;$.
(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.
resposta:
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a $r_1$ (a reta tangente).
Então $\alpha = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o\;$ e sabemos que a tangente de $30^o$ é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. $tg30^o = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente} = \dfrac{OA}{AP} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow$ $ \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow \; r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\;$
2.
o arco $\stackrel \frown{AOB}$, suplementar de $\stackrel \frown{AOC}$, mede $120^o$.
Então a superfície $S = \dfrac{120^o}{360^o} \centerdot \pi (r)^2 = \dfrac{\pi}{3}(\dfrac{\sqrt{6}}{3})^2 = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
(ITA - 1990) Seja V o vértice de uma piramide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os angulos das faces laterais, no vértice V, são todos iguais a 45 graus. Deste modo, o volume da piramide será igual a:
(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:
1.$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,+\,c^2\,+\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\;\Rightarrow\phantom{XX}$(I) 2.$\,D\,=\,\sqrt{a^2\,+\,b^2\,+\,c^2}\phantom{XX}$(II) 3.$\,A_{\large t}\,=\,2(ab\,+\,bc\,+\,ac)\,=\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\phantom{XX}$(III) então substituindo em (I) as assertivas (II) e (III) temos que: $\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\, $
Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo com dimensões a , b e c .
resposta:
Conforme a figura ao lado, o polígono $\,ABCD\,$ é o retângulo de uma das bases do paralelepípedo reto retângulo de medidas $\,a\,,\,b\,$ e $\,c\,$.
Traçada a diagonal da base $\,\overline{BC}\,$ obtém-se o triângulo retângulo $\,BAC\,$, reto no ângulo de vértice $\,A\,$, com catetos de medidas iguais às arestas da base a e b e hipotenusa o segmento $\;\overline{BC}\;$ oposto a $\,\hat{A}\,$.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,ABC\,$ temos:
Traçando-se a diagonal do paralelepípedo $\;\overline{FC}\;$ (veja figura) temos o triângulo retângulo $\;CBF\;$, reto em $\,\hat{B}\,$ cujos catetos são $\,\overline{BF}$ de medida igual a $\;c\;$ e $\;\overline{BC}\,$ de medida $\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,FBC\,$ temos a medida da hipotenusa $\,\overline{FC}\,$ que é uma diagonal do paralelepípedo.
(USP) A altura de um tetraedro regular de aresta $\phantom{X}\ell\phantom{X}$ vale:
a)
$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\,$
b)
$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
d)
$\,\ell\,\phantom{\dfrac{X}{X}}$
e)
$\,\ell\,\sqrt{\,2\,}\,$
resposta:
altura do tetraedro regular:
Na figura, o apótema "g" do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$: $\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$ O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo. A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então: $\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$ $\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$ Assim temos: $\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$ Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$
Um monumento tem o pedestal em forma de tronco de pirâmide quadrada, onde o apótema tem 6 m e as bases tem lados de 4 m e 2 m. Qual o volume de concreto usado para fazer o pedestal?
resposta:
Conforme a figura, no triângulo hachurado ABC temos:
● o segmento AB é o apótema lateral com medida 6 m, ● o segmento BC é 1 m, igual a metade da diferença entre a medida dos lados da base menor e da base maior e ● e AC é altura do pedestal.
Pelo teorema de Pitágoras:
$\;(AB)^2\,=\,(BC)^2\,+\,(AC)^2\phantom{X}$ $\;(AC)^2\;=\;36\;-\;1\;\Longrightarrow\;\;(AC)\;=\;\sqrt{\;35\;}\phantom{X}$ Portanto a altura do tronco de pirâmide (pedestal) é $\,\sqrt{\,35\,}\,m\,$
$\;A_b\;=\;$ Área da base menor $\;= 2^2 = 4 m^2\;$ $\;A_B\;=\;$ Área da base maior $\;= 4^2 = 16 m^2\;$ $\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;h\;}{\;3\;}\left({A_b\;+\;\sqrt{\;A_b\;\centerdot\;A_B\;}\;+\;A_B}\right)\phantom{X}$ $\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;\sqrt{\,35\,}\;}{\;3\;}\left( 4\;+\;\sqrt{\;4\;\centerdot\;16\;}\;+\;16\right)\phantom{X}$ $\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;\sqrt{\,35\,}\;}{\;3\;}\left(20\;+\;\sqrt{\;64\;}\right)\phantom{X}$ $\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;\sqrt{\,35\,}\;}{\;3\;}\left(20\;+\;8\right)\phantom{X}$
