Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(ITA - 1970) Quando a projeção de um ângulo $\;\theta\;$ sobre um plano paralelo a um de seus lados é um ângulo reto, podemos afirmar que:
a)
$90^{o}\,<\,\theta\,<\,180^{o}$
b)
$\theta\,<\,90^{o}$
c)
$\theta \, = \, 90^{o}$
d)
$\theta \, = \, 2\pi \, Rad$
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: Alternativa C
×
(CESCEM - 70) Do enunciado abaixo:

"A condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano."

Podemos concluir que:
a)
A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos.
b)
A condição ser necessária significa que: toda reta paralela a uma reta de um plano é paralela a este plano.
c)
A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta conterá todas as retas paralelas à reta dada.
d)
A condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos.
e)
Nenhuma das anteriores.

 



resposta: Alternativa E
×
(MACKENZIE - 1973) Marque uma das alternativas:

a) se existir um(a) e um(a) só
b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as)
c) se existir um número finito porém maior que 2
d) se existirem infinitos(as)
e) se não existir nenhum(a)
de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:

reta perpendicular a duas retas reversas.
plano paralelo a duas retas reversas.
dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra.
retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{CD}$ reversas, plano por $\overleftrightarrow{CD}$ e equidistante dos pontos $A$ e $B$.

 



resposta: 1a - 2d - 3e - 4b
×
(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p .
Então:
a)
se C dividir o segmento $\;\;\overline{AB}\;\;$ em partes iguais a $\;\; \overline{MA}\,=\,\overline{MB}\;\;$, então o segmento $\;\;\overline{MC}\;\;$ é perpendicular a p
b)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
c)
se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então $\;\;\overline{MA}\,=\,\overline{MB}\,=\,\overline{MC}\;\;$ implica que o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ é perpendicular a p .
d)
se ABC for um triângulo equilátero e o segmento $\;\;\overline{MD}\;\;$ for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C .
e)
nenhuma das respostas anteriores.

 



resposta: alternativa C
×
(MACKENZIE - 1979) Considere as afirmações:
   I -
Se uma reta é paralela a dois planos, então estes planos são paralelos.
  II -
Se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a uma reta do outro.
 III -
Se duas retas são reversas, então existe uma única perpendicular comum a elas.
Então:
a)
todas são verdadeiras.
b)
somente a II é verdadeira.
c)
somente a III é verdadeira
d)
somente a I é verdadeira.
e)
somente II e III são verdadeiras.

 



resposta: alternativa E
×
(MACKENZIE - 1979) O triângulo $\,MNP\,$ retângulo em $\,N\,$ e o paralelogramo $\,NPQR\,$ situam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais":
a)
é sempre verdadeira.
b)
não pode ser analisada por falta de dados.
c)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = \overline{QR}$.
d)
nunca é verdadeira.
e)
é verdadeira somente se $\overline{MN} = 2\overline{QR}$.

 



resposta: alternativa A
×
(ITA - 1982) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x . A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60° . O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x . A área da superfície total do sólido mede:
a)
$(\sqrt{3}\,-\,{\large \frac{1}{2}})\pi$
b)
$(\sqrt{3}\,+\,{\large \frac{1}{2}})\pi$
c)
$(\sqrt{3}\,-\,{\large \frac{1}{2}})\pi$
d)
$(\sqrt{3}\,-\,{\large \frac{5}{2}})\pi$
e)
$\dfrac{5\pi}{2}$
sólido de revolução

 



resposta: (E)
×
(PUC-SP - 1980) Se r e s são retas reversas, então pode-se garantir que:
a)
todo plano que contém r também contém s .
b)
existe um plano que contém r e é perpendicular a s .
c)
existe um único plano que contém r e s .
d)
existe um plano que contém r e é paralelo a s .
e)
toda reta que encontra r encontra s .

 



resposta: alternativa D
×
(MACKENZIE - 1980) Considerando as afirmações abaixo, assinale a alternativa correta:
   I -
Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
  II -
Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóia em ambas.
 III -
Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então é perpendicular à interseção desses planos.
a)
Somente a afirmação I é verdadeira.
b)
Somente a afirmação II é verdadeira.
c)
São verdadeiras as afirmações II e III, apenas.
d)
Todas as afirmações são verdadeiras.
e)
Nenhuma afirmação é verdadeira.

 



resposta: Alternativa C
×
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ . Sabe-se que $ABCD$ é um retângulo, $AE \perp AB$ e $AE \perp AD$ . Pode concluir que são perpendiculares as retas:

a) $EA$ e $EB$
b) $EC$ e $CA$
c) $EB$ e $BA$
d) $EA$ e $AC$
e) $AC$ e $BE$



 



resposta: Alternativa D
×
(PUC-SP - 1981) Dois planos $\,\beta\;$ e $\;\gamma\,$ se cortam na reta $\,r\,$ e são perpendiculares a um plano $\alpha$. Então:

a) $\beta$ e $\gamma$ são perpendiculares.
b) $r$ é perpendicular a $\alpha$.
c) $r$ é paralela a $\alpha$.
d) todo plano perpendicular a $\alpha$ encontra $r$.
e) existe uma reta paralela a $\alpha$ e a $r$.



 



resposta: Alternativa B
×
(PUC-SP - 1980) Assinale a afirmação verdadeira:
a)
Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b)
Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si.
c)
Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.
d)
Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
e)
Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.

 



resposta: Alternativa C
×
(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?
a)
$k = {\dfrac{11}{3}}$
b)
$k = {\dfrac{15}{4}}$
c)
$k = 2$
d)
$k ={\dfrac{1}{2}}$
e)
nenhuma das respostas anteriores
circunferência no plano cartesiano

 



resposta: alternativa B
×
(UFBA - 1981) Sendo $\alpha$ e $\beta$ dois planos e $r_{1}$ e $r_{2}$ duas retas, tais que $\alpha \; // \; \beta$, $r_1 \; \perp \; \alpha$ e $r_2 \; // \; \beta$, então $r_1$ e $r_2$ podem ser:
a)
paralelas a $\alpha$.
b)
perpendiculares a $\beta$.
c)
coincidentes.
d)
oblíquas.
e)
ortogonais.

 



resposta: Alternativa E
×
(FUVEST - 1982) Sejam $r$ e $s$ duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:
a)
existe uma reta perpendicular a $\;r\;$ e a $\;s\;$.
b)
$\;r\;$ e $\;s\;$ determinam um único plano.
c)
existe um plano que contém $\;s\;$ e não intercepta $\;r\;$.
d)
existe uma reta que é paralela a $\;r\;$ e a $\;s\;$.
e)
existe um plano que contém $\;r\;$ e um único ponto de $\;s\;$.

 



resposta: Alternativa A
×
(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:
a) 165°
b) 155°
c) 145°
d) 130°
e) 120° 
imagem do triângulo no plano alfa

 



resposta: alternativa B
×
(UBERLÂNDIA - 1982) Das alternativas abaixo:
   I -
Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si.
  II -
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um forma um ângulo reto com qualquer reta do outro.
 III -
Distância entre duas retas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra.
 IV -
Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então por qualquer ponto de uma passa reta que se apoia nas outras duas.
Pode-se afirmar que:
a)
todas as alternativas são verdadeiras.
b)
todas as alternativas são falsas.
c)
apenas a alternativa I é falsa.
d)
apenas a alternativa I é verdadeira.
e)
apenas as alternativas I, II e III são verdadeiras.

 



resposta: Alternativa B
×
(PUC-SP - 1982) Um triângulo isósceles $ABC$, com $AB = BC = 30$ e $AC = 24$, tem o lado $AC$ contido em um plano $\alpha$ e o vértice $B$ a uma distância 18 de $\alpha$. A projeção ortogonal do triângulo $ABC$ sobre o plano $\alpha$ é um triângulo:
a) retângulo.
b) obtusângulo.
c) equilátero.
d) isósceles, mas não equilátero.
e) semelhante ao triângulo $ABC$.

 



resposta: Alternativa C
×
(PUC-SP - 1979) A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre:
a)
3 retos e 6 retos.
b)
1 reto e 2 retos.
c)
2 retos e 6 retos.
d)
2 retos e 5 retos.
e)
3 retos e 5 retos.

 



resposta: Alternativa C
×
(PUC-SP - 1980) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
a)
hexaedro
b)
octaedro
c)
dodecaedro
d)
icosaedro
e)
tridecaedro

 



resposta: Alternativa D
×
(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a)
5
b)
10
c)
15
d)
18
e)
24

 



resposta:

O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.

O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo).
Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si.
As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes.
Resolução:
diagonais num prisma pentagonal
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas.

Modo intuitivo:
A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos.
Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5.
1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, $\,5\,\times\,2\,=\,10\,$ e são 10 as diagonais do prisma pentagonal.
Resposta:
Alternativa B
×
(UFRS - 1981) Uma caixa tem 1 m de comprimento, 2 m de largura e 3 m de altura. Uma segunda caixa de mesmo volume tem comprimento $x$ metros maior do que o da anterior, largura $x$ metros maior do que a da anterior e altura $x$ metros menor que a da anterior. O valor de $\,x\,$ é:
a)
$\sqrt{2}$
b)
$\sqrt{3}$
c)
$\sqrt{5}$
d)
$\sqrt{6}$
e)
$\sqrt{7}$

 



resposta: alternativa E
×
(UFPR - 1980) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equilátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o ponto equidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtém-se:
a)
6 unidades.
b)
5 unidades.
c)
4 unidades.
d)
3 unidades.
e)
2 unidades.

 



resposta: Alternativa E
×
(PUC-RS - 1980) Se "$\;\ell\;$" é a medida da aresta de um tetraedro regular, então sua altura mede:
a)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{2}}{3}$
c)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{4}$
b)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$
d)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{4}$
e)
$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{9}$

 



resposta: Alternativa D
×
(UCMG - 1981) O volume, em cm³, da figura formada por um cone e um cilindro circular reto, é:
a)
$\pi$
b)
$2\pi$
c)
$3\pi$
d)
$4\pi$
e)
$5\pi$
figura de cone e cilindro

 



resposta: alternativa C
×
(UCMG - 1981) O raio da base de um cone de revolução é 10 cm, e a altura 30 cm. Se o raio aumentar 1 cm e a altura diminuir 3 cm, a razão entre o segundo volume e o primeiro é de:
a)
0,333
b)
1,089
c)
1,321
d)
2,021
e)
3,000

 



resposta: Alternativa B
×
(CESESP - 1986)
Pretende-se contruir um tanque com a forma e dimensões da figura ao lado. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro circular reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde às relaçoes existentes entre as dimensões indicadas.
a)
R = h = H
b)
3R = h = 3H
c)
4R = h = 3H
d)
2R = h = 3H
e)
h = 3R = H
imagem semi-esfera cilindro cone

 



resposta: alternativa D
×
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,
a)
$\;18\sqrt{427}$
b)
$\;27\sqrt{427}$
c)
$\;36\sqrt{427}$
d)
$\;108\sqrt{3}$
e)
$\;45\sqrt{427}$

 



resposta:
hexágono regular inscrito na circunferência
Considerações:
Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R.
2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício).
3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2
$\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$

pirâmide hexagonal
Resolução:
Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$
1. calcular $\;R\;$:
$\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm
2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$:
A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$.
O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$
3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$):
Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$.
Pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$
$\;(VM)^{\large 2}\,=\,(OM)^{\large 2}\,+\,(OV)^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $\,(VM)^{\large 2}\,=\,(3\sqrt{3})^{\large 2}\,+\,20^{\large 2}\;=\;27\,+\,400\,=\,427\;\Rightarrow\;$ $\, \overline{VM}\,=\,\sqrt{427}\;$
4. Calcular a área lateral da pirâmide:
A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto
Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa
(A)
×
(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm , é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
a)
$\;\pi R^3$
b)
$\;\pi \sqrt{2} R^3$
c)
$\; \dfrac{\pi}{\sqrt{2}}R^3$
d)
$\;\pi \sqrt{3} R^3$
e)
$\;\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}R^3$

 



resposta: Alternativa E
×
Para um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm , 4 cm e 5 cm , calcular:
a) A área total
b) A medida da diagonal

 



resposta:
a) Resolução:
figura paralelepípedo reto retângulo

área total = $A_t = 2(ab + bc + ac) \;\Rightarrow$
$\Rightarrow A_t = 2(5\centerdot 3 + 3\centerdot 4 + 4 \centerdot 5 )$
Resposta:
$A_t = 94\;cm^2$
b)Resolução
figura diagonal do paralelepípedo reto retângulo

diagonal do paralelepípedo = $D = \sqrt{\;a^2 + b^2 + c^2\;}$
$D = \sqrt{\;5^2 + 4^2 + 3^2\;}$
$ D = \sqrt{\;50\;}$
Resposta:
$D = 5\sqrt{2\,}\,cm$

×
Determinar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm, 4 cm e 5 cm.
paralelepípedo

 



resposta:
Resolução:
volume = $V = abc$
$V = 5 \centerdot 3 \centerdot 4 = 60\; cm^3$
Resposta:
O volume é $ V = 60 \;cm^3$

×
Determinar a diagonal de um cubo de aresta 10 cm.

 



resposta: $D = 10 \sqrt{3}$ cm.
×
Determinar a área total da superfície de um cubo de aresta 10 cm.

 



resposta: $A_{total} = 600\;cm^2$
×
Determinar o volume de um cubo de aresta 10 cm.

 



resposta: $V = a^3 = 1000\;cm^3$
×
(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$.
O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento.
Determinar o volume do prisma $\;C\;$.

imagem cubo e planos concorrentes

 



resposta: V = $75\;cm^3$
×
(MAUÁ) No cubo $\;(ABCDA'B'C'D')\;$ de aresta $\;\ell\;$, calcule o volume da parte piramidal $\;(AA'BD)\;$ e a altura do vértice $\;A\;$ em relação ao plano $\;A'BD\;$.
pirâmide resultado da secção do cubo

 



resposta: $\,V = \frac{\ell^3}{6}\;$ ; $\;H = \ell \frac{\sqrt{3}}{3}\,$
×
Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .
figura do prisma triangular

 



resposta:

A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.

Resolução:
$A_{face} = 5 \centerdot 10 = 50 \;cm^2 \;\;\;\Rightarrow$
$A_{lat} = 3 \centerdot A_f = 3 \centerdot 50 = 150\;cm^2$
Resposta:
$A_{lat} = 150\;cm^2$
×
Determinar a área total e o volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.

 



resposta:

A área total da um prisma é igual à soma da área de todas as faces laterais com a área da base superior e a área da base inferior.

Resolução:
figura do prisma triangular
Área total = $A_{tot} = A_{lateral} + 2 \centerdot A_{base} \;\;\Rightarrow$
$\;A_{lateral} = 3 \centerdot A_{face} = 3 \centerdot 5 \centerdot 10 = 150\; cm^2 \;\;$
$A_{base} = A_{\triangle} = \dfrac{\;b \centerdot h\;}{2} = \dfrac{\;\ell ^2 \sqrt{3}\;}{4} =$ $ \dfrac{\;5^2 \sqrt{3}\;}{4} = \dfrac{\;25\;}{4} \sqrt{3}\; cm^2$
$A_{total} = 150 + 2\dfrac{\;25\;}{4}\sqrt{3}\;\Rightarrow$
$A_{total} = \dfrac{\;25 \centerdot (12 + \sqrt{\;3\;})\;}{2} \; cm^2$

O volume de um prisma é a sua altura multiplicada pela área da base. Lembremos que, sendo um prisma, a base inferior e superior são congruentes.

Volume = $A_{base} \centerdot altura \;\;\Rightarrow \;\; V = A_{base} \centerdot H$
$\;V = \dfrac{25}{4}\sqrt{3} \centerdot 10 \;\;\Rightarrow$ $\;V = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$
Resposta:
$A_{total} = \dfrac{25 \centerdot (12 + \sqrt{3})}{2} \; cm^2\phantom{X}$ $V_{olume} = \dfrac{125 \centerdot \sqrt{3}}{2}\;cm^3$
×
(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.

 



resposta:
ITA 2012 EXERCISE 32

Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1. o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a $r_1$ (a reta tangente).
Então
$\alpha = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o\;$ e sabemos que a tangente de $30^o$ é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
$tg30^o = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente} = \dfrac{OA}{AP} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow$
$ \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow \; r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\;$
2. o arco $\stackrel \frown{AOB}$, suplementar de $\stackrel \frown{AOC}$, mede $120^o$.
Então a superfície $S = \dfrac{120^o}{360^o} \centerdot \pi (r)^2 = \dfrac{\pi}{3}(\dfrac{\sqrt{6}}{3})^2 = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$

Resposta:$S = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
×
(UFMG - 1990) Os lados de um triângulo isósceles medem $\,5 \text{ cm, } 6 \text{ cm e } 5\text{ cm}\,$. O volume do sólido que se obtém girando-o em torno de sua base, em $\,cm^3\,$, é:
a)
$\,16\pi\,$
b)
$\,24\pi\,$
c)
$\,32\pi\,$
d)
$\,48\pi\,$
e)
$\,75\pi\,$

 



resposta: (C)
×
(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio $\,R\,$ tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale $\, \dfrac{R}{m}\phantom{X} (m \geqslant 1)\,$. Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:
a)
$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(\dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\phantom{XXXXXXXX}$
b)
$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1\,-\,\left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$
c)
$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\;\phantom{XXXXXXX}$
d)
$\,\dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1 \,+\,\left( \dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$
e)
nenhuma das alternativas anteriores

 



resposta: Alternativa D
×
(ITA - 1990) Seja V o vértice de uma piramide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os angulos das faces laterais, no vértice V, são todos iguais a 45 graus. Deste modo, o volume da piramide será igual a:
a)
$\,\dfrac{1}{6}\sqrt{2\sqrt{2}\,-\,2}\,$
c)
$\,\dfrac{1}{3}\sqrt{2\,-\,\sqrt{2}}\,$
e)
n.d.a
b)
$\,\dfrac{1}{6}\sqrt{2\,-\,\sqrt{2}}\,$
d)
$\,\dfrac{1}{6}\sqrt{2\sqrt{2}\,-\,1}\,$

 



resposta: alternativa A

×
(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:
a)
$\,\dfrac{\sqrt{2}}{3}x^{\large 3}\,$
b)
$\,2\dfrac{\sqrt{2}}{5}x^{\large 3}\,$
c)
$\,3\dfrac{\sqrt{3}}{10}x^{\large 3}\,$
d)
$\,\dfrac{\sqrt{3}}{10}x^{\large 3}\,$
e)
  n.d.a

 



resposta: (C)
×
(FUVEST - 2017) O paralelepípedo retorretângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
O seno do ângulo HÂF é igual a
a)
$\,\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}\,$
c)
$\,\dfrac{2}{\sqrt{10}}\,$
d)
$\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}\,$
e)
$\,\dfrac{3}{\sqrt{10}}\,$
paralelepípedo ABCDEFGH

 



resposta: Alternativa E
×
(FUVEST - 1977) A figura é a planificação de um poliedro convexo (A = B = C = D ; E = F). Calcule o seu volume.
poliedro convexo planificado

 



resposta: $\,V\,=\,\dfrac{850}{3}\,\simeq\,283,33\,u\,$
×
(FUVEST - 1980) A aresta do cubo abaixo mede 2 e BP = 3. Calcule PC e PD.
cubo fuvest 1980

 



resposta: A medida de PC é $\,\sqrt{29}\,$ e a medida de PD é $\,\sqrt{33}\,$
×
(FUVEST - 2009) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:
${\small \,AB\,=\,CD\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,}$
${\small \,AD\,=\,BC\,=\,AE\,=\,BE\,=\,CE\,=\,DE\,=\,1\,}$
${\small \,AP\,=\,DQ\,=\,\dfrac{1}{2}\,}$

Nessas condições, determine:
a) A medida de $\,\overline{BP}\,$.
b) A área do trapézio $\,BCQP\,$.
c) O volume da pirâmide $\,BPQCE\,$.
pirâmide

 



resposta:
a)
$\,BP\,=\,\dfrac{\sqrt{10}}{4}\,$ unidades de comprimento
b)
$\,S\,=\,\dfrac{9}{16}\,$ unidades de área
c)
$\,V\,=\,\dfrac{3\sqrt{3}}{64}\,$ unidades de volume

×
Demonstrar que, num paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da soma das medidas das arestas é igual à soma do quadrado da diagonal com a área total.

 



resposta: demonstração.
Nesse caso o paralelepípedo é chamado RETO RETÂNGULO:
RETO significa: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

As faces laterais de todo prisma reto são sempre retângulos

.
RETÂNGULO significa: suas bases são retângulos. Poderia ser chamado retangular.

Observação importante: Se você ainda não viu como calcular a diagonal de um paralelepípedo retangular reto veja este exercício sobre diagonal do prisma retangular reto.

prisma reto retangular
Resolução:

Queremos provar que a soma das medidas das arestas elevada ao quadrato é igual ao quadrado da diagonal somado à área total.

diagonal do prisma reto retânguo D
Hipótese:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{prisma reto retangular} & \\ \mbox{dimensões }\,a,\, b \mbox{ e }c\phantom{XX}\; &\\ \mbox{diagonal }\,D\phantom{XXXXX}\;\, & \\ \mbox{área total }\,A_{\large t}\phantom{XXXXX} & \end{array} \right.\,$
Tese:
$\,\lbrace(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\;$
1.$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,+\,c^2\,+\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\;\Rightarrow\phantom{XX}$(I)
2.$\,D\,=\,\sqrt{a^2\,+\,b^2\,+\,c^2}\phantom{XX}$(II)
3.$\,A_{\large t}\,=\,2(ab\,+\,bc\,+\,ac)\,=\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\phantom{XX}$(III)
então substituindo em (I) as assertivas (II) e (III) temos que:
$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\, $

c.q.d.


×
Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo com dimensões a , b e c .
paralelepípedo reto retângulo de lados a, b e c traçada a diagonal D

 



resposta:
paralelepípedo reto retângulo com diagonal
Conforme a figura ao lado, o polígono $\,ABCD\,$ é o retângulo de uma das bases do paralelepípedo reto retângulo de medidas $\,a\,,\,b\,$ e $\,c\,$.
Traçada a diagonal da base $\,\overline{BC}\,$ obtém-se o triângulo retângulo $\,BAC\,$, reto no ângulo de vértice $\,A\,$, com catetos de medidas iguais às arestas da base a e b e hipotenusa o segmento $\;\overline{BC}\;$ oposto a $\,\hat{A}\,$.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,ABC\,$ temos:
$\;\left(\overline{BC}\right)^{\large 2}\,=\,a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\;\Rightarrow\;\overline{BC}\,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$
Traçando-se a diagonal do paralelepípedo $\;\overline{FC}\;$ (veja figura) temos o triângulo retângulo $\;CBF\;$, reto em $\,\hat{B}\,$ cujos catetos são $\,\overline{BF}$ de medida igual a $\;c\;$ e $\;\overline{BC}\,$ de medida $\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,FBC\,$ temos a medida da hipotenusa $\,\overline{FC}\,$ que é uma diagonal do paralelepípedo.
$\;\left( \overline{FB} \right)^{\large 2}\, + \,\left( \overline{BC} \right)^{\large 2}\,=\,\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,\Rightarrow\;$
$\;c^{\large 2}\,+\,\left(\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\right)^{\large 2}\,=\,\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\;\Rightarrow\,$
$\;\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,=\,c^{\large 2}\,+\,\left(\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\right)^{\large 2}\,$
$\;\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,=\,c^{\large 2}\,+\,\left(a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\right)\,$
$\;\overline{FC} \,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}}\,$Donde concluímos que

A medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo é igual à raiz quadrada da soma do quadrado de cada uma das suas três dimensões.

$\;\mbox{medida da diagonal}\,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}}\,$
×
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
cubo de aresta 1

 



resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$
b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$
c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD)
×
Calcular o volume de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo-se que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20 e que a diagonal mede 100 m.

 



resposta: V = 138240 m³
×
Calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto retângulo, cujas dimensões são 3 m , 4 m e 12 m.

 



resposta: V = 144 m³ Atotal = 192m² D = 13 m
×
A área total de um paralelepípedo retângulo é 720 m², a diagonal de uma face mede 20 m e a soma das suas dimensões é 34 m. Calcular as dimensões.

 



resposta: 16m12m6m
×
Calcular o volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo de lados medindo 4m, 6m e 8m respectivamente, e sabendo-se que a área lateral é 90m².

 



resposta: $\;V\,=\,15\sqrt{15}\,m^3\;$
×
(FUVEST) Na figura abaixo:
a)
ABCD e EFGH são trapézios de lados 2, 8, 5 e 5 .
b)
Os trapézios estão em planos paralelos, cuja distância é 3.
c)
As retas AE, BF, CG e DH são paralelas.
Calcule o volume do sólido.
prisma quadrangular reto com bases trapezoidais 

 



resposta: V = 60
×
(FUVEST) Uma caixa d'água tem forma cúbica com 1 metro de aresta. De quanto baixa o nível da água ao retirarmos 1 litro de água da caixa?

 



resposta: 0,001 m
×
Determinar o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 5 cm e cuja altura mede 3 cm .
pirâmide quadrangular altura 3

 



resposta:
Resolução:
$\phantom{X}A_{base}\,=\,5^2\,=\,25\,cm^2\phantom{X}$
$\phantom{X}H\,=\,3\,cm\phantom{X}$
$\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,A_{base}\,\centerdot\,H\,}{3}\,=\,\dfrac{\,25\,\centerdot\,3\,}{3}\,=\,25\,cm^3\phantom{X}$
resposta:

V = 25 cm³


×
Dada uma pirâmide quadrangular regular, cuja base tem 64 m² de área e a sua altura mede 3 m , calcular:
a)
A área lateral da pirâmide.
b)
A área total da pirâmide.

 



resposta:
pirâmide de base quadrada
a) $\phantom{X}A_{base}\,=\,\ell^2\,=\,64\,\Rightarrow\,\ell\,=\,8\,m\phantom{X}$
No triângulo VAB:
$\phantom{X}b^2\,=\,a^2\,+\,3^2\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,\ell\,}{2}\,=\,4\,m\phantom{X}$
$\phantom{X}b^2\,=\,4^2\,+\,3^2\,\Rightarrow\,b\,=\,5\,m\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{lateral}\,=\,2\,\centerdot\,8\,\centerdot\,5\,=\,80\,m^2\phantom{X}$
b)\,$\phantom{X}A_{total}\,=\,A_{lateral}\,+\,A_{base}\phantom{X}$ sendo:
$\phantom{X}A_{lateral}\,=\,80\,m^2\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{base}\,=\,64\,m^2\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{total}\,=\,80\,+\,64\,=\,144\phantom{X}$
Resposta:
a) Área lateral = 80m² b) Área total = 144m²
×
Determinar o volume de uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base medindo $\;\ell\;$ e altura medindo $\;\ell\;$.
pirâmide hexagonal regular de altura e aresta da base congruentes

 



resposta:
Resolução:
$\phantom{X}A_{base}\;=\;6\;\dfrac{\ell^2\,\sqrt{\,3\,}}{4}\;=\;\dfrac{3\ell^2\,\sqrt{\,3\,}}{2}\phantom{X}$
Altura: $\phantom{X}H\,=\,\ell\phantom{X}$
Volume: $\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\;A_{base}\,\centerdot\,H\;}{3}\,=\,\dfrac{3\ell^2\,\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\ell}{2 \centerdot 3} = \dfrac{\;l^3\,\sqrt{\;3\;}}{2}\phantom{X}$Resposta:
$\phantom{X}V = \dfrac{\ell^3\,\sqrt{\,3\,}}{2}\phantom{X}$
×
(FEI) Sendo a reta AB perpendicular ao plano BCD e a reta BC perpendicular à reta CD; e sendo a a medida de cada segmento AB, BC e CD:
a)
Achar o volume da pirâmide ABCD;
b)
Achar a área total dessa pirâmide.
tetraedro

 



resposta: $\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,a^3\,}{6}\phantom{X}$ $\phantom{X}S_T\,=\,a^2(1\,+\,\sqrt{\,2\,})\phantom{X}$
×
(USP) A altura de um tetraedro regular de aresta $\phantom{X}\ell\phantom{X}$ vale:
a)
$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\,$
b)
$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
d)
$\,\ell\,\phantom{\dfrac{X}{X}}$
e)
$\,\ell\,\sqrt{\,2\,}\,$

 



resposta:

altura do tetraedro regular:

altura do tetraedro regular
Na figura, o apótema "g" do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$:
$\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$
O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo.
A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então:
$\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$
$\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$
Assim temos:
$\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$
Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$
resposta:
alternativa A
×
Veja exercÍcio sobre:
geometria espacial
paralelismo
perpendicularidade