(FUVEST - 1977) O gráfico que melhor se adapta ao lugar geométrico de equação $\;{(|x|\,-\,1)}^2\,+\,{(|y|\,-\,1)}^2\,=\,1\;$ é:

circunferência no quadrante I, II, III e IV

2 circunferências excêntricas nos quadrantes I e III

4 circunferências excêntricas nos quadrantes I, II, III e IV

resposta: (D)
×

(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação $\;x^2 + y^2 + 2axy = 0\;$ é a reunião de duas retas, então:
a) $a = 0$
b) $0 < |a| <1$
c) $|a|=1$
d) $|a|>1$
e) nenhuma das anteriores

resposta: (D)
×

(EPUSP - 1966) Os pontos do plano $\;xy\;$ cujas coordenadas satisfazem à equação $\;sen(x-y) = 0\;$ constituem:

uma reta

um senóide

uma elipse

um feixe de retas paralelas

nenhuma das anteriores

resposta: Alternativa D
×

(MACKENZIE - 1973) A representação gráfica do conjunto de pontos $\;(x\,,\,y)\;$ tais que $\;x\,-\,2\,-\,\sqrt{4\,-\,y^2}\,\geqslant\,0\;$ é:

gráfico cartesiano um quarto de circunferência

gráfico cartesiano circunferência de raio 4

quarto de circunferência no plano cartesiano

resposta: (B)
×

(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?

$k = {\dfrac{11}{3}}$

$k = {\dfrac{15}{4}}$

$k = 2$

$k ={\dfrac{1}{2}}$

nenhuma das respostas anteriores

resposta: alternativa B
×

(ITA - 1990) Na figura abaixo $\phantom{X} O\phantom{X}$ é o centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por $\;E\;$ e $\;F\;$ é tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos $\;1\;$, $\;2\;$, e $\;3\;$ é dada, respectivamente , por 49° , 18° , 34° , determinar a medida dos ângulos 4 , 5 , 6 e 7 . Nas alternativas abaixo considere os valores dados iguais às medidas de 4, 5 , 6 e 7 , respectivamente.

97°, 78°, 61°, 26°

102°, 79°, 58°, 23°

92°, 79°, 61°, 30°

97°, 79°, 61°, 27°

97°, 80°, 62°, 29°

resposta: (D)
×

(F.C.M.STA.CASA - 1981) Na figura ao lado temos o triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região sombreada é, em cm² :

$30(1-\pi)$

$5(6-1,25\pi)$

$3(10-3\pi)$

$2(15-8\pi)$

$2(15-2\pi)$

triângulo retângulo com circunferência circunscrita

resposta: (E)
×

(F.C.M.STA.CASA - 1980) Na figura ao lado, considere o segmento a = 2 m . A área da superfície sombreada é igual a:

$2\pi\;$m²

$4\;$m²

$2\;$m²

$\pi\;$m²

nenhuma das anteriores

resposta: (D)
×

(MACKENZIE - 1978) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:

$2\,\sqrt{3}\,-\,\pi$

$3\,\sqrt{2}\,-\,\pi$

$\dfrac{\pi}{2}$

$4\,-\,\pi$

$5\,-\,\pi$

resposta: Alternativa D
×

(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, $\phantom{X}\stackrel \frown{AB} \phantom{X}$ é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo $\phantom{X}BCDE\phantom{X}$ é:

$\dfrac{\sqrt{3}}{24}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{18}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

resposta: (A)
×

(COVEST - 1989) Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm ; o polígono é um hexágono regular, e o ângulo $\;A\hat{O}B\;$ é reto. Assinale a alternativa correta para a medida da área da região sombreada.
hexágono no interior de uma semicircunferência

hexágono no interior de uma semicircunferência

$(\sqrt{3}\,-\,2\pi)\;$cm²

$\pi\,\sqrt{3}\;$cm²

$(\pi\,-\,\sqrt{3})\;$cm²

$2(4\pi\,-\,3\sqrt{3})\;$cm²

$(6\pi\,-\,2\sqrt{3})\;$cm²

resposta: (D)
×

(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,

$\;18\sqrt{427}$

$\;27\sqrt{427}$

$\;36\sqrt{427}$

$\;108\sqrt{3}$

$\;45\sqrt{427}$

resposta:

hexágono regular inscrito na circunferência

Considerações:

Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R.
2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício).
3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2
$\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$

Resolução:

Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$
1. calcular $\;R\;$:
$\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm

2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$:
A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$.
O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$

3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$):
Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$.
Pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$

$\;(VM)^{\large 2}\,=\,(OM)^{\large 2}\,+\,(OV)^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $\,(VM)^{\large 2}\,=\,(3\sqrt{3})^{\large 2}\,+\,20^{\large 2}\;=\;27\,+\,400\,=\,427\;\Rightarrow\;$ $\, \overline{VM}\,=\,\sqrt{427}\;$

4. Calcular a área lateral da pirâmide:
A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto
Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa

(A)
×

(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos $\;(x,y)\;$ do plano que satisfazem a equação:

$ det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 288 \;$ .

a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.

resposta: alternativa C
×

(ITA - 2004) Duas circunferência concêntricas $\;C_1\;$ e $\;C_2\;$ têm raios de $\;6\,cm\;$ e $\;6\sqrt{2}\,cm\;$, respectivamente. Seja $\;\overline{AB}\;$ uma corda de $\;C_2\;$, tangente à $\;C_1\;$. A área da menor região delimitada pela corda $\;\overline{AB}\;$ e pelo arco $\; \stackrel \frown{AB}\;$ mede, em $cm^2$,

$\,9(\pi - 3)$

$\,18(\pi + 3)$

$\,18(\pi - 2)$

$\,18(\pi + 2)$

$\,16(\pi + 3)$

resposta: alternativa C
×

(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.

Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.

Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.

resposta:

Resolução:

Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$.
$\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3.
$\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$.
O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e

a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $

A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:

$\;\dfrac{|3a\,-\,2\sqrt{2}\,+\,5\,+\,2\sqrt{2}\,-\,3a|}{\sqrt{a^2\,+\,1}}\,=\,3 \;\Rightarrow$ $\; \dfrac{5}{a^2\,+\,1}\,=\,3 \;\Rightarrow $ $\; a\;=\;\dfrac{4}{3}$ ou $\;a = -\, \dfrac{4}{3}$.

As equações das tangentes são:
$\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$

(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio $\,R\,$ tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale $\, \dfrac{R}{m}\phantom{X} (m \geqslant 1)\,$. Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(\dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\phantom{XXXXXXXX}$

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1\,-\,\left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\;\phantom{XXXXXXX}$

$\,\dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1 \,+\,\left( \dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$

nenhuma das alternativas anteriores

resposta: Alternativa D
×

(FUVEST) Em um triângulo $\,ABC\,$ o lado $\,AB\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ e o ângulo $\,\hat{C}\,$, oposto ao lado $\,AB\,$, mede $\,45^o\,$. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

resposta:

Resolução:

círculo com triângulo ABC inscrito e ângulo central AOB de 90 graus

Na figura, $\,\triangle ABC\,$ onde o ângulo $\,\hat{C}\,$ mede 45° e o lado $\,\overline{AB}\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro $\,O\,$.

Se $\,A\hat{C}B\,$ é um ângulo inscrito, então o ângulo $\,A\hat{O}B\,$ é o ângulo central correspondente e mede o dobro de $\,A\hat{C}B\,$, ou seja, mede $\,2\,\centerdot\,45^o\,=\,90^o\;$ $\,\longrightarrow \,$ o triângulo $\,A\hat{O}B\,$ é reto em $\,\hat{O}\,$

O triângulo $\,AOB\,$ é isósceles com dois lados iguais ao raio $\;r\;$ da circunferência e o terceiro lado igual a $\;4\sqrt{2}\,$.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles $\,AOB\,$ temos:

$\,r^2\,+\,r^2\,=\,(4\sqrt{2})^{\large 2}\,$

$\,2\centerdot r^2\,=\,16\centerdot 2\,\Rightarrow\,r\,=\,\sqrt{16}\,$

$\,r\,=\,4\,$

Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é $\,\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{\,2\,}$ podemos utilizar o Teorema dos Senos:
$\, \dfrac{med(AB)}{sen\,45^o}\,=\,2\, \centerdot \, Raio\;\Rightarrow\;\dfrac{\;4\sqrt{\,2\,}\;}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \,=\,2R\,\Rightarrow$ $\,2R\,=\,8\;\Rightarrow\;R\,=\,4\,$

medida do raio r = 4
×

(MACKENZIE) Considere a figura abaixo. O comprimento do segmento $\phantom{X}\overline{MN} \phantom{X}$ é:

$\,\sqrt{2\;}\,-\,{\dfrac{\;1\;}{2}}\,$

$\,\sqrt{2\;}\,+\,{\dfrac{\;1\;}{\sqrt{2\;}}}\,$

$\,\sqrt{2\;}\,+\,1\phantom{\dfrac{X}{X}}\,$

$\,1\,-\,{\dfrac{\;\sqrt{\;2\;}\;}{2}}\,$

$\,\sqrt{2\;}\,-\,1\,$

plano cartesiano com circunferência similar ao ciclo trigonométrico

resposta: (E)
×

Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.

resposta:

circunferência de raio 3 e centro 0-0 no plano cartesiano

Resolução:
A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é:
$\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$.
Como $\;C\,(0\,,\,0)\;$ e $\;R\,=\,3\;$, temos:
$\,(x\,-\,0)^2\,+\,(y\,-\,0)^2\,=\,3^2\;\Rightarrow$ $\; \;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;$

$\phantom{X}\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;} \phantom{X}$

Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.

resposta:

circunferência de raio três e centro dois e menos três

Resolução:

A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é:
$\;(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\; \;$.
Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então:
$(x\,-\,2)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$
$\Rightarrow\;(x\,-\,2)^2\,+\,(y\,+\,3)^1\,=\,5^2\;\;\Rightarrow$
$\Rightarrow \phantom{X}\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;$

$\; \phantom{X}\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;}$

Determinar a equação geral (ou normal) da circunferência de centro C (-1 , -3) e raio r = 4 .

resposta: Resolução:

$\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,r^2\;\Rightarrow [x\,-\,(-1)]^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,4^2\;\Rightarrow \;$

$\,\Rightarrow (x\,+\,1)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,16\,$.

Desenvolvendo os quadrados das somas:

$\,x^2\,+\,2x\,+\,1\,+\,y^2\,+\,6y\,+\,9\,=\,16\;\Rightarrow$

$\,\Rightarrow \boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,2x\,+\,6y\,-\,6\,=\,0\;}\,$

Resposta: $\;\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,2x\,+\,6y\,-\,6\,=\,0\;}\,$

Qual a equação reduzida da circunferência de centro C (-1 , 3) e raio r = 5 .

resposta:
Resolução:
$[x\,-\,(-1)]^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow\;\boxed{\;(x\,+\,1)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;}\,$
Resposta:$\phantom{X}\boxed{\;(x\,+\,1)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,25\;} \phantom{X}$

×

Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .

resposta:

Resolução:

O segmento $\,\overline{AB}\,$ é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de $\,\overline{AB}\,$:

$\left\{\begin{array}{rcr} A(5\, ,\,-1) \phantom{X}& \\ B(-3\,,\,7) \phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;$ $\Rightarrow \;C\,\left( \frac{5 - 3}{2}\,;\,\frac{-1+7}{2} \right)\;\Rightarrow\;C\,(1\,;\,3)$

O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC.

$\,r\,=\,|AC|\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(5\,-\,1)^2\,+\,(-1\,-\,3)^2}}\,=\,\sqrt{32}\,$

A equação da circunferência de raio $\,\sqrt{32}\,$ e centro $\,C\,(1 ; 3)\,$ é:

$\,(x\,-\,1)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,32\;\Rightarrow$ $\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\;}\,$

Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .

resposta:

Resolução:

O raio da circunferência é a distância do centro até a origem:

$R\,=\,d_{CO}\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(x_C\,-\,x_O)^2\,+\,(y_C\,-\,y_O)^2}}$

$R\,=\,{\large\,\sqrt{(4\,-\,0)^2\,+\,(-3\,-\,0)^2}}\;\Rightarrow\;$

$R\,=\,\sqrt{16\,+\,9}\;\Rightarrow\;R\,=\,5$

A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\,$

Sabemos que o centro é $\;C\,(4\,,\,-3)\;$ e raio $\,R\,=\,5\,$. Temos então:

$(x\,-\,4)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$ $\;(x\,-\,4)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow$

$\;\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,8x\,+\,6y\,=\,0\;}$

Determinar as coordenadas do centro e o raio de cada uma das circunferências abaixo:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

resposta: a)

Resolução:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

A equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio R:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$, e temos que

$(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\;\Rightarrow$ $\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;}$ e

$R^2\,=\,64\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,8\;}$

$\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;\text{ e }\;R\,=\,8\;}$
b)

Resolução:

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

A equação geral da circunferência de centro (a,b) e raio R:

$x^2\,+\,y^2\,+\,mx\,+\,ny\,+\,p\,=\,0\,$. Então

$\left.\begin{array}{rcr}\,a\,=\,-{\large \frac{m}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,-{\large \frac{(-12)}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,6 \;& \\ \,b\,=\,-{\large \frac{n}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-{\large \frac{(+16)}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-8 & \\ \end{array} \right\}$ $\;\Rightarrow \; \boxed{\;C\,(6\,,\,-8) \;}$

$p\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,R^2\;\Rightarrow $ $\;-1\,=\,6^2\,+\,(-8)^2\,-\,R^2\;\Rightarrow$ $\;R^2\,=\,101\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$

$\;\boxed{\;C\,(6\,,\,-8)\;\text{ e }\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$
×

Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .

resposta:

Resolução:

Sendo o centro da circunferência
o ponto C (x , 3) conforme a figura:

circunferência tangente ao ponto zero três no plano cartesiano

Sendo $\;\overline{CA}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ raios da mesma circunferência,
são segmentos de medidas iguais:

$ \overline{CA}\,=\overline{CB}\,$
$\;\sqrt{ (x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,6)^{\large 2}} \,= $ $\,\sqrt{ (x\,-\,0)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,3)^{\large 2} } $

Elevando ao quadrado, simplificando, temos:

$(x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,9\,=\,x^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $x\,=\,-5\,$

Então o centro é $\,C\,(-5\,,\,3)\,$ e o raio é $\,\overline{BC}\,=\,5$

e a equação da circunferência:

$\,(x\,+\,5)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow\;$ $\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\;}\,$
×

Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

resposta:

Considerações:

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.

Veja aqui

triângulo ABC circunscrito na circunferência

Resolução:

Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .

$\phantom{X}\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OB}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$ $\;d_{OA}\,=\,d_{OB}\;\Rightarrow \,\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OB}^2}d\;\Rightarrow$

1.
${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\,$ ${\small (x\,-\,9)^2\,+\,[y\,-\,(-10)]^2\;}\Rightarrow $

${\small x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=$ ${\small \,x^2\,-\,18x\,+\,81\,+\,y^2\,+\,20y\,+\,100\;}\Rightarrow $

${\small 6x\,-\,12y\,+\,18x\,-\,20y}\,=$ $\,{\small 81\,+\,100\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $

${\small 24x\,-\,32y\,=\,136}\;\Rightarrow \;$ $\boxed{\;3x\,-\,4y\,=\,17\;}\;\text{(I)}$

2.
$\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OC}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;$ $\;\Rightarrow\;d_{OA}\,=\,d_{OC}\;\Rightarrow \;\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OC}^2}d\;\Rightarrow$

${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\;$ $\,{\small [x\,-\,(-5)]^2\,+\,(y\,-\,4)^2}\;\Rightarrow $

${\small \, x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=\,$ ${\small \,x^2\,+\,10x\,+\,25\,+\,y^2\,-\,8y\,+\,16}\;\Rightarrow $

${\small \,6x\,-\,12y\,-\,10x\,+\,8y}\,=\,$ ${\small \,25\,+\,16\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $

${\small \,-4x\,-\,4y\,=\,-4}\;\Rightarrow\;$ $\; \boxed{\;x\,+\,y\,=\,1\;}\;\text{(II)} $

3.
O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II):

$\;\left\{\begin{array}{rcr} 3x\,-\,4y\,=\,17 & \\ x\,+\,y\,=\,1\phantom{X} \;& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\;\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,3\;\; & \\ y\,=\,-2& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\; 0\,(3\,,\,-2)\,$

Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio:

$\,R\,=\,d_{OA}\,=\,$ $\,\sqrt{[3\,-\,(-3)]^2\,+\,(-2\,-\,6)^2}\;\Rightarrow\;$ $\;R\,=\,10$

Resposta:

$\;\boxed{0\,(3\,,\,-2)\;\text{e}\;R\,=\,10}\,$

×

(USP) Dados os pontos A (1 ; -4) , B (1 ; 6) e C (5 ; 4 ) e sabendo-se que $\;AB^2\;=\;BC^2\,+\,AC^2\;$, então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A , B e C é:

resposta: alternativa A
×

(ITA - 1990) Sejam as retas $\,r\,$ e $\,s\,$ dadas respectivamente pelas equações $\phantom{X}3x\,-\,4y\,+\,12\,=\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}3x\,-\,4y\,+\,4\,=\,0\phantom{X}$. Considere $\,{\large \ell}\,$ o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente $\,r\,$ e $\,s\,$. Uma equação que descreve $\,{\large \ell}\,$ é dada por:

$\,3x\,-\,4y\,+\,8\,=\,0\,$

$\,x\,-\,y\,+\,1\,=\,0\,$

$\,3x\,+\,4y\,+\,8\,=\,0\,$

$\,x\,+\,y\,=\,0\,$

$\,3x\,-\,4y\,-\,8\,=\,0\,$

resposta: (A)
×

(ITA - 1990) Seja $\;C\;$ o centro da circunferência $\;x^2\,+\,y^2\,-\,6\sqrt{2}y\,=\,0\;$. Considere $\,A\,$ e $\,B\,$ os pontos de intersecção desta circunferência com a reta $\,y\,=\,\sqrt{2}x\,$. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices $\,A\,$, $\,B\,$ e $\,C\,$ é:

$\,6\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3}\,$

$\,4\sqrt{3}\,+\,\sqrt{2}\,$

$\,\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3}\,$

$\,5\sqrt{3}\,+\,\sqrt{2}\,$

n.d.a.

resposta: (E)
×

(UNESP) Os pontos A, B, C, D, E e F pertencem a uma circunferência . O valor de $\phantom{X}\alpha\phantom{X}$ é:

60°

50°

45°

40°

35°

ângulo excentrico interno da circunferência

resposta: alternativa B
×

(PUC) O pentágono ABCDE da figura seguinte está inscrito em um círculo de centro $\,O\,$. O ângulo $\,C\hat{O}D\,$ mede 60°. Então $\,x\,+\,y\,$ é igual a:

180°

185°

190°

210°

250°

resposta: alternativa D
×

(FGV) As cordas $\,\overline{AB}\,$ e $\,\overline{CD}\,$ de uma circunferência de centro $\,O\,$ são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas $\,\overline{AD}\,$ e $\,\overline{BC}\,$ se intersectam no ponto $\,P\,$, conforme indica a figura a seguir:

circunferência com duas cordas concorrentes num ponto excêntrico

A medida do ângulo $\,B\hat{P}D\,$, indicado na figura por $\,\alpha\,$, é igual a:

120°

124°

128°

130°

132°

resposta: (E)
×

(UNESP) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas $\,AC\,$ e $\,BD\,$. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de $\,x\,$.

resposta: x = 7
×

(FUVEST - 2015) A equação $\phantom{X}x^2\,+\,2x\,+\,y^2\,+\,my\,=\,n\phantom{X}$, em que $\,m\,$ e $\,n\,$ são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta $\phantom{X}y\,=\,-x\,+\,1\phantom{X}$ contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto $\,(-3,\,4)\,$. Os valores de $\,m\,$ e $\,n\,$ são, respectivamente

-4 e 3

4 e 5

-4 e 2

-2 e 4

2 e 3

resposta: alternativa A
×

(ITA - 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por $\,Re\left(\dfrac{1}{z}\right)\,=\,C\,$ onde $\,z\,$ é um complexo não nulo e $\,C\,$ é uma constante real positiva. Para $\,C\,$ temos uma

circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,C\,$.

circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

circunferência tangente ao eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.

circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.

circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

resposta: (D)
×

(FUVEST - 2018) Considere o polinômio
$\phantom{XXXX}P(x) = x^{n}\,+\,a_{n-1}\;x^{n-1}\,+\,...\,+\,a_{1}\;x\,+\,a_{0}\phantom{X}$,
em que $\,a_{0}, ... , a_{n-1}\,\in\,\mathbb{R}\,$. Sabe-se que as suas raízes estão sobre a circunferência unitária e que $\,a_{0}\,<\,0\,$.
O produto das $\,n\,$ raízes de $\,P(x)\,$, para qualquer inteiro $\,n\,\geqslant\,1\,$, é:

$\,-1\,$

$\,i^{n}\,$

$\,i^{n+1}\,$

$\,(-1)^{n}\,$

$\,(-1)^{n+1}\,$

resposta: (E)
×

(FUVEST - 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região hachurada, em função de x e y, é:

$\,\pi\,+\,\operatorname{sen}(2x)\,+\,\operatorname{sen}(2y)\,$

$\,\pi\,-\,\operatorname{sen}(2x)\,-\,\operatorname{sen}(2y)\,$

$\,\pi\,-\,\operatorname{cos}(2x)\,-\,\operatorname{cos}(2y)\,$

$\,\pi\,-\,\dfrac{\operatorname{cos}(2x)\,+\,\operatorname{cos}(2y)}{2}\,$

$\,\pi\,-\,\dfrac{\operatorname{sen}(2x)\,+\,\operatorname{sen}(2y)}{2}\,$

resposta: Alternativa B
×

(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)

Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.

Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.

Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.

resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$
$\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$
b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$
c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.

×

(FUVEST - 1977) A reta de equação $\,3x\,-\,4y\,=\,6\,$ intercepta a circunferência $\,4x^2\,+\,4y^2\,-\,8x\,+\,16y\,=\,5\,$ nos pontos $\,A\,$ e $\,B\,$. Determine o valor de $\,\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\,$, onde $\,\alpha\,$ é a medida do ângulo $\,ACB\,$ e $\,C\,$ o centro da circunferência.

resposta: $\,\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\,=\,\dfrac{\sqrt{21}}{2}\,$

×

(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

resposta:

Resolução:
a)

triângulo retângulo inscrito na circunferência

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta

a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

×

(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:

1. O ponto O pertence ao segmento $\,\overline{PQ}\,$.
2. OP = 1 , OQ = $\,\sqrt{2}\,$.
3. A e B são pontos da circunferência. $\;\overline{AP}\; \bot \;\overline{PQ}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\overline{BQ}\; \bot\; \overline{PQ}\,$.

Assim sendo, determine:

A área do triângulo APO.

Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.

resposta:

$\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,$

$\,\frac{5\pi}{6}\,$ e $\,\frac{19\pi}{6}\,$

$\,\frac{3\sqrt{3}\,+\,6\,+\,5\pi}{6}\,$

Na figura o comprimento do arco $\,\stackrel \frown{AB}\,$ é 22 cm e O é o centro da circunferência. Então o perímetro da circunferência é:

990 cm

67 cm

176 cm

88 cm

nenhuma das respostas anteriores

resposta: Alternativa C
×

Determine o raio do círculo de centro O conforme a figura,

sendo dados
AB = 3x - 3 e
OA = x + 3.

resposta: 12

×

A circunferência C da figura tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7 cm do centro.

Determine a distância entre P e a circunferência.

circunferência C de centro O com ponto P interno

resposta: 9 cm

×

Determine o valor de x nos casos:

a) $\,s\,$ é perpendicular a $\;\overline{AB}\,$

circunferência de centro O com corda AB e reta s perpendicular a AB

b) $\,\overline{PA}\,$ e $\,\overline{PB}\,$ são tangentes à circunferência

ponto P externo é intersecção de duas tangentes à circunferência de centro O

resposta: a) 6b) 9
×

As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.

dois círculos de tamanhos diferentes tangentes entre si

resposta: 18 cm e 10 cm
×

Determine o valor de x, sendo O o centro da circunferência nos casos:

circunferência de centro O duas retas concorrentes em O formando 110 graus

circunferência de centro O traçados diâmetro e tangente

resposta: a) 125° b) 145°
×

(CESGRANRIO - 1985) As circunferências da figura de centros M, N e P, são mutuamente tangentes externamente. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Então a área do triângulo MNP é:

$\,\sqrt{6}\,$

$\,\dfrac{5}{2}\,$

$\,3\,$

$\,2\sqrt{3}\,$

$\,2\sqrt{2}\,$

três circunferências tangentes externamente mutuamente entre si

resposta: Alternativa E
×

(MACKENZIE - 1977) Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é $\,3\pi\,$, a área do triângulo equilátero ABC é:

$\,7\sqrt{3}\,+\,12\,$

$\,7\,+\,4\sqrt{3}\,$

$\,19\sqrt{3}\,$

$\,11\sqrt{3}\,$

não sei

triângulo equilátero com 3 circunferências tangentes ao lado da base

resposta: Alternativa A
×

(U.F.UBERLÂNDIA - 1981) Na figura abaixo, AB é o diâmetro de um círculo de raio 7,5 cm. Se AC =10 cm, a área do triãngulo ABC vale:

$\,5\sqrt{5}\,cm^2\,$

$\,75\sqrt{5}\,cm^2\,$

$\,15\sqrt{5}\,cm^2\,$

$\,25\sqrt{5}\,cm^2\,$

$\,35\sqrt{5}\,cm^2\,$

circunferência traçado o diâmetro e uma corda com extremidade coincidente a uma extremidade do diâmetro

resposta: Alternativa D
×

(U.F.VIÇOSA - 1990) Na figura abaixo, a circunferência de centro P e raio 2 é tangente a três lados do retângulo ABCD de área igual a 32. A distância do ponto P à diagonal AC vale:

$\,2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{5}}{5}\,$

$\,2\sqrt{5}\,$

$\,3\dfrac{\sqrt{5}}{5}\,$

retângulo com círculo interno tangente a 3 lados

resposta: Alternativa A
×

(CESGRANRIO - 1984) AB é o diâmetro do círculo de centro O no qual o triângulo ABC está inscrito. A razão $\,\dfrac{s}{S}\,$ entre as áreas $\,s\,$ do triângulo ACO e $\,S\,$ do triângulo COB é:

$\,\dfrac{5}{4}\,$

$\,\dfrac{4}{3}\,$

$\,\dfrac{3}{4}\,$

$\,1\,$

$\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,$

triângulo ACB inscrito no círculo de centro O

resposta: Alternativa D
×

(FESP - 1991) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 6 cm. O triângulo é interceptado por um diâmetro de circunferência, formando um trapézio, conforme a figura abaixo. Podemos afirmar então que a razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio é igual a:

$\,\dfrac{5}{4}\,$

$\,\dfrac{9}{5}\,$

$\,\dfrac{9}{8}\,$

$\,\dfrac{9}{4}\,$

$\,\dfrac{8}{5}\,$

círculo com triângulo equilátero inscrito e diâmetro MN

resposta: Alternativa B
×

(U.C.SALVADOR - 1991) Na figura ao lado ABCD é um losango e A é o centro da circunferência de raio 4 cm. A área desse losango, em centímetros quadrados, é:

$\,4\sqrt{3}\,$

$\,8\,$

$\,12\,$

$\,8\sqrt{3}\,$

$\,12\sqrt{3}\,$

círculo com centro A e losango interno com 3 vértices sobre a circunferência e um vértice no centro A do círuclo

resposta: Alternativa D
×

Responda as afirmações de A) até E) como CERTO ou ERRADO.

A)
Se $\,\overline{AB}\,\cong\,\overline{BD}\,$ então $\,A\,=\,D\,$.
 ( )

B)
Todo plano é convexo.
 ( )

C)
A circunferência é convexa.
 ( )

A união de duas
regiões convexas é convexa.

( )

E)
A reta é convexa.
 ( )

resposta:

(ERRADO)

Resolução:
Podemos ter:

onde a medida $\,(\overline{AB})\,$ é igual à medida de $\,(\overline{BD})\,$ e $\,A\,$ é diferente de $\,D\,$.

(CERTO)

Resolução:
Seja um plano $\,\alpha\,$:
Se $\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\alpha& \\ B\,\in\,\alpha& \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow\;$ $\,\overline{AB} \;\subset\;\alpha\;\;\forall\;A,B\;\in\,\alpha\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow \;\alpha \mbox { é convexo}\,$

(ERRADO)

Resolução:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ B\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ \end{array} \right.\;$ $ \Rightarrow\; \mbox{ o segmento}\;\overline{AB} \;\not\subset\; \mbox{ na circunferência}$
$\,\Rightarrow \;$ circunferência não é convexa.

segmentos de reta AB com A e B pontos de uma circunferência

(ERRADO)

Resolução:

Como no exemplo, S₁ e S₂ são círculos; S₁ é convexo e S₂ é convexo.Na figura, S₁ ∪ S₂ = S que não é convexa, pois ∃ A,B ∈ S | AB ⊄ S

círculos S1 e S2 tangentes externamente com pontos A pertence a S1 e B pertence a S2 ligados

(CERTO)

$\,\forall\,A,B\,\in\,\mbox{ reta } \;\Rightarrow\,\overline{AB}\,\subset\,\mbox{reta}\,$

Determine o volume de um cone circular reto, sabendo que a geratriz mede $5$ cm e o comprimento da circunferência da base $6\pi$ cm .

resposta: V_cone$\,=\, 12 \pi \;cm^{\large 3}\;$
×

(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale

$\;144\,cm^2\;$

$\;12\,\pi\,cm^2\;$

$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro

$\;24\,cm^2\;$

$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro

resposta:

Considerações:

Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro.
Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases.
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.

A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

prisma triangular regular com cilindro equilátero inscrito

Resolução:

1. Observando atentamente a figura, temos:

$\;A_{\mbox{base}}\;$
=
área da base do prisma triangular

$\;V_C\;$ 
=
o volume do cilindro
$\;\rightarrow\;V_C\;=\;\pi\centerdot R^{\large 2}\;=\;\pi\centerdot(3)^{\large 2}$

$\;V_P\;$ 
=
 o volume do prisma triangular
$\;\rightarrow\;V_P\;=\,A_{\mbox{base}}\centerdot h\;=\;A_{\mbox{base}}\centerdot 6\;$

A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$.
$\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$

A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.

A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita

Perímetro da base 
=
$\;p\;=\,(a\,-\,s)\,+\,a\,+\,(a\,+\,s)\;=\;3\centerdot a$

Semiperímetro da base  
=
$\;\dfrac{p}{2}\;=\;\dfrac{3\centerdot a}{2}$

$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R 
=
 $\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$

A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais:
A_lateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$

Alternativa A
×

(PUC) Tomam-se dez pontos sobre uma circunferência. Quantos triângulos podemos contruir com vértices nesses pontos?

120

360

720

$\,\frac{\;10!\;}{3}\,$

resposta: (B)
×

A e B são dois subconjuntos de $\;{\rm I\!R}\;$ e os gráficos abaixo representam relações binárias de A em B . Qual dos gráficos representa uma função de A em B ?

dois segmentos de reta - não é gráfico de função

resposta: (D)
×

Com os dados da figura, calcular a medida do arco α em graus.

resposta:

Todo ângulo inscrito numa circunferência é igual à metade do ângulo central conrrespondente.

O ângulo central é a mesma medida em graus do arco de circunferência que ele determina.

Na figura, O ângulo inscrito de vértice M determina o arco α e portanto mede α/2.

O ângulo inscrito com vértice em P determina o arco de 80°, e portanto mede 40°.

O ângulo $\,M\hat{P}K\,$ mede então 180° - 40° = 140°.

A soma dos ângulos internos no triângulo MPK é 180° e portanto:

$\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;+\;140\;+\;20\;=\;180\;\Rightarrow$ $\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;=\;20\;\Rightarrow$ $\;\alpha\;=\;40^o\;$

A seguir o quadro-resumo das relações entre as posições do ângulos em relação à circunferência e o arcos determinados por estes

Arcos e Ângulos

Vértice

Tipo

Figura

Relações entre as medidas

centro da
circunferência

Ângulo Central

$\;\hat{O}\;=\;\stackrel \frown{AB}\;$
$\;\hat{O}\;=\;\alpha\;$

em um ponto

Ângulo Inscrito

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}}{\;2\;}\;$

da circunferência

Ângulo de Segmento

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\;a\;}{\;2\;}\;$

Interior

Ângulo Excêntrico Interior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Excêntrico Exterior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{MN}\,-\,\stackrel \frown{AB}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;b\,-\,a\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Circunscrito

$\;\beta\;=\;\dfrac{\;a\,-\,b\;}{2}\;$
ou
$\;\beta\;=\;(180^o\,-\,b)\;$

40°
×

Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ na figura:

resposta:

Ângulo inscrito é aquele que possui vértice em um dos pontos da circunferência e seus lados são semi-retas secantes.

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade do arco que seus lados delimitam na circunferência.

Ângulos com vértice em um ponto da circunferência

Ângulo Inscrito

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}}{\;2\;}\;$

Ângulo de
Segmento

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\;a\;}{\;2\;}\;$

Como o arco delimitado pelo ângulo $\;\hat{x}\;$ do enunciado é de 112°, a medida de $\;\hat{x}\;$ é igual à metade de 112°.⟶
x = 112°/2 = 56°

x = 56°
×

(FUVEST - 1998) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC = x .

Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos?

Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?

resposta: a) $\phantom{X}\,1\,\lt\,x\,\lt\,\sqrt{\,2\;}\phantom{X}$
b) $\phantom{X} 0\,\leqslant\,x\,\lt\,1\;$ou$\,x\,=\,\sqrt{\,2\;}$
×