Lista de exercícios do ensino médio para impressão

(UCMG - 1981) O volume, em cm³, da figura formada por um cone e um cilindro circular reto, é:

$\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$4\pi$

$5\pi$

resposta: alternativa C
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(CESESP - 1986)

Pretende-se contruir um tanque com a forma e dimensões da figura ao lado. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro circular reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde às relaçoes existentes entre as dimensões indicadas.

R = h = H

3R = h = 3H

4R = h = 3H

2R = h = 3H

h = 3R = H

resposta: alternativa D
×

(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,

$\;18\sqrt{427}$

$\;27\sqrt{427}$

$\;36\sqrt{427}$

$\;108\sqrt{3}$

$\;45\sqrt{427}$

resposta:

hexágono regular inscrito na circunferência

Considerações:

Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R.
2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício).
3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2
$\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$

Resolução:

Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$
1. calcular $\;R\;$:
$\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm

2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$:
A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$.
O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$

3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$):
Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$.
Pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$

$\;(VM)^{\large 2}\,=\,(OM)^{\large 2}\,+\,(OV)^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $\,(VM)^{\large 2}\,=\,(3\sqrt{3})^{\large 2}\,+\,20^{\large 2}\;=\;27\,+\,400\,=\,427\;\Rightarrow\;$ $\, \overline{VM}\,=\,\sqrt{427}\;$

4. Calcular a área lateral da pirâmide:
A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto
Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa

(A)
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Determinar o volume do prisma oblíquo da figura, onde a base é um hexágono regular de aresta 1 m e a aresta lateral que faz um ângulo de 60° com o plano da base mede 2 m .

resposta: Resolução:

$\;H = \frac{2\sqrt{3}}{2}\; = \; \sqrt{3}\;m \Rightarrow $
$A_{Base} = \ell \centerdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \;=\;3 \centerdot \frac{1 \sqrt{3}}{2} \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \;\; m^2$
$\;V\; = \; A_{Base} \centerdot H \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \centerdot \sqrt{3} \;=\; \frac{9}{2} \;=\;4,5 m^3$

$\; V\;=\;4,5\;m^3$

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(ITA - 1979) Um recipiente cilíndrico oco, sem a tampa superior, esteve exposto à chuva. Estime quantas gotas de chuva foram necessárias para encher a vigésima parte do volume total desse recipiente, sabendo-se que a área da base é $\phantom{X}3,14 \times 10^{-2}\;$m² e que a altura é $\phantom{X}1,00 \times 10^{-1}\;$m. Admita que as gotas são equivalentes às formadas na ponta de um conta-gotas comum. Tal estimativa é da ordem de

$10\;\text{a}\;10^2\;$ gotas.

$10^5\;\text{a}\;10^6\;$ gotas.

$10^3\;\text{a}\;10^4\;$ gotas.

$10^7\;\text{a}\;10^8\;$ gotas.

$10^9\;$ gotas.

resposta: Resolução:

O volume de água para preencher a vigésima parte do recipiente:

$\,V\,=\,{\large \frac{S\,\centerdot \,h}{20}}\,=\,{\large \frac{3,14 \, \centerdot \, 10^{-2}\, \centerdot\,1,00\, \centerdot \,10^{-1}}{20}}$

$\,V\,=\,1,57\centerdot 10^{-4}\,$m³

O volume de água em uma gota:

Vamos aceitar que 1 cm³ (1 ml) contém entre 10 a 20 gotas.

Volume da gota = $\,V_{gota}\, \simeq \, 10^{-1}\,$cm³

Então:

$n_{gotas}\,=\,{\large \frac{V}{V_{gotas}}}\,=\,\frac{1,56 \, \centerdot \, 10^{\large -4} \,\centerdot \,10^{\Large 6}}{10^{\Large -1}}$

$n_{gotas}\,=\,1,57\centerdot 10^{{\large 3}}\,$ gotas,

ou seja, a ordem de grandeza de $\,n_{gotas}\,$ é $\,10^{\Large 3}\,$ gotas

Resposta:
alternativa B
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(FUVEST - 2015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é

$\,5\,\times\,10^{\large 23}\,$

$\,1\,\times\,10^{\large 23}\,$

$\,5\,\times\,10^{\large 22}\,$

$\,1\,\times\,10^{\large 22}\,$

$\,5\,\times\,10^{\large 21}\,$

Nota:

Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro.

Adote os valores aproximados de:
● 2,2 g/cm³ para a densidade da grafita;
● 12 g/mol para a massa molar do carbono;
●$\,6,0\,\times\,10^{23}mol^{\large -1}\,$ para a constante de Avogadro.

resposta: alternativa C
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(FUVEST - 1977) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo; cada um destes furos permite uma fazão de 1 litro por minuto. Esboce o gráfico do volume de água no reservatório em função do tempo (em minutos) posterior à realização dos furos. (Despreze o tamanho dos furos.)

resposta:

Resolução: Vamos chamar de $\;V_o$ o volume inicial total do reservatório (totalmente cheio de água).
$\phantom{X}V_o\,=\,\pi\,\centerdot\,10^{\large 2}\,\centerdot\,30\,=\,3000\pi\;cm^{\large 3}\phantom{X}$ ou $\phantom{X}V_o\,=\,3\pi\,$ litros.

Cada furo permite a vazão de 1 litro por minuto, portanto a vazão de 2 furos é de 2 litros em cada minuto negativos.
Volume_total = Volume_inicial + (vazão)●(tempo) $\;\Longrightarrow\;V_t\;=\;3\pi\,-\,2t\;$.
A equação acima vale até o momento em que o furo mais alto seja atingido pelo nível da água, ou seja, conforme a figura, durante a vazão de 2/3 do volume inicial. No instante em que o volume é um terço do inicial, ou seja, $\;V_t\,=\,\dfrac{1}{3}\centerdot 3\pi\,=\,\pi\;$ o furo mais alto deixa de ter vazão. Esse momento ocorre em:
$\phantom{X}-2t\,=\,\pi\,-\,3\pi\;\Rightarrow\;t\;=\;\pi\phantom{X}$
.Então, após $\,\pi\,$ minutos a vazão é 1 litro por minuto, e o volume será V_total = $2\pi\,-\,t\,$
$\left\{ \begin{array}{rcr} V_{total}\,=\,3\pi\,-\,2t\,,&\;\mbox{se}\;t\,\leqslant\,\pi\phantom{XX}\; \\ V_{total}\,=\,2\pi\,-\,t\,,\;\;&\;\mbox{se}\;\pi\,\leqslant\,t\,\leqslant\,2\pi \\ \end{array}\right.$

O volume de um cilindro circular reto é 640π cm³ e a altura é 10 m . Calcular o volume do cone circular reto, cuja base é equivalente à do cilindro e a geratriz igual à do cilindro.

resposta: V = 128π m²
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A área lateral de um cone de revolução é o dobro da área da base. Calcule o volume do cone, sabendo que ele é equivalente a um cilindro de 1 m de altura e que tem por base um círculo de raio igual à altura do cone.

resposta: V = 81π m³
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Calcular a altura de um cilindro circular reto inscrito num cone circular reto de raio 9 cm e geratriz 16 cm , de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa circular determinada pelas bases do cilindro e do cone.

resposta: $\;h\,=\,2\sqrt{7}\;cm\;$
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Determine o volume do prisma quadrangular regular inscrito no cilindro equilátero da figura em função do raio da base do mesmo.

prisma quadrangular inscrito em um cilindro equilátero

resposta:

Resolução:

base do cilindro equilátero que contém um prisma quadrangular inscrito

1. calcular a aresta da base do prisma interno:

$\;\overline{AB}\;\rightarrow\;$ lado do quadrado inscrito

$\;\overline{AC}\;\rightarrow\;$ diagonal do quadrado e diâmetro $\;2R\;$

$\;AB\sqrt{2}\,=\,2R\;\Rightarrow\;$ $\;AB\,=\,\dfrac{2R}{\sqrt{2}}\centerdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;\overline{AB}\,=\,R\sqrt{2}\;$

2. calcular a altura do prisma interno:

Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).

3. calcular o volume do prisma:

Volume = (Área da Base)×(altura)

$\;V\,=\,\left( R\sqrt{2}\right)^{\large 2}\centerdot 2R\;\Rightarrow\;$

$\;V\,=\,2R^{\large 2}\centerdot 2R\;=\;4R^{\large 3}\;$

Resposta: O volume do prisma em função do raio será

V = 4R³
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(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale

$\;144\,cm^2\;$

$\;12\,\pi\,cm^2\;$

$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro

$\;24\,cm^2\;$

$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro

resposta:

Considerações:

Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro.
Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases.
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.

A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

prisma triangular regular com cilindro equilátero inscrito

Resolução:

1. Observando atentamente a figura, temos:

$\;A_{\mbox{base}}\;$
=
área da base do prisma triangular

$\;V_C\;$ 
=
o volume do cilindro
$\;\rightarrow\;V_C\;=\;\pi\centerdot R^{\large 2}\;=\;\pi\centerdot(3)^{\large 2}$

$\;V_P\;$ 
=
 o volume do prisma triangular
$\;\rightarrow\;V_P\;=\,A_{\mbox{base}}\centerdot h\;=\;A_{\mbox{base}}\centerdot 6\;$

A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$.
$\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$

A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.

A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita

Perímetro da base 
=
$\;p\;=\,(a\,-\,s)\,+\,a\,+\,(a\,+\,s)\;=\;3\centerdot a$

Semiperímetro da base  
=
$\;\dfrac{p}{2}\;=\;\dfrac{3\centerdot a}{2}$

$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R 
=
 $\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$

A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais:
A_lateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$

Alternativa A
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Defina cilindro equilátero e calcule sua área lateral em função do raio da base.

resposta: Cilindro equilátero é aquele cuja secção meridiana é um quadrado
$\;S_{\large \ell}\;=\;4\pi R^{\large 2}\;$
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(MAUÁ) Um cilindro circular reto, de raio R e altura h = 2R , é cortado por um plano paralelo ao seu eixo. Sendo R/2 a distância do eixo ao plano secante, calcule o volume do menor segmento cilíndrico resultante desta secção.

resposta: $\phantom{X}V\,=\,\frac{\,R^3\,}{\,6\,}\,\centerdot\,\left(4\pi\,-\,3\sqrt{\,3\,}\right)\phantom{X}$
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(FAAP) Qual é a força horizontal capaz de tornar iminente o deslizamento do cilindro, de peso 50 kgf, ao longo do apoio em V, mostrado na figura? O coeficiente de atrito estático entre o cilindro e o apoio vale 0,25.

resposta: 25 kgf
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Dada uma esfera de raio r , calcular o volume do cilindro equilátero circunscrito.

resposta:

cilindro equilátero com esfera circunscrita

Resolução:
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
Área da Base = $\,A_B = \pi\,r^2\;$
$\;h\,=\,2r\;$
$\,V\,=\,A_B\,\centerdot\,h\,=\,\pi\,r^2\,\centerdot\,2r\,=\,2\pi\,r^3\,$

Volume = 2 ℼ r³
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(FUVEST - 2001) Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento $\,\overline{BC}\,$, cujas distâncias a $\,\overline{AC}\,$ e $\,\overline{AB}\,$ são ambas iguais a d , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d .

resposta: d/2
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