Exercícios sobre

(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:

$\sqrt{3}\;$m

$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m

$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m

$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m

$2\sqrt{2}\;$m

resposta:

Considerações:

A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.

A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício

Resolução:
O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais.
$\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$

$\;\dfrac{1,2\, +\, 1,8}{1,8}\,=\,\dfrac{H}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\centerdot\dfrac{30}{18}\;\Rightarrow\;$

$\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{1}\centerdot\dfrac{15}{18}\;\Rightarrow\;$

$\;H\,=\,\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\;\Rightarrow\;$ corresponde à

Alternativa D

×

A altura do triângulo equilátero de lado $3$ cm. mede:

$ \dfrac{1}{2} $ cm

$\dfrac{3}{2}$ cm

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ cm

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm

resposta: Alternativa E

Resolução:

Conforme a figura, no triângulo equilátero $\,ABC\,$ de lado 3 cm é traçada a altura $\,h\,$, que é perpendicular a $\,\overline{BC}\,$ e divide o segmento no seu ponto médio $\,M\,$.Considerando-se o triângulo retângulo $\,AMC\,$, temos:

hipotenusa

$\,\overline{AC}\,=\,3\,cm\,$

cateto

$\,\overline{MC}\,=\,\dfrac{3}{2}\,cm\,$

cateto

$\,\overline{AM}\,=\,h\,$

e pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\boxed{(AC)^2\,=\,(MC)^2\,+\,(AM)^2}\;\Rightarrow\;$ $ 3^2\,=\;(\dfrac{3}{2})^2\,+\,h^2\;\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\;h^2 \,=\,9\,-\,\dfrac{9}{4}\;\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{36\,-\,9}{4}}\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{27}{4}}\,=\,\sqrt{\dfrac{3\centerdot9}{4}}\,=\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$

o valor $\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$ é satisfeito pela alternativa (E).
Observações:
●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros.
●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos.
●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado $\,\ell\,$ é igual a $\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$.

Dê a expressão da altura de um triângulo equilátero em função da medida do lado do triângulo.

resposta:

Resolução:
No triângulo da figura:

$\;\ell^2 = h^2 + (\frac{\ell}{2})^2 \;\;\Longleftrightarrow \;\; h^2 = \ell ^2 - \frac{\ell ^2}{4} \; = \; \frac{3 \ell^2}{4}\;\Longrightarrow\;$

ou $\;\; h = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}$

Resposta: $\;\;h = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}$
×

A altura de um triângulo equilátero de lado 4 cm é:

a)$\;4 \;cm\;$	b)$\;2 \;cm\;$	c)$\;4\sqrt{3} \;cm\;$
d)$\;2\sqrt{3} \;cm\;$	e) $\;1\; cm\;$

resposta: D
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