Exercícios sobre Teorema de Tales

(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:

$\sqrt{3}\;$m

$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m

$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m

$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m

$2\sqrt{2}\;$m

resposta:

Considerações:

A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.

A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício

Resolução:
O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais.
$\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$

$\;\dfrac{1,2\, +\, 1,8}{1,8}\,=\,\dfrac{H}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\centerdot\dfrac{30}{18}\;\Rightarrow\;$

$\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{1}\centerdot\dfrac{15}{18}\;\Rightarrow\;$

$\;H\,=\,\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\;\Rightarrow\;$ corresponde à

Alternativa D

×

No triângulo $\,ABC\,$ da figura, $\,\overline{AS}\,$ é bissetriz interna relativa do vértice $\,A\,$.
Prove que $\;\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\;$ (sugestão: Teorema de Tales)

triângulo provar teorema da bissetriz interna

resposta: demonstração.

demonstração do teorema da bissetriz interna utilizando o teromea de Tales

1. No triângulo $\,ABC\,$, construimos $\, \overleftrightarrow{MC}\,//\, \overleftrightarrow{AS}\,\longrightarrow\;$ pelo teorema fundamental do paralelismo temos
$\,\hat{M}\,=\,B\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (ângulos correspondentes)
$\,\hat{C}\,=\,C\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (alternos internos)
Se $\,\hat{M}\,=\,\hat{C}\,=\,\alpha\,\therefore\,\,\triangle ACM\,$ é isósceles com $\,\boxed{\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,}$
2. Pelo Teorema de Tales:
$\phantom{X}\dfrac{AB}{AM}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$, mas $\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,$ então: $\phantom{X}\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$

c.q.d.

(MAPOFEI) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m . Determine os lados desse triângulo.

resposta:

Resolução:Teorema da Bissetriz

Construindo-se a bissetriz de um ângulo de um triângulo, determinam-se no lado oposto segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

Na figura ao lado, um triângulo ABC de lados de medidas a, b e c, onde $\,\overleftrightarrow{AS}\,$ é a bissetriz do ângulo no vértice A.
Sabemos no enunciado que

$\,m\,=\,16\,$ e $\,n\,=\,24\,$, então o lado c do triângulo mede $\,c\,=\,m\,+\,n\,=\,16\,+\,24\,=\,40\;\Rightarrow\;\boxed{\,c\,=\,40\,m\,}\,$

O perímetro do triângulo é 100 m, então a soma $\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,100\;\Rightarrow\;a\,+\,b\,+\,40\,=\,100\,$ $\Rightarrow\,a\,+\,b\,=\,60\,$(I)

Se os lados são proporcionais aos segmentos gerados pela bissetriz (TEOREMA DA BISSETRIZ) então temos conforme a figura: $\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{m}{n}\,$ $\Rightarrow\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\,$(II)(I) e (II)$\,\longrightarrow\,\left\{\begin{array}{rcr} \,a\,+\,b\,=\,60\,& \\ \dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$ $\Rightarrow\,a\,=\,\dfrac{2b}{3}\phantom{X}\Rightarrow\;\dfrac{2b}{3}\,+\,b\,=\,60 $
$\,\Rightarrow\;5b\,=\,180\;\Rightarrow\;\boxed{\,b\,=\,36\,m\,}\;a\,=\,\dfrac{2b}{3}\;\Rightarrow\,\boxed{\,a\,=\,24\,m\,}$

Resposta:

Os lados do triângulo são 24m, 36m e 40m
×