Provar que o triângulo cujos vértices são A(2,2) , B(-4,-6) , e C(4,-12) é um triângulo retângulo.
Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B . São dados : A(4,5), B(1,1) e C(x,4).
(PUC - 1970) Sendo , e vértices de um triângulo, então este triângulo é:
a) triângulo retângulo e não isósceles b) triângulo retângulo e isósceles c) triângulo equilátero d) triângulo isósceles não retângulo e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(MACKENZIE - 1979) O triângulo retângulo em e o paralelogramo situam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais":
a) é sempre verdadeira. b) não pode ser analisada por falta de dados. c) é verdadeira somente se . d) nunca é verdadeira. e) é verdadeira somente se .
(A)
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares , , , , . Sabe-se que é um retângulo, e . Pode concluir que são perpendiculares as retas:
a) e b) e c) e d) e e) e
(D)
(PUC-SP - 1982) Um triângulo isósceles , com e , tem o lado contido em um plano e o vértice a uma distância 18 de . A projeção ortogonal do triângulo sobre o plano é um triângulo:
a) retângulo. b) obtusângulo. c) equilátero. d) isósceles, mas não equilátero. e) semelhante ao triângulo .
(C)
(UCMG - 1982) Na figura ao lado, o ângulo é reto. O valor, em graus, do ângulo é de:
a) 95 b) 100c) 105 d) 110e) 120
(B)
(PUC-SP - 1981) Qual é o valor de x na figura ao lado?
a) b) c) d) e)
(E)
(F.C.M.STA.CASA - 1981) Na figura ao lado temos o triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região sombreada é, em cm² :
a) b) c) d) e)
(E)
(F.C.M.STA.CASA - 1980) Na figura ao lado, considere o segmento a = 2 m . A área da superfície sombreada é igual a:
a) m² b) m² c) m² d) m² e) nenhuma das anteriores
(D)
(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo é:
a) b) c) d) e)
(A)
(FUVEST - 1991) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?
a) 30 %b) 36 %c) 40 % d) 45 %e) 50 %
(B)
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
Com os dados das figuras abaixo, determine m .
m = 3,6
Com os dados das figuras abaixo, determine h .
h = 4,8
Com os dados das figuras abaixo, determine n .
n = 6,4
Com os dados da figura, completar as igualdades dos itens a. até d.
a) b) c) d)
a. () b. () c. () d. ()
A altura do triângulo equilátero de lado cm. mede:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero de lado 3 cm é traçada a altura , que é perpendicular a e divide o segmento no seu ponto médio .Considerando-se o triângulo retângulo , temos: hipotenusa : cateto : cateto : e pelo Teorema de Pitágoras: o valor é satisfeito pela alternativa (E). Observações: ●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros. ●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos. ●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado é igual a .
Na figura abaixo, calcule o valor de .
Resolução: então: Resposta:
Num retângulo de dimensões e , e . Calcule a diagonal do mesmo.
Resolução: e
Resposta: a medida da diagonal é 5.
Num triângulo retângulo, a hipotenusa menos o cateto maior é igual a , a hipotenusa menos o cateto menor é igual a . Calcule os catetos e a hipotenusa.
Resolução: (I) (II) Pitágoras:(III)
Substituindo (I) e (II) em (III) temos então:
(inadequado porque )
Substituindo em (I) e (II) Resposta:
o triângulo procurado tem catetos , e hipotenusa
Determinar a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos valem e .
Resolução
(relação métrica)
Resposta:.
Determinar na figura abaixo.
Resolução:
Pitágoras: Resposta:
Calcule a diagonal do quadrado de lado .
Resolução:
Pelo Teorema de Pitágoras: Resposta:A diagonal de um quadrado de lado medindo tem medida igual a
.
Para um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm , 4 cm e 5 cm , calcular:
a) A área total b) A medida da diagonal
a) Resolução:
área total = Resposta:
b)Resolução
diagonal do paralelepípedo = Resposta:
Determinar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Resolução: volume = Resposta:
O volume é
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo). aresta da base = altura do prismaárea da base, o triângulo equilátero Resolução:1. Sabemos que a área lateral é igual a A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura) . então 2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado em função da medida do lado do triângulo vale ) Então 3. Área total:
Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9
(B)
Na figura, calcule "" em função de .
Resolução: então Resposta:
Observe que , sendo o número de triângulos retângulos.
Na figura, é bissetriz interna relativa ao lado . Calcule a medida do segmento , sendo , e .
Resolução:
Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras: portanto, na figura Pelo Teorema da Bissetriz Interna, então: Somando (I) e (II) e Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
Resposta: A medida do segmento é
A diagonal de um quadrado de lado 4 cm vale:
a) b) c) d) e)
(C)
Conforme a figura abaixo, a medida do lado maior do retângulo é:
a) 5 m b) m c) 47 m d) 25 m e) 12 m
(A)
Na figura são dadas as medidas de dois lados de um triângulo retângulo. O terceiro lado mede:
a) 3 b) c) d) 4 e)
(E)
A medida do segmento na figura abaixo, onde é conhecido, é dada por:
a) b) c) d) e)
(A)
Um triângulo cujas medidas dos três lados são, respectivamente e é:
a) um triângulo retângulo b) um triângulo acutângulo c) um triângulo obtusângulo d) um triângulo equiângulo e) nenhuma das anteriores
(C)
Os itens a seguir definem medidas de lados de triângulos. Classifique cada triângulo de 1 a 6, associando-os de acordo com o código:
A - um triângulo retângulo B - um triângulo acutângulo C - um triângulo obtusângulo D - um triângulo equiângulo E - não é triângulo
1. lados 3, 4 e 5 () 2. lados 12, 15 e 16 () 3.lados 5, 12 e 13 () 4. lados 10, 12 e 14 () 5. lados 2, 2 e 3 () 6. lados 2, 3 e 5 ()
1.lados 3, 4 e 5 (A) 2.lados 12, 15 e 16 (B) 3.lados 5, 12 e 13(A) 4.lados 10, 12 e 14(B) 5.lados 2, 2 e 3(C) 6.lados 2, 3 e 5(E)
Numa sequência de três números naturais (a , b , c) , os termos são chamados de "Números Pitagóricos" se forem tais que c² = a² + b² . Assinale a alternativa onde só existem Números Pitagóricos:
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo é retângulo e é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(PUC - 1973)
Na figura, sabendo-se que:
,
,
Então, e valem, respectivamente:
a) 25 m e 25 m b) 32 m e 18 m c) 38 m e 12 m d) 40 m e 10 m e) nenhuma dasanteriores
(B)
(PUC - 1973) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em . O segmento vale:
a) 11 m b) 105 m c) impossível, pois 43 não tem raiz exata d) 7 m e) nenhuma das anteriores
(D)
Determine o valor de de acordo com a figura:
x = 5
Determine o valor de x na figura abaixo:
Determine a medida do segmento mostrado na figura:
Determine na figura:
Os lados de um triângulo têm e de comprimento. É triângulo retângulo? Caso seja, que lado é a hipotenusa?
Não é triângulo retângulo:
O lado de um triângulo equilátero é igual à altura de um segundo. Qual a razão de semelhança na ordem dada?
Determinar a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 1 cm.
Na figura, é um quadrado de lado 5 m . Determinar a medida de .
Na figura, é um quadrado de lado e é um triângulo equilátero. Determinar a medida de .
Com os dados da figura ao lado,
determine o valor de " x ".
x = 12
Determine o valor do lado x na figura abaixo.
x = 5
Determine a medida do lado "x" na figura abaixo.
x = 7
Na figura abaixo, determinar o valor de "x" .
x = 25
Determine a medida do segmento "x" conforme a figura abaixo.
x = 5
(ENERJ) Entre duas torres de 13 m e 37 m de altura existe na base uma distância de 70 m. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano?
74 m
(USP) Determinar os lados a, b e c de um triângulo retângulo em A se b + c = 7 dm e h = 2,4 dm.
a = 5 dm; b = 4 dm; c = 3 dm
(FEI) O triângulo ABC é equilátero; D e E são os pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas do retângulo DHEM com do retângulo DEGF.
a) são iguais b) < c) > d) dependem da medida do lado do triângulo e assim pode ser qualquer das anteriores. e)
(A)
(USP) Na figura, temos a representação de um retângulo inscrito num setor de e de raio . Medindo o lado OA do retângulo do raio, o produto é:
a) b) c) d) e)
(B)
(USP) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo : ; ;. Pode-se afirmar que:
a) é a única solução. b) é a única solução. c) ou d) ou e) ou
(E)
(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale . Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(D)
Na figura, calcular e .
Resolução: Então e portanto
Resposta:
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo os ângulos são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e , calcule as medidas dos catetos.
(FUVEST) Em um triângulo o lado mede e o ângulo , oposto ao lado , mede . Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
Resolução:
Na figura, onde o ângulo mede 45° e o lado mede unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro .
Se é um ângulo inscrito, então o ângulo é o ângulo central correspondente e mede o dobro de , ou seja, mede o triângulo é reto em
O triângulo é isósceles com dois lados iguais ao raio da circunferência e o terceiro lado igual a .
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles temos:
Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é podemos utilizar o Teorema dos Senos:
medida do raio r = 4
(SANTA CASA - 1982) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola de equação . A área do retângulo é:
a) 1b) 8c) 64d) 128e) 256
alternativa A
(FGV) Sabendo que o é um triângulo retângulo em , calcular as coordenadas do vértice .
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(C)
(FUVEST - 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1:200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual e são segmentos de reta, o ponto está no segmento , o ponto está no segmento , é um retângulo e é um trapézio. Se , , , e indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é
Obs: Figura ilustrativa, sem escala.
a) 100 km² b) 108 km² c) 210 km² d) 240 km² e) 444 km²
(E)
Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² eo volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.
Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.
Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal... Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETOe suas bases são POLÍGONOS REGULARES.
RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases
REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.
A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases.A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases.O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.
Resolução:Área Lateral(I) Volume(II) Dividindo (II) por (I) temos: Substituindo em (I): Resposta:As dimensões do prisma são
aresta da base igual a 3 m e altura igual a 8/3 m
(FGV - 1976) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, a peça (2, 5) é também a peça (5, 2). Se em cada metade podem aparecer desde nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é:
a) b) c) d) e)
(E)
Unindo-se as extremidades dos arcos da forma obtém-se:
a) quadrado b) retângulo c) octógono d) octógono regular e) hexágono
(C)
(FUVEST - 2017) O paralelepípedo retorretângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2. O seno do ângulo HÂF é igual a a) b) c) d) e)
(E)
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
Resolução: a)
Seja o triângulo retângulo como na figura, com ângulo de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro circunscrita ao .O ângulo é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente . Portanto a medida de é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento , é um diâmetro da circunferência de centro , e que (centro) é ponto médio de . Sendo um raio da circunferência, então a medida de é igual à metade da medida do diâmetro . Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a e têm a mesma medida, então o é isósceles e portanto: . Sendo bissetriz de de medida 90°, então , donde concluímos que: resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(FUVEST - 2009) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:
Nessas condições, determine: a) A medida de . b) A área do trapézio . c) O volume da pirâmide .
a) unidades de comprimento b) unidades de área c) unidades de volume
(FUVEST - 2015) No triângulo retângulo , ilustrado na figura, a hipotenusa mede 12 cm e o cateto mede 6 cm. Se é o ponto médio de , então a tangente do ângulo é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(U.F.VIÇOSA - 1990) Na figura abaixo, a circunferência de centro P e raio 2 é tangente a três lados do retângulo ABCD de área igual a 32. A distância do ponto P à diagonal AC vale:
a) b) c) d) e)
(A)
(FUVEST - 1977)
Dados:;;; Então é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(MACKENZIE - 1979) No triângulo retângulo ABC da figura, b = 1 e c = 2. Então x vale:
a) b) c) d) e)
(E)
(FATEC - 1979) Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
a) ]1; 5[b) ]0; 4[c) ]2; 6[ d) ]3; 7[e) ]4; 8[
(B)
(FATEC - 1979) Na figura, ABCD é um retângulo. , e . Então é:
a) b) c) d) e)
(B)
(PUC SP - 1980) Num triângulo retângulo cujos catetos medem e , a hipotenusa mede:
a) b) c) d) e)
(B)
(UF RS - 1984) O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 1/2 e 6/5, a distância do lampião ao teto é:
a) 1,69b) 1,3c) 0,6d) 1/2 e) 6/13
(E)
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) nenhuma das anteriores
(D)
(UF UBERLÂNDIA - 1980) Num triângulo ABC, o ângulo é reto. A altura divide a hipotenusa em dois segmentos e . Sabendo-se que o cateto é o dobro do cateto , podemos afirmar que é igual a: