(MACKENZIE - 1973) A representação gráfica do conjunto de pontos tais que é:
a) b) c) d) e)
(B)
Localizar e rotular no plano cartesiano os pontos A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 6) , D (-2 , -5) e E (-3 , 5) .
(ITA - 1982) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x . A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60° . O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x . A área da superfície total do sólido mede:
a) b) c) d) e)
(E)
(ITA - 1973) Sejaa projeção do diâmetro de um círculo de raio sobre a reta tangente por um ponto deste círculo. Seja a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio ao redor da reta tangente e área do círculo dado. Qual é o valor de para que a medida do segmento seja igual à metade do raio ?
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(B)
(UCMG - 1981) O volume, em cm³, da figura formada por um cone e um cilindro circular reto, é:
a) b) c) d) e)
(C)
(UCMG - 1981) O raio da base de um cone de revolução é 10 cm, e a altura 30 cm. Se o raio aumentar 1 cm e a altura diminuir 3 cm, a razão entre o segundo volume e o primeiro é de:
a) 0,333b) 1,089c) 1,321 d) 2,021e) 3,000
(B)
(MACKENZIE - 1978) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:
a) b) c) d) e)
(D)
(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo é:
a) b) c) d) e)
(A)
(COVEST - 1989) Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm ; o polígono é um hexágono regular, e o ângulo é reto. Assinale a alternativa correta para a medida da área da região sombreada.
a) cm² b) cm² c) cm² d) cm² e) cm²
(D)
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
(ITA - 2004) Duas circunferência concêntricas e têm raios de e , respectivamente. Seja uma corda de , tangente à . A área da menor região delimitada pela corda e pelo arco mede, em ,
a) b) c) d) e)
(C)
(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
a) b) c) d) e)
(E)
(ITA - 2004) Sejam os pontos , e .
a) Determine a equação da cirunferência , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos e e é tangente ao eixo . b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto .
Resolução:
a)
Seja o centro da circunferência no primeiro quadrante. Na figura, passa pelos pontos e , tangenciando o eixo . possui coordenadas (3,m) e é raio da circunferência, portanto mede 3.. O ponto , centro da circunferência , tem coordenadas , e a equação da circunferência é
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em , e coeficiente angular : . A reta vertical que contém corta a circunferência em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro é igual a 3, ou seja:
ou . As equações das tangentes são:
e
(USP) Na figura, temos a representação de um retângulo inscrito num setor de e de raio . Medindo o lado OA do retângulo do raio, o produto é:
a) b) c) d) e)
(B)
(ITA - 2012) As retas e são concorrentes no ponto , exterior a um círculo . A reta tangencia no ponto e a reta intercepta nos ponto e diametralmente opostos. A medida do arco é e mede cm. Determine a área do setor menor de definido pelo arco .
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a (a reta tangente).
Então e sabemos que a tangente de é .
2.
o arco , suplementar de , mede .
Então a superfície
Resposta:
(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale . Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(D)
(FUVEST) Em um triângulo o lado mede e o ângulo , oposto ao lado , mede . Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
Resolução:
Na figura, onde o ângulo mede 45° e o lado mede unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro .
Se é um ângulo inscrito, então o ângulo é o ângulo central correspondente e mede o dobro de , ou seja, mede o triângulo é reto em
O triângulo é isósceles com dois lados iguais ao raio da circunferência e o terceiro lado igual a .
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles temos:
Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é podemos utilizar o Teorema dos Senos:
medida do raio r = 4
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
Resolução: A equação da circunferência de centro e raio é: . Como e , temos:
Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.
Resolução:
A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é:.Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então:
Determinar a equação geral (ou normal) da circunferência de centro C (-1 , -3) e raio r = 4 .
Resolução:
. Desenvolvendo os quadrados das somas: Resposta:
Qual a equação reduzida da circunferência de centro C (-1 , 3) e raio r = 5 .
Resolução: Resposta:
Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .
Resolução: O segmento é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de : O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC. A equação da circunferência de raio e centro é: Resposta:
Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .
Resolução:
O raio da circunferência é a distância do centro até a origem: A equação da circunferência de centro e raio é: Sabemos que o centro é e raio . Temos então:
Determinar as coordenadas do centro eo raio de cada uma das circunferências abaixo:
a) b)
a)
Resolução: A equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio R: , e temos que e
b)
Resolução: A equação geral da circunferência de centro (a,b) e raio R: . Então
Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .
Resolução: Sendo o centro da circunferência o ponto C (x , 3) conforme a figura:
Sendo e raios da mesma circunferência, são segmentos de medidas iguais: Elevando ao quadrado, simplificando, temos: Então o centro é e o raio é e a equação da circunferência:Resposta:
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Resolução:
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos , e são raios da circunferência e têm medidas iguais a R . Passo 1. Passo 2. Passo 3. O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II): Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio: Resposta:
(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:
a) b) c) d) e) n.d.a
(C)
(ITA - 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por onde é um complexo não nulo e é uma constante real positiva. Para temos uma
a) circunferência com centro no eixo real e raio igual a . b) circunferência com centro no eixo real e raio igual a . c) circunferência tangente ao eixo real e raio igual a . d) circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a . e) circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a .
(D)
(FUVEST - 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.
Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região hachurada, em função de x e y, é: a) b) c) d) e)
(B)
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
Resolução: a)
Seja o triângulo retângulo como na figura, com ângulo de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro circunscrita ao .O ângulo é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente . Portanto a medida de é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento , é um diâmetro da circunferência de centro , e que (centro) é ponto médio de . Sendo um raio da circunferência, então a medida de é igual à metade da medida do diâmetro . Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a e têm a mesma medida, então o é isósceles e portanto: . Sendo bissetriz de de medida 90°, então , donde concluímos que: resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento . 2. OP = 1 , OQ = . 3. A e B são pontos da circunferência. e .
Assim sendo, determine:
a) A área do triângulo APO. b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
a) b) e c)
(FUVEST - 1977) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo; cada um destes furos permite uma fazão de 1 litro por minuto. Esboce o gráfico do volume de água no reservatório em função do tempo (em minutos) posterior à realização dos furos. (Despreze o tamanho dos furos.)
Resolução: Vamos chamar de o volume inicial total do reservatório (totalmente cheio de água). ou litros.
Cada furo permite a vazão de 1 litro por minuto, portanto a vazão de 2 furos é de 2 litros em cada minuto negativos. Volumetotal = Volumeinicial + (vazão)●(tempo) . A equação acima vale até o momento em que o furo mais alto seja atingido pelo nível da água, ou seja, conforme a figura, durante a vazão de 2/3 do volume inicial. No instante em que o volume é um terço do inicial, ou seja, o furo mais alto deixa de ter vazão. Esse momento ocorre em: .Então, após minutos a vazão é 1 litro por minuto, e o volume será Vtotal =
(F. ESTÁCIO DE SÁ) Um espelho esférico convexo tem raio igual a 60 cm. Colocamos uma seta luminosa a 30 cm do vértice do espelho. Observamos que a imagem tem as seguintes características:
a) está distante do espelho 15 cm e é virtual; b) está distante do espelho 15 cm e é real; c) está distante do espelho 10 cm e é virtual; d) está distante do vértice 30 cm e é real; e) não há formação de imagem neste caso.
(A)
(MED SANTO ANDRÉ) Um ponto luminoso P percorre a distância AC, representada na figura, com velocidade escalar constante de 1,0 cm/s. E é um espelho esférico de centro C.
Qual a velocidade escalar média do ponto imagem de P, conjugado pelo espelho, quando P se desloca de A para C?
-0,33 cm/s
Se uma imagem é real em relação a um Sistema Óptico, podemos concluir que:
a) ela poderá sempre ser recebida num anteparo; b) ela estará sempre na intersecção física dos raios da luz; c) ela nunca poderá ser recebida num anteparo; d) els só poderá ser um objeto real para um outro Sistema Óptico colocado em série com o primeiro; e) ela poderá ser um objeto virtual para outro Sistema Óptico.
(E)
Se uma imagem é virtual em relação a um Sistema Óptico, então:
a) ela nunca poderá ser recebida num anteparo; b) ele pode estar na intersecção física dos raios de luz; c) ela pode constituir-se num objeto virtual para um outro Sistema Óptico, colocado em série com o primeiro; d) ela não pode ser um objeto real para um outro Sistema Óptico, colocado em série com o primeiro; e) nenhuma das anteriores.
(A)
Determine o raio do círculo de centro O conforme a figura, sendo dados: AB = 3x - 3 e OA = x + 3.
12
A circunferência C da figura tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7 cm do centro. Determine a distância entre P e a circunferência.
9 cm
Determine o valor de x nos casos: a) é perpendicular a
b) e são tangentes à circunferência
a) 6b) 9
As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.
18 cm e 10 cm
Determine o valor de x, sendo O o centro da circunferência nos casos: a)
b)
a) 125° b) 145°
(CESGRANRIO - 1985) As circunferências da figura de centros M, N e P, são mutuamente tangentes externamente. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Então a área do triângulo MNP é:
a) b) c) d) e)
(E)
(MACKENZIE - 1977) Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é , a área do triângulo equilátero ABC é:
a) b) c) d) e) não sei
(A)
(U.F.UBERLÂNDIA - 1981) Na figura abaixo, AB é o diâmetro de um círculo de raio 7,5 cm. Se AC =10 cm, a área do triãngulo ABC vale:
a) b) c) d) e)
(D)
(U.F.VIÇOSA - 1990) Na figura abaixo, a circunferência de centro P e raio 2 é tangente a três lados do retângulo ABCD de área igual a 32. A distância do ponto P à diagonal AC vale:
a) b) c) d) e)
(A)
(FESP - 1991) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 6 cm. O triângulo é interceptado por um diâmetro de circunferência, formando um trapézio, conforme a figura abaixo. Podemos afirmar então que a razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio é igual a:
a) b) c) d) e)
(B)
(U.C.SALVADOR - 1991) Na figura ao lado ABCD é um losango e A é o centro da circunferência de raio 4 cm. A área desse losango, em centímetros quadrados, é: