(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
(ITA - 2004) Sejam os pontos , e .
a) Determine a equação da cirunferência , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos e e é tangente ao eixo . b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto .
Resolução:
a)
Seja o centro da circunferência no primeiro quadrante. Na figura, passa pelos pontos e , tangenciando o eixo . possui coordenadas (3,m) e é raio da circunferência, portanto mede 3.. O ponto , centro da circunferência , tem coordenadas , e a equação da circunferência é
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em , e coeficiente angular : . A reta vertical que contém corta a circunferência em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro é igual a 3, ou seja:
ou . As equações das tangentes são:
e
(FUVEST) Em um triângulo o lado mede e o ângulo , oposto ao lado , mede . Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
Resolução:
Na figura, onde o ângulo mede 45° e o lado mede unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro .
Se é um ângulo inscrito, então o ângulo é o ângulo central correspondente e mede o dobro de , ou seja, mede o triângulo é reto em
O triângulo é isósceles com dois lados iguais ao raio da circunferência e o terceiro lado igual a .
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles temos:
Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é podemos utilizar o Teorema dos Senos:
medida do raio r = 4
Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .
Resolução: O segmento é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de : O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC. A equação da circunferência de raio e centro é: Resposta:
Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .
Resolução:
O raio da circunferência é a distância do centro até a origem: A equação da circunferência de centro e raio é: Sabemos que o centro é e raio . Temos então:
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Resolução:
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos , e são raios da circunferência e têm medidas iguais a R . Passo 1. Passo 2. Passo 3. O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II): Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio: Resposta:
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
Resolução: a)
Seja o triângulo retângulo como na figura, com ângulo de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro circunscrita ao .O ângulo é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente . Portanto a medida de é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento , é um diâmetro da circunferência de centro , e que (centro) é ponto médio de . Sendo um raio da circunferência, então a medida de é igual à metade da medida do diâmetro . Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a e têm a mesma medida, então o é isósceles e portanto: . Sendo bissetriz de de medida 90°, então , donde concluímos que: resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(CESGRANRIO - 1985) As circunferências da figura de centros M, N e P, são mutuamente tangentes externamente. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Então a área do triângulo MNP é:
a) b) c) d) e)
(E)
(MACKENZIE - 1977) Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é , a área do triângulo equilátero ABC é: