Calcular a distância entre os pontos A ( 1 ; 3 ) e B ( -1 ; 4 ) .
Calcular a distância do ponto à origem do sistema cartesiano.
Calcular a distância entre os pontos e .
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos , e , a equação da reta que passa por pelo ponto médio do segmento é:
a) b) c) d) e)
Alternativa A
Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(2,1) , B(-1,3) , e C(4,-2) .
Provar que o triângulo cujos vértices são A(2,2) , B(-4,-6) , e C(4,-12) é um triângulo retângulo.
Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B . São dados : A(4,5), B(1,1) e C(x,4).
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação é a reunião de duas retas, então:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(EPUSP - 1966) Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem à equação constituem:
a) uma reta b) um senóide c) uma elipse d) um feixe de retas paralelas e) nenhuma das anteriores
(D)
(MACKENZIE - 1973) A representação gráfica do conjunto de pontos tais que é:
a) b) c) d) e)
(B)
(CESCEM - 1976) O ponto (a, -b) pertence ao interior do 2º quadrante. Os pontos (-a,b) e (-a,-b) pertencem, respectivamente, aos quadrantes:
a) 3º e 1º b) 3º e 4º c) 4º e 3º d) 4º e 1º e) 1º e 3º
(D)
(FFCLUSP - 1966) A distância do ponto (-2, 3) ao eixo das ordenadas é:
a) -2 b) 2 c) 1 d) 5 e)
(B)
(CESCEA - 1974) O ponto do eixo equidistante de e é:
a) b) c) d) e) não sei
(D)
(PUC - 1970) Sendo , e vértices de um triângulo, então este triângulo é:
a) triângulo retângulo e não isósceles b) triângulo retângulo e isósceles c) triângulo equilátero d) triângulo isósceles não retângulo e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
Localizar e rotular no plano cartesiano os pontos A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 6) , D (-2 , -5) e E (-3 , 5) .
(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices , e de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice é:
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(CESCEA - 1968) Dado o segmento de extremidades e as coordenadas do ponto que divide na razão são:
a) b) c) d) e)
(B)
(EPUSP - 1966) Seja C o ponto de encontro das medianas do triângulo OAB de ângulo reto A . Sendo O = (0 , 0) e A = (3 , 0) , a abscissa de C :
a) é inferior a 1 b) é 1 c) é 1,5 d) só pode ser conhecida se for dada a ordenada de B e) nenhuma das respostas anteriores
(E)
(CESCEA - 1972) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades e . As coordenadas dos outros dois vértices do quadrado são:
a) (2,3) e (3,2) b) (3,1) e (1,3) c) (3,0) e (1,4) d) (5,2) e (4,1) e) não sei
(B)
(MACKENZIE - 1976) Se os pontos , e estão numa mesma reta, então é igual a: a) -12 b) -6 c) 6 d) 12 e) 18
(D)
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação , assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) se e então é a equação de uma reta pela origem b) se e então é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos c) Se e então é a equação de uma reta paralela ao eixo d) se , e então é a equação do eixo e) se , e então é a equação do eixo
(D)
(FEI - 1967) Para cada número real , considere-se a reta de equação .
a) existem e , com , tais que e são paralelas b) existe um valor de para o qual a reta é paralela ao eixo dos c) qualquer que seja , a reta passa pelo ponto d) qualquer que seja , a reta passa pelo ponto e) nenhuma das afirmações é verdadeira
(D)
(CESCEA - 1973) A reta que passa pelo ponto e pelo ponto , simétrico de em relação à origem, é:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(A)
(CESCEA - 1972) A equação da reta que passa pelo ponto e que corta a reta de equação num ponto , tal que , é:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(A)
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos , e , a equação da reta que passa por pelo ponto médio do segmento é:
a) b) d) c) e)
(A)
(CESCEM - 70) Do enunciado abaixo:
"A condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano."
Podemos concluir que:
a) A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. b) A condição ser necessária significa que: toda reta paralela a uma reta de um plano é paralela a este plano. c) A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta conterá todas as retas paralelas à reta dada. d) A condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. e) Nenhuma das anteriores.
(E)
(MACKENZIE - 1973) Marque uma das alternativas:
a) se existir um(a) e um(a) só b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as) c) se existir um número finito porém maior que 2 d) se existirem infinitos(as) e) se não existir nenhum(a) de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
1º reta perpendicular a duas retas reversas. 2º plano paralelo a duas retas reversas. 3º dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra. 4º retas e reversas, plano por e equidistante dos pontos e .
1a - 2d - 3e - 4b
(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p . Então:
a) se C dividir o segmento em partes iguais a , então o segmento é perpendicular a p b) se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento é perpendicular a p . c) se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então implica que o segmento é perpendicular a p . d) se ABC for um triângulo equilátero e o segmento for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C . e) nenhuma das respostas anteriores.
(C)
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares , , , , . Sabe-se que é um retângulo, e . Pode concluir que são perpendiculares as retas:
a) e b) e c) e d) e e) e
(D)
(ITA - 1973) Sejaa projeção do diâmetro de um círculo de raio sobre a reta tangente por um ponto deste círculo. Seja a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio ao redor da reta tangente e área do círculo dado. Qual é o valor de para que a medida do segmento seja igual à metade do raio ?
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(B)
(FUVEST - 1982) Sejam r e s duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:
a) existe uma reta perpendicular a r e a s . b) r e s determinam um único plano. c) existe um plano que contém s e não intercepta r. d) existe uma reta que é paralela a r e a s. e) existe um plano que contém r e um único ponto de s .
(A)
(UBERLÂNDIA - 1982) Das alternativas abaixo:
I -Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si. II -Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um forma um ângulo reto com qualquer reta do outro. III -Distância entre duas retas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra. IV - Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então por qualquer ponto de uma passa reta que se apoia nas outras duas. Pode-se afirmar que:
a) todas as alternativas são verdadeiras. b) todas as alternativas são falsas. c) apenas a alternativa I é falsa. d) apenas a alternativa I é verdadeira. e) apenas as alternativas I, II e III são verdadeiras.
(B)
(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a) 5 b) 10c) 15 d) 18e) 24
O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.
O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo). Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si. As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes. Resolução:
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas. Modo intuitivo:A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos. Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5. 1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior. 2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior. 3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. 4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. 5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, e são 10 as diagonais do prisma pentagonal. Resposta:
Alternativa B
(UFPR - 1980) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equilátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o ponto equidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtém-se:
a) 6 unidades. b) 5 unidades. c) 4 unidades. d) 3 unidades. e) 2 unidades.
(E)
(CESCEM - 1967) Um dado especial em forma de icosaedro, tem suas 20 faces numeradas da seguinte forma: duas das faces têm o número zero; as 18 restantes têm os números . A probabilidade de que, lançando dois destes dados, tenhamos uma soma do número de pontos igual a vale:
a) b) c)
d) e)
(D)
(UFMG - 1992) Os pontos são colineares e tais que cm, cm, cm e cm. Nessas condições, uma possível disposição desses pontos é:
a) d) b) e) c)
(A)
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:m, m, m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a) m b) mc) m d) me) m
Considerações:" A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto vale (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício Resolução:O triângulo é semelhante ao triângulo pois possuem o ângulo comum e os ângulos e são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. corresponde à
Alternativa D
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521
(A)
(ITA - 2004) Sejam as funções e definidas em por e , em que e são números reais. Considere que estas funções são tais que
Valor mínimo
Ponto de mínimo
Valor máximo
Ponto de máximo
Então a soma de todos os valores de para os quais é igual a:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
(D)
(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos do plano que satisfazem a equação: . a) Uma elipse. b) Uma parábola. c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. e) Uma reta.
(C)
(ITA - 2004) Sejam os pontos , e .
a) Determine a equação da cirunferência , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos e e é tangente ao eixo . b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto .
Resolução:
a)
Seja o centro da circunferência no primeiro quadrante. Na figura, passa pelos pontos e , tangenciando o eixo . possui coordenadas (3,m) e é raio da circunferência, portanto mede 3.. O ponto , centro da circunferência , tem coordenadas , e a equação da circunferência é
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em , e coeficiente angular : . A reta vertical que contém corta a circunferência em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro é igual a 3, ou seja:
ou . As equações das tangentes são:
e
A altura do triângulo equilátero de lado cm. mede:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero de lado 3 cm é traçada a altura , que é perpendicular a e divide o segmento no seu ponto médio .Considerando-se o triângulo retângulo , temos: hipotenusa : cateto : cateto : e pelo Teorema de Pitágoras: o valor é satisfeito pela alternativa (E). Observações: ●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros. ●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos. ●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado é igual a .
(FUVEST) "Podem acusar-me: estou com a consciência tranquila." Os dois pontos (:) do período acima poderiam ser substituídos por vírgula, explicando-se o nexo entre as duas orações pela conjunção: a) portanto b) e c) como d) pois e) embora
(D)
(FEI) O triângulo ABC é equilátero; D e E são os pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas do retângulo DHEM com do retângulo DEGF.
a) são iguais b) < c) > d) dependem da medida do lado do triângulo e assim pode ser qualquer das anteriores. e)
(A)
(ITA - 2012) As retas e são concorrentes no ponto , exterior a um círculo . A reta tangencia no ponto e a reta intercepta nos ponto e diametralmente opostos. A medida do arco é e mede cm. Determine a área do setor menor de definido pelo arco .
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a (a reta tangente).
Então e sabemos que a tangente de é .
2.
o arco , suplementar de , mede .
Então a superfície
Resposta:
(UEMT) Para que os pontos (1; 3) e (3, -1) pertençam ao gráfico da função dada por , o valor de deve ser
a) 7 b) 5 c) 3 d) -3 e) -7
(A)
Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.
Resolução: Para um ponto , vamos chamar de e as projeções do ponto respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).
Resposta:
(EPUSP - 1967) O ponto é interno a um dos lados do triângulo , e . Então:
a) m = -1 b) m = 0 c) m = d) m = 1 e) nenhuma das respostas anteriores
(A)
Em "Eu era enfim, senhores, uma graça de alienado.", os termos da oração, grifados, são respectivamente, do ponto de vista sintático: a) adjunto adnominal, vocativo e predicativo do sujeito b) adjunto adverbial, aposto e predicativo do objeto c) adjunto adverbial, vocativo e predicativo do sujeito d) adjunto adverbial, vocativo e objeto direto e) adjunto adnominal, aposto e predicativo do sujeito
C
(MAUÁ) Determinar a equação da parábola que tem seu eixo paralelo ao eixo , tangencia o eixo no ponto e corta o eixo no ponto .
Na figura, as curvas tracejada e cheia são os gráficos das funções e , respectivamente.
São feitas as afirmações a seguir de (I) a (V):
Os únicos valores de tais que: I) são , e II) são ou III) são ou IV) são V) são ou Responda de acordo com o código: a) Se todas as afirmações estão corretas b) Se apenas (I) e (III) estão corretas c) Se apenas (II) e (IV) estão corretas d) Se apenas (I) e (V) estão corretas e) Se todas estão erradas
(D)
(FAAP) Na figura, enquanto varia de 0 a , os pontos e percorrem arcos nas parábolas e .
Pede-se:
a) o valor de b) a maior distância entre e .
a)b) maior distância :
(MED JUNDIAÍ - 1982) Seja a função , definida por . Se os pontos (1 ; 3) e (0 ; 1) pertencem ao gráfico de , um outro ponto do gráfico é:
a) (-2 ; -1) b) (-1 ; -3) c) (2 ; 17) d) (3 ; 10) e) (4 ; -4)
(B)
Dar as coordenadas dos pontos simétricos aos pontos A(-1 , 2) ; B(3 , -1) ; C(-2 , -2) ; D(-2 , 5) ; E(3 , -5) em relação ao eixo das ordenadas.
Resolução: Para um ponto existe o ponto , simétrico a em relação ao eixo das ordenadas, conforme a figura:
Observando a figura acima, podemos concluir:
Resposta:
Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:
a) b) c) d)
Resolução:
a) se então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE
b) se então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE
c) se x - y = 0 ⇒ x = y ⇒
d) se
Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A (3 ; 4), B (-1 ; 2), C (-3 ; -4), D (4 ; -2), E (3 ; 0), F (0 ; -3) e G (0 ; 0).
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no QUADRANTE. O vértice C é dado por:
a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(B)
Para um sistema de coordenadas ortogonais, estão certas as seguintes afirmações:
( 1 ) Pontos com abscissa nula estão no eixo 0x ( 2 ) A distância do ponto (-3 ; 5) aoeixo Oy é 3. ( 3 ) A distância entre os pontos A (-2 ; 4) e B (8 ; 4) vale 10. ( 4 ) A distância entre os pontos A (1 ; 5) e B (-3 ; 2) vale 5. ( 5 ) Os pontos da bissetriz dos quadrantes pares têm abscissa e ordenada iguais.
Estão corretas 2, 3 e 4
Dadas as coordenadas dos pontos:
A (4 ; 3) D (2 ; -3) G (-6 ; -4) B (5 ; 0) E (-4 ; 2) C (0 ; 4) F (0 ; 0)
Achar as distâncias entre os pontos em cada um dos seguintes pares: A e B B e E C e G A e C B e F D e E A e D C e D E e F
(MACKENZIE) Considere a figura abaixo. O comprimento do segmento é:
a) b) c) d) e)
(E)
(USP) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A ( 1 ; 1 ) e C ( 3 ; 3 ) . As coordenadas dos outros dois vértices são:
a) ( 2 ; 3 ) e ( 3 ; 2 ) b) ( 3 ; 1 ) e ( 1 ; 3 ) c) ( 3 ; 0 ) e ( 1 ; 4 ) d) ( 5 ; 2 ) e ( 4 ; 1 ) e) nenhuma das anteriores
(B)
Seja P ( x ; y ) o ponto simétrico do ponto A ( 1 ; 1 ) em relação à reta que passa pelos pontos B ( 4 ; 1 ) e C ( 1 ; 4 ) . Então x + y é igual a:
a) 4b) 8 c) 6d) 10e) 12
(B)
(CESCEM) Determinar o ponto D no paralelogramo abaixo:
(MACKENZIE) O ponto ( 3 ; m ) é interno a um dos lados do triângulo A ( 1 ; 2 ), B ( 3 ; 1 ) e C ( 5 ; -4 ) . Então:
a) m = -1 b) m = 0 c) m = - 1/2 d) m = -2 e) m = -3
(A)
(CESCEM) O triângulo tem vértices e . A equação da reta que passa por e pelo ponto médio de é:
a) x = 0 b) y = 0 c) d) e)
(A)
As retas e interceptam-se:
a) sobre o eixo das ordenadas b) no ponto c) sobe o eixo das abscissas d) na origem dos eixos e) no ponto
(A)
Obter a equação segmentária da reta determinada pelo par de pontos A (2 ; 0) e B (0 ; -3)
Obter a equação segmentária da reta determinada pelo par de pontos M (1 ; 1) e N (2 ; 3) .
Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1 ; 0), B (0 ; 3) e C (2 ; 4) . Determinar os coeficientes angulares e lineares das três retas suportes dos lados.
e ; e ; e ;
(CESCEM) Considere o triângulo e A equação da reta que passa pelo vértice e pelo ponto médio do lado é:
a) b) c) d) e)
(B)
Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos: a) A (0 ; 3) e B (-1 ; 0) b) C (1 ; -2) e D (-3 ; 4) c) E (3 ; 4) e F (-4 ; -3)
a) y = 3x + 3 b) c) y = x + 1
(MACKENZIE) Observe a figura. Pertence à reta r o ponto:
a) b) c) d) e)
(A)
(SANTA CASA) Num sistema de eixos ortogonais, a reta que passa pelo ponto P (2 ; 3) e é paralela ao eixo y , pode ser corretamente representada por:
a) x = 2 b) y = 3 c) y = 2 d) y = x + 2 e) y - 2 = x - 3
(A)
(CESCEM) Uma reta pela origem de coeficiente angular negativo tem somente 3 pontos em comum com o gráfico da função . A menor das 3 correspondentes abscissas:
a) é um múltiplo de b) está entre e c) é nula d) está entre e e) é positiva
(B)
Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .
Resolução: O segmento é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de : O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC. A equação da circunferência de raio e centro é: Resposta:
Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .
Resolução:
O raio da circunferência é a distância do centro até a origem: A equação da circunferência de centro e raio é: Sabemos que o centro é e raio . Temos então:
Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .
Resolução: Sendo o centro da circunferência o ponto C (x , 3) conforme a figura:
Sendo e raios da mesma circunferência, são segmentos de medidas iguais: Elevando ao quadrado, simplificando, temos: Então o centro é e o raio é e a equação da circunferência:Resposta:
Determinar no eixo das abscissas um ponto M , cuja distância até o ponto P (2 , -3) seja igual a 5 unidades.
Resolução: Se o ponto pertence ao eixo das abscissas, sua coordenada no eixo das ordenadas é zero. Resposta:
ou
Determinar a natureza do triângulo: A (2 ; -3), B (-5 ; 1) e C (4 ; 3).
Resolução: Primeiro determinar os comprimentos dos lados do triângulo.
Como: escaleno acutângulo
Resposta:
escaleno e acutângulo .
Determinar o ponto no eixo 0x equidistante dos pontos A (6 , 5) e B (-2 , 3) .
Resolução: O ponto P equidistante de A e B está no eixo x , portanto sua ordenada é nula e podemos representar P (x , 0) . Da equidistãncia: Elevar os lados ao quadrado: desenvolvendo a equação temos . Se x = 3 então P(x,0) é o ponto P(3;0) Resposta:
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Resolução:
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos , e são raios da circunferência e têm medidas iguais a R . Passo 1. Passo 2. Passo 3. O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II): Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio: Resposta:
Dados os pontos A (-3 ; 6) e B (7 ; -1) , determinar as coordenadas do ponto médio do segmento .
Resolução: Se um ponto é o ponto médio do segmento então:
(I) A coordenada é a média aritmética dos valores das coordenadas e (II) A coordenada é a média aritmética dos valores das coordenadas e concluímos que o ponto médio é Resposta:
(SANTA CASA) O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1º quadrante e AB = BC . A reta s , que contém a altura do triângulo traçada por B , intercepta no ponto M . Sendo M (2 ; 1) e C (x ; y) , então x + y é igual a:
a) 3b) 5c) 6d) 7e) 9
(C)
(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:
(USP) Dados os pontos A (1 ; -4) , B (1 ; 6) e C (5 ; 4 ) e sabendo-se que , então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A , B e C é:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
(A)
Os pontos médios dos lados de um triângulo são os pontos D (2 ; 1) , E (-6 ; 3) e F (-4 ; -5) . Calcular as coordenadas dos vértices.
(0;9), (4;-7) e (-12;-3)
(MAUÁ) Determinar as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo-se que os pontos médios de seus lados são: (-2 ; 1) , (5 ; 2) e (2 ; -3) .
(1 ; 6) , (9 ; -2) e (-5 ; -4) .
Uma bala animada de movimento retilíneo e com velocidade por hipótese constante, igual a 250 m/s , atinge um alvo; o ruído produzido pelo impacto é ouvido no ponto em que a bala foi disparada 1,2 s após o disparo. Determinar a distância do alvo ao ponto de que foi disparado o projétil. Velocidade do som: 340 m/s .
173,8 m
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M dosegmento BD , tracemos o segmento MP paraleloa AD ,onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC .Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a) MN + MP = 2BM b) MN + MP = 2CM c) MN + MP = 2AB d) MN + MP = 2AD e) MN + MP = 2AC
Resolução:
1. é paralelo a e é paralelo a (I) (II) 2. Fazendo a soma (I) + (II): 3. é a mediana relativa ao lado é ponto médio de . 4. Da figura, , então concluimos que:
Resposta:
(D)
(ITA - 1990) Seja o centro da circunferência . Considere e os pontos de intersecção desta circunferência com a reta . Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices , e é:
a) b) c) d) e) n.d.a.
(E)
(UNESP) Os pontos A, B, C, D, E e F pertencem a uma circunferência . O valor de é:
a) 60° b) 50° c) 45° d) 40° e) 35°
(B)
(FGV) As cordas e de uma circunferência de centro são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas e se intersectam no ponto , conforme indica a figura a seguir:
A medida do ângulo , indicado na figura por , é igual a:
a) 120° b) 124° c) 128° d) 130° e) 132°
(E)
(UNESP) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas e . Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de .
x = 7
(FUVEST - 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1:200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual e são segmentos de reta, o ponto está no segmento , o ponto está no segmento , é um retângulo e é um trapézio. Se , , , e indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é
Obs: Figura ilustrativa, sem escala.
a) 100 km² b) 108 km² c) 210 km² d) 240 km² e) 444 km²
(E)
(FUVEST - 2015) A equação , em que e são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto . Os valores de e são, respectivamente
a) -4 e 3 b) 4 e 5 c) -4 e 2 d) -2 e 4 e) 2 e 3
(A)
As letras do código MORSE são formadas por sequências de traços (—) e pontos (●), sendo permitidas repetições. Por exemplo (—;●;—;●;●). Quantas letras podem ser representadas:
a) usando exatamente 3 símbolos? b) usando no máximo 8 símbolos?
a) 8 b) 510
(FEI - 1967)
Caminhando sempre para a direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras se pode ir do ponto A até a reta BC? a) 8 b) 64 c) 256 d) 1024 e) 2048
(C)
(FGV - 1976) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, a peça (2, 5) é também a peça (5, 2). Se em cada metade podem aparecer desde nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é:
a) b) c) d) e)
(E)
(ITA - 1990) Considere a reta mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta intercepta os eixos coordenados. Então a distancia do ponto à reta é:
a) b) c) d) e)
(B)
(FUVEST - 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é:
a) 200 b) 204 c) 208 d) 212 e) 220
Alternativa D
Resolução:
Na figura, os pontos F, G, H e I são evidentemente colineares e, como tal, não podem formar triângulos entre si. O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos. Os pontos X, Y, W e Z são TAMBÉM colineares e não podem formar triângulos entre si. O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos. O número de combinações de 12 pontos tomados três a três para formar triângulos é . Então o número de triângulos com vértices nos pontos da figura é: