Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(ITA - 2004) Seja $\;x\in\mathbb{R}\;$ e a matriz $\; A = \begin{bmatrix} 2^{\large x} & (x^2 + 1)^{-1} \\ 2^{\large x} & log_2 5 \end{bmatrix}$. Assinale a opção correta:
a)
$\forall \; x \in \mathbb{R}$, $A$ possui inversa.
b)
Apenas para $ x > 0$, $ A $ possui inversa.
c)
São apenas dois os valores de $x$ para os quais $A$ possui inversa.
d)
Não existe valor de $x$ para o qual $A$ possui inversa.
e)
Para $x = log_2 5$, $A$ não possui inversa.

 



resposta: (A)
×
(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada $n \times n, \; n \geqslant 2\;$:
I.
O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
II.
Se $\;A = (a_{ij})\;$ é tal que $\;a_{ij}\,=\,0\;$ para $\;i\,>\,j\;$, com $\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$, então $\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$.
III.
Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por $\; \sqrt{2} \, + \, 1\; $ e a segunda por $\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então $\;det B\, =\, det A\;$.
Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a)
apenas II.
b)
apenas III.
c)
apenas I e III.
d)
apenas II e III.
e)
todas.

 



resposta: (D)
×
(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos $\;(x,y)\;$ do plano que satisfazem a equação:

$ det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 288 \;$ .

a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.

 



resposta: alternativa C
×
(ITA - 2012) Sejam $\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e $\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$, em que $\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que $\;(1 + i)^n\;$ é real. Então $\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:
a)
$\;\sqrt{3}\;+\;i\phantom{X}\;$.
b)
$\;2(\sqrt{3}\;+\;i)$.
c)
$\;2(\sqrt{2}\;+\;i)$.
d)
$\;2(\sqrt{2}\;-\;i)$.
e)
$\;2(\sqrt{3}\;-\;i)$.
 
 

 



resposta: (B)
×
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com ${\large\phantom{X}a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a soma dos elementos da 1ª linha de $\;A\;$ vale:
a)
15
b)
18
c)
24
d)
20
e)
12

 



resposta: alternativa C
×
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a matriz transposta de A , também indicada por $\;A^t\;$, é:
a)
$\;\begin{pmatrix} 5& 8& 11 \\ 6& 9& 12 \end{pmatrix}\;$
b)
$\;\begin{pmatrix} 5& 8& 11 \\ 7& 10& 13 \end{pmatrix}\;$
c)
$\;\begin{pmatrix} 5& 7 \\ 8& 10 \\ 11& 13 \end{pmatrix}\;$
d)
$\;\begin{pmatrix} 5& 6 \\ 8& 9 \\ 11& 12 \end{pmatrix}\;$
e)
$\;\begin{pmatrix} 2& 3& 4 \\ 3& 4& 5 \end{pmatrix}\;$

 



resposta: (C)
×
(PUC) A matriz A de ordem $\;2\times 3\;$ definida por $\;{\large a_{ij}}\,=\,i\centerdot j\;$ é dada por:
a)
$\;\begin{pmatrix} 2& 4& 6 \\ 1& 2& 3 \end{pmatrix}\;$

b)
$\;\begin{pmatrix} 1& 2& 6 \\ 2& 4& 12 \end{pmatrix}\;$
c)
$\;\begin{pmatrix} 1& 2& 3 \\ 2& 4& 6 \end{pmatrix}\;$
d)
$\;\begin{pmatrix} 1& 1& 1 \\ 1& 2& 3 \end{pmatrix}\;$
e)
$\;\begin{pmatrix} -2& -4& -6 \\ -1& -2& -3 \end{pmatrix}\;$

 



resposta: alternativa C
×
(UFBA) A matriz $\;\; 2\times3\;\;$, com $\left\{\begin{array}{rcr} {\large a_{ij}}\,=\,2i\,-\,j\;&\text{, se }\;i\,\neq\,j \\{\large a_{ij}}\,=\,i\,+\,j\;\;&\text{, se }\;i\,=\,j \\ \end{array} \right.\;\phantom{X}$, é:
a)
$\;\begin{pmatrix} \phantom{X}2& 0 \\ -3& 4 \\ -1& 1 \end{pmatrix}\;$

b)
$\;\begin{pmatrix} 2& 3 \\ 0& 4 \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;$
c)
$\;\begin{pmatrix} 2& 3 \\ 0& 4 \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;$
d)
$\;\begin{pmatrix} 2& 0& -1 \\ 3& 4& \phantom{X}1 \end{pmatrix}\;$
e)
$\;\begin{pmatrix} \phantom{X}2& 0& -1 \\ -3& 4& \phantom{X}1 \end{pmatrix}\;$

 



resposta: alternativa D
×
(UBERABA) Se $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$ é a matriz quadrada de ordem 2, tal que $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,{\large (\;i\,)^j}\;,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - i\,,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - j\, \in\,\,\lbrace\,1\,;\,2\,\rbrace\phantom{X}$, então:
a)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 1 \\ 2& 4 \end{bmatrix}$

b)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 1& 4 \end{bmatrix}$
c)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 2& 4 \end{bmatrix}$
d)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 2& 1 \end{bmatrix}$
e)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}$

 



resposta: alternativa A
×
(MED JUNDIAÍ) A matriz transposta da matriz quadrada $\;A\,=\,({\large a_{ij}})\;$ de ordem 2 com $\;{ \large a_{ij}}\,=\,{\large i^j}\,+\,2\;\;,$ $\;1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,2\;\;,$ $\;1\,\leqslant\,j\leqslant\,2 \phantom{X}$, é:
a)
$\begin{bmatrix} 2& 4 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$
b)
$\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$
c)
$\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 3& 6 \end{bmatrix}$
d)
$\begin{bmatrix} 3& 3 \\ 6& 4 \end{bmatrix}$
e)
$\begin{bmatrix} 2& 3 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$

 



resposta: (C)
×
(UBERABA) A matriz transposta da matriz $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$, de tipo $\,3\times 2\,$, onde $\phantom{X}a_{ij}\,=\,2i\,-\,3j\phantom{X}$, é igual a:
a)
$\begin{pmatrix} -1& -1& -3 \\ -4& -2& 0 \end{pmatrix}$
b)
$\begin{pmatrix} -1& 1& 3 \\ -4& -2& 0 \end{pmatrix}$
c)
$\begin{pmatrix} 1& 1& 3 \\ -4& -2& 0 \end{pmatrix}$
d)
$\begin{pmatrix} 3& 1& -1 \\ 0& -2& -4 \end{pmatrix}$
e)
$\begin{pmatrix} 3& -1& 1 \\ 0& 2& -4 \end{pmatrix}$

 



resposta: (B)
×
(MED ABC) Se $\phantom{X}A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 3& 2 \\ 4& 3 \end{bmatrix}\phantom{X}$ e $\phantom{X} B\,=\,\begin{bmatrix} 2& 0 \\ 1& 2 \\ 2& 2 \end{bmatrix}\phantom{X}$ então $\,A\,+\,B\,$ resultará:
a)
$\begin{bmatrix} 3& 2 \\ 4& 4 \\ 6& 5 \end{bmatrix}$

b)
$\begin{bmatrix} 3& 2 \\ 4& 0 \\ 6& 1 \end{bmatrix}$
c)
$\begin{bmatrix} 3& 4& 6 \\ 2& 4& 5 \end{bmatrix}$
d)
$\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 4& 4 \\ 5& 6 \end{bmatrix}$
e)
nenhuma das
alternativas
anteriores

 



resposta: alternativa A
×
(PUC) Da equação matricial
$\phantom{X}\begin{bmatrix} x& 1 \\ 1& 2 \end{bmatrix} \;+\;\begin{bmatrix} 2& y \\ 0& -1 \end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix} 3& 2 \\ z& t \end{bmatrix}\phantom{X}$ resulta:

a)
x = y = z = t = 1
b)
x = 1 , y = 2 , z = t = 0
c)
x = 1 , y = 1 , z = 3 , t = 2
d)
x = 2 , y = 0 , z = 2 , t = 3
e)
x = 3/2 , y = 2 , z = 0 , t = -2

 



resposta: alternativa A
×
Resolver a equação $\phantom{X}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 2& x \\ \negthickspace -1\;& y \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 2& \negthickspace-1\; \\ \negthickspace-1\;& 3 \end{pmatrix}$

 



resposta: (x;y)=(-1;3)
×
(UFBA) Dadas as matrizes $\phantom{X}A\;=\;\begin{pmatrix} 2& \negthickspace -1\; \\ 3& 2 \end{pmatrix} \phantom{X}$ e$\phantom{X}B\;=\;\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \phantom{X}$, o valor de $\;2B\,-\,{\large \frac{1}{2}}A\;$ é:

a)
$\,\begin{pmatrix} 1& \negthickspace -{\large\frac{1}{2}}\; \\ {\large\frac{3}{2}}& 1 \end{pmatrix}\,$

b)
$\,\begin{pmatrix} 1& \negthickspace -{\large\frac{1}{2}}\; \\ \negthickspace -{\large\frac{3}{2}}\;& 3 \end{pmatrix}\,$
c)
$\,\begin{pmatrix} 1& \negthickspace {\large\frac{1}{2}} \\ \negthickspace -{\large\frac{3}{2}}\;& 1 \end{pmatrix}\,$
d)
$\,\begin{pmatrix} \negthickspace -1\;& {\large\frac{1}{2}}\; \\ \negthickspace -{\large\frac{1}{2}}\;& 3 \end{pmatrix}\,$
e)
$\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ \negthickspace -3\;& 3 \end{pmatrix}\,$

 



resposta: alternativa C
×
Dada a matriz $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})_{2\times2}\phantom{X}$ tal que $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,3i\,-\,j\phantom{X}$, calcule $\;X\,=\,A^{\large t}\,+\,2A\,$.

 



resposta: Resolução:
$\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})_{2\times2}\phantom{X} \Longleftrightarrow \phantom{X} A\,=\,\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$
portanto:
I.
$\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,3i\,-\,j\;$
$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} a_{11}\,=\,3 \centerdot 1\,-\,1\,=\,2 \\ a_{12}\,=\,3 \centerdot 1\,-\,2\,=\,1 \\ a_{21}\,=\,3 \centerdot 2\,-\,1\,=\,5 \\ a_{22}\,=\,3 \centerdot 2\,-\,2\,=\,4 \\ \end{array} \right. \;$
$\Longleftrightarrow \;A\,=\,\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 5& 4 \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow \;A^t\,=\,\begin{pmatrix} 2& 5 \\ 1& 4 \end{pmatrix}$
II. Vamos subtituir $\,A\,$ e $\,A^t\,$ em $\,X\,=\,A^t\,+\,2A\,$
$X\,=\,\begin{pmatrix} 2& 5 \\ 1& 4 \end{pmatrix}\;+\;2\centerdot\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 5& 4 \end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow$
$\Longleftrightarrow$
$X\,=\,\begin{pmatrix} 2& 5 \\ 1& 4 \end{pmatrix}\;\;+\;\;\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 10& 8 \end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow$
$\Longleftrightarrow$
$X\,=\,\begin{pmatrix} 6& 7 \\ 11& 12 \end{pmatrix}$

Resposta:$\,X\,=\,\begin{pmatrix} 6& 7 \\ 11& 12 \end{pmatrix}$

×
Resolva a equação $\phantom{X}(X\,+\,A)^{\large t}\,=\,C\phantom{X}$ sabendo-se que:
$\phantom{XX}A\,=\,\begin{pmatrix} 1& 3& 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix}\phantom{X}$ e $\phantom{X}C\,=\,\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 2& \negthickspace -3\; \\ 1& 2 \end{pmatrix}$

 



resposta: Resolução:
$\phantom{XX}(X\,+\,A)^{\large t}\,=\,C\;\Leftrightarrow\;X\,+\,A\,=\,C^{\large t}\;\Leftrightarrow\;X\,=\,C^{\large t}\,-\,A$
Se
$\phantom{X}C\,=\,\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 2& \negthickspace -3\; \\ 1& 2 \end{pmatrix}\phantom{X} \Longleftrightarrow \phantom{X}C^{\large t} \,=\,\begin{pmatrix} 1& 2& 1 \\ 0& \negthickspace -3\;& 2 \end{pmatrix}\phantom{X}e\phantom{x}A\,=\,\begin{pmatrix} 1& 3& 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix}$
Então
$\phantom{X}X\,=\,\begin{pmatrix} 1& 2& 1 \\ 0& \negthickspace -3\;& 2 \end{pmatrix}\;-\;\begin{pmatrix} 1& 3& 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow$
$\Longleftrightarrow$
$\phantom{X}X\,=\,\begin{pmatrix} 0& \negthickspace -1\;& 0 \\ \negthickspace -2\;& \negthickspace -4\;& \negthickspace -2\; \end{pmatrix}\,$

×
(ITA - 1979) Sejam A , B , C matrizes reais 3 × 3 , satisfazendo as seguintes relações $\phantom{X}AB\,=\,C^{\large -1}\phantom{X}$,$\phantom{X}B\,=\,2A\phantom{X}$. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ?
a)
1/16
c)
1/4
b)
1/8
d)
8
e)
4

 



resposta: Resolução:
$\left\{\begin{array}{rcr} AB\,=\,C^{\large -1}& \\ B\,=\,2A\phantom{XX}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(AB)}\,=\,\operatorname{det}{(C^{\large -1})}& \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,\operatorname{det}{(2A)}\;\;\phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(B)}\,=\,\frac{1}{{\large \operatorname{det}{(C)}}}& \;(I) \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,2^{\large 3}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(A)}\;\;\phantom{XX}& \;(II) \\ \end{array} \right.$
Vamos fazer a substituição de (II) em (I)
$\,\operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,2^{\large 3}\operatorname{det}{(A)}\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}\;\Leftrightarrow\;8(\operatorname{det}{(A)})^2\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}$
Se $\;\operatorname{det}{(C)}\,=\,32\;$ segue que:
$(\operatorname{det}{(A)})^{\large 2}\,=\,\frac{1}{\large 8\,\centerdot\,32}\;\Leftrightarrow\; \boxed{\;|\operatorname{det}{(A)}|\,=\,\frac{1}{\large 16}\;}$
Resposta: alternativa A

×
(ITA - 1990) Considere a matriz $\phantom{X} A\,=\,\begin{bmatrix} \operatorname{sen}x& 2 \\ \operatorname{log_3}10 & 2 \operatorname{sen}x \end{bmatrix} \phantom{X}$ onde $\,x\,$ é real. Então podemos afirmar que:
a)
$\,A\,$ é inversível apenas para x > 0.
b)
$\,A\,$ é inversível apenas para x = 0.
c)
$\,A\,$ é inversível qualquer x.
d)
$\,A\,$ é inversível apenas para x da forma (2k + 1)π, k inteiro.
e)
$\,A\,$ é inversível apenas para x da forma 2kπ, k inteiro.

 



resposta: alternativa C
×
(ITA - 1990) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = $\,A^t\,$, onde $\,A^t\,$ é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que:
a)
C é inversível e $\,det C\,=\,det(AB)^{-1}\,$
b)
C é inversível e $\,det C\,=\,det(A)^{2}\centerdot det B$
c)
C não é inversível pois $\,det C\,=\,0\,$
d)
C é inversível e $\,det C\,=\,\dfrac{detA}{det B}\,$
e)
C é inversível e $\,det C\,=\,det B\,$

Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada X.


 



resposta: (A)
×
(PUC) A matriz $\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2
com$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:
a)
1
b)
2
c)
4
d)
5
e)
6

 



resposta: Alternativa E
×
(ABC) Sejam as matrizes $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e $\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$
Se o determinante de $\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:
a)
$\;ab + cd = 0\;$
b)
$\;a = 0\;$ e $\;b = 0\;$
c)
$\;ad - bc = 0\;$
d)
$\;a + c = 0\;$ e $\;b + d = 0\;$
e) $\;a = b = c = d = 0\;$

 



resposta: Alternativa C
×
(UFG) Se $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de $\,{\large \lambda}\,$, tais que o determinante da matriz $\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:
a)
somente $\,{\large \lambda}\,=\,0\,$
b)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
c)
qualquer que seja $\,{\large \lambda}\,$ real
d)
$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
e)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,4\,$

 



resposta: Alternativa E
Resolução:
$\,I_2\,$ é representação da matriz identidade de ordem 2, a saber $\;\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$.
$\,A^{\large 2}\,= \;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\,\centerdot\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 1+1& 1+1\; \\ 1+1& 1+1 \end{pmatrix}\phantom{X}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}$
$\,{\large \lambda}I_2\;=\;{\large \lambda}\centerdot\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;=\;$ $\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\;$
Então
$\,A^2 \,-\,\lambda I_2\;=\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}\, - \,\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\,=$ $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}$
O determinante de $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}\,$ é $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,2^{\large 2}\,=$ $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,4\,=\,0\Rightarrow\;$ $\,2^2\,-\,4{\large \lambda}\,+\,{\large \lambda}^2\,-\,4\,=\,0\;\Rightarrow\;$ ${\large \lambda}^2\,-\,4{\large \lambda}\,=\,0\;\Rightarrow\,$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} &{\large \lambda}\,=\,0\;\mbox{ ou } \\ &{\large \lambda}\,=\,4\phantom{XX} \\ \end{array} \right.\,$
×
(SANTA CASA - 1982) Seja a matriz quadrada $\,A\,=\,(a_{\large ij})\,$ de ordem 2, tal que:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{cos}\dfrac{\pi}{2i\,-\,j}\, & \mbox{, se } i\,=\,j \\ \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{i\,+\,j}\;\; & \mbox{, se } i\,\neq\,j \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:
a)
$\,\dfrac{3}{4}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{4}\,$
c)
$\,0\,$
d)
$\,-\dfrac{1}{4}\,$
e)
$\,-\dfrac{3}{4}\,$

 



resposta: Alternativa E
×
O conjunto solução de $\phantom{X}\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & x\; \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}}\;=\;\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}\phantom{X}$ é:
a)
$\,\lbrace\,x\,\in \,\mathbb{R}\,\vert\,x\,\neq\,1\,\rbrace\,$
b)
$\,\lbrace\,0,\;1\,\rbrace\,$
c)
$\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$
d)
$\,\lbrace\,-1\,\rbrace\,$
e)
$\,\lbrace\,0\,\rbrace\,$

 



resposta: Alternativa E
×
A sentença $\,\begin{vmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{vmatrix}\;+\;\begin{vmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{vmatrix}\;=\;\begin{vmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{vmatrix}$
a)
é equivalente a $\,\begin{pmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{pmatrix}$
b)
só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,$ não ambos nulos.
c)
só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,=\,0\,$
d)
nunca é verdadeira
e)
é equivalente a $\,x\,=\,y\,$

 



resposta: (E)
×
O produto da matriz $\phantom{X}A\,=\,\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & y \end{pmatrix}\phantom{X}$ pela sua transposta é a identidade. Determine $\,x\,$ e $\,y\,$ sabendo que $\,detA\,>\,0\,$

 



resposta: $\,(x,y)\,=\,\left(\,-\dfrac{4}{5}\,;\,\dfrac{3}{5}\,\right)\,$
×
Se $\;I\,=\,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \phantom{X}$ e $\phantom{X}A\,=\,\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \;$ então a solução da equação $\;X\,+\,5\centerdot A\,=\,A^{\large 2}\,+\,2\centerdot I\;$ é:
a)
$\,X\,=\,3\centerdot I\;$
b)
$\,X\,=\,2\centerdot I\;$
c)
$\,X\,=\,-2\centerdot I\;$
d)
$\,X\,=\,I\;$
e)
$\,X\,=\,-3\centerdot I\;$

 



resposta: Alternativa E
×
Resolver pela "regra de Cramer" o sistema:$\,\left\{\begin{array}{rcr} \;\;x\,+\phantom{X}y\,+\,2z\,=\,9\;& \\ \;\;x\,+\;2y\,+\,\;\;z\,=\,8\;& \\ 2x\,+\phantom{X}y\,+\;\;z\,=\,7\;& \\ \end{array} \right.\,$

 



resposta:
Resolução:
Passo 1:
Calcular o valor do determinante D da matriz 3x3 formada pelos coeficientes de x, y e z
$\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\; \\ 1 & 2 & 1 \; \\ 2 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
Passo 2:
2a. Calcular o valor do determinante Dx da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de x por uma coluna com os termos independentes
$\;D_x\;=\,\begin{vmatrix} 9 & 1 & 2\; \\ 8 & 2 & 1 \; \\ 7 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
2b. Calcular o valor do determinante Dy da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de y por uma coluna com os termos independentes
$\;D_y\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 9 & 2\; \\ 1 & 8 & 1 \; \\ 2 & 7 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-8$
2c. Calcular o valor do determinante Dz da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de z por uma coluna com os termos independentes
$\;D_z\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 9\; \\ 2 & 2 & 8 \; \\ 2 & 1 & 7 \;\end{vmatrix}\;=\;-12$
Passo 3:
(calcular x)
$\;x\,=\,\dfrac{D_x}{D}\,=\,\dfrac{-4}{-4}\,=\,1\;$
(calcular y)
$\;y\,=\,\dfrac{D_y}{D}\,=\,\dfrac{-8}{-4}\,=\,2\;$
(calcular z)
$\;z\,=\,\dfrac{D_z}{D}\,=\,\dfrac{-12}{-4}\,=\,3\;$
V = {(1, 2, 3)}

×
Sendo
$\phantom{X}M\;=\;\begin{pmatrix} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{pmatrix} \,$;
$\phantom{X}A\;=\;\begin{pmatrix} 2m & 2n & 2p \\ 3a & 3b & 3c \\ x & y & z \end{pmatrix} \,$

$\phantom{X}B\,=\,2M\phantom{X}$ e $\phantom{X}detM\,=\,5\phantom{X}$ calcular:

a) $\,detA\,$b) $\,detB\,$


 



resposta: a)detA = -30; b)detB = 40
×
Veja exercÍcio sobre:
matrizes e determinantes
matrizes
determinantes
matriz
determinante