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Calcular a 4a determinação negativa do arco de 810o

 



resposta: -1350o
×
Calcular a terceira determinação positiva do arco de 1910o.

 



resposta: 830o
×
Calcular a primeira determinação positiva (a0) dos seguintes arcos:
a)
1620o
b)
$\,125\dfrac{\;\pi\;}{11}\,$
c)
-810o
d)
$\,-97\dfrac{\;\pi\;}{7}\,$

 



resposta:
a)
ao = 180o
b)
ao=$\,15\frac{\pi}{\,11\,}\,$
c)
ao=270o
d)
ao=$\,\frac{\pi}{\,7\,}\,$

×
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,-\frac{\,2\,}{3}x\,+\,\frac{\,8\,}{3}\,& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.\,$

a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.
eixo x0y quadriculado
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

 

d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

 

e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

 

f)
Calcule os zeros das funções citadas.

 


 



resposta: a)
funções f(x) afim e g(x) afim resposta

×
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,3\phantom{XXX}& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\;& \\ \end{array} \right.\,$
a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.
eixo x0y quadriculado
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

 

d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

 

e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

 

f)
Calcule as raízes de cada uma das funções citadas. .

 


 



resposta: a)
funções f(x) e g(x) resposta

×
Dados os gráficos das funções $\phantom{X}f,\;g\phantom{X}$ e $\phantom{X}h\phantom{X}$ definidas em $\,{\rm I\!R}\,$. Determinar os valores de $\,x \in {\rm I\!R}\,$, tais que:
a)
$\,f(x)\;\gt\;g(x)\,$
b)
$\,g(x)\;\leqslant\;h(x)\,$
c)
$\,f(x)\;\geqslant\;h(x)\,$
d)
$\,g(x)\;\gt\;4\,$
e)
$\,f(x)\;\leqslant\;0\,$
funções f, g e h no quadriculado

 



resposta: a) x > 2 b) x $\geqslant$ 0 c) ∄ x ∈ R d) x < -2 e) x $\leqslant$ 3
×
Sejam as funções $\,f(x)\,=\,2x\,+\,3\;$, $\phantom{X}g(x)\,=\,2\,-\,3x\phantom{X}$ e $\phantom{X}h(x)\,=\,\dfrac{\,4x\,-\,1\,}{2}\phantom{X}$ definidas em $\,{\rm I\!R}\,$. Para que valores de $\,x\;\in\;{\rm I\!R}\,$, tem-se:
a)
$\,f(x)\,\geqslant\,g(x)\,$?
b)
$\,g(x)\,\lt\,h(x)\,$
c)
$\,f(x)\,\geqslant\,h(x)\,$

 



resposta:
a)
$\,x\,\geqslant\,\frac{\,-1\,}{5}\,$;
b)
$\,x\,\gt\,\frac{1}{2}\,$;
c)
$\,\forall\,x\,\in\,{\rm I\!R}$

×
Para que valores de $\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,$ a função $\,f(x)\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;-\;\dfrac{\;x\;}{2}\phantom{X}$ é negativa?

 



resposta: x > 4/3
×
Para que valores do domínio da função de de $\,{\rm I\!R}\,$ em $\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\,f(x)\;=\;\dfrac{\;3x\,-\,1\;}{2}\phantom{X}$ a imagem é menor que 4 ?

 



resposta: x < 3
×
Seja a função de $\,{\rm I\!R}\,$ em $\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\,f(x)\,=\,4x\,-\,5\,$. Determine os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.

 



resposta: x > 7/4
×
Estudar os sinais das funções definidas em $\; {\rm I\!R}\;$:
a)
$\,y\;=\;2x\;+\;3\,$
b)
$\,y\;=\;-3x\;+\;2\,$
c)
$\,y\;=\;4\;-\;x\,$
d)
$\,y\;=\;5\;+\;x\,$
e)
$\,y\;=\;3\;-\;\dfrac{\;x\;}{2}\,$
f)
$\,y\;=\;\dfrac{\;x\;}{3}\;+\;\dfrac{\;3\;}{2}\,$
g)
$\,y\;=\;2x\;-\;\dfrac{\;4\;}{3}\,$
h)
$\,y\;=\;-x\,$

 



resposta:
×
Estudar os sinais das funções cujos gráficos estão representados abaixo
a)
gráfico da função f(x) sinuosa
b)
gráfico da função sinuosa g(x)
c)
gráfico da função sinuosa h(x)

 



resposta:
a)
$\,f(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-5\;$ ou $\;x\;=\;2\;$ ou $\;x\;=\;6\;\,$
$\,f(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\lt\;-5\;$ ou $\;-3\;\lt\;x\;\lt\;2\;$ ou $\;x\;\gt\;6\;\,$
$\,f(x)\;\lt\;0\;\Longleftrightarrow\;-5\;\lt\;x\;\lt\;-3\;$ ou $\;2\;\lt\;x\;\lt\;6\;\,$
b)
$\,g(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-3\;$ ou $\;x\;=\;-1\;$ ou $\;x\;=\;3\;\,$
$\,g(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;-3\;\lt\;x\;\lt\;-1\;$
$\,g(x)\;\lt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\lt\;-3\;$ ou $\;x\;\gt\;-1\;{\text e}\;x\;\neq\;3\,$
c)
$\,h(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-2\,$
$\,h(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\neq\;-2\;$

×
Estudar, segundo os valores do parâmetro $\,m\,\in\,{\rm I\!R}$, a variação (crescente, decrescente, constante) das funções abaixo:
a)
$\,y\,=\,(m\,+\,2)x\,-\,3\,$
b)
$\,y\,=\,(4\,-\,m)x\,+\,2\,$
c)
$\,y\,=\,4\,-\,(m\,+\,3)x\,$
d)
$\,7\,=\,m(x\,-\,1)\,+\,3\,-\,x\,$

 



resposta:
×
Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em $\,{\rm I\!R}\,$:
a)
y = 1 + 5x
b)
y = -3 - 2x
c)
y = x + 2 
d)
y = 3 - x
e)
y = -2x   
f)
y = 3x

 



resposta:
a)
crescente
b)
decrescente
c)
crescente
d)
decrescente
e)
decrescente
f)
crescente

×
Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cone equilátero circunscrito a uma esfera de raio $\,r\,$.
esfera inscrita num cone equilátero

 



resposta: $\,A_{\text lat}\,=\,6\,\pi\,r^2\,$; $\,A_{\text total}\,=\,9\,\pi\,r^2\,$; $\,V_{\text olume}\,=\,3\,\pi\,r^3\,$
×
Na figura seguinte:
$\,\overline{PP'}\,$ é diâmetro da esfera de centro $\,O\,$, $\;M\,$ é o centro de uma secção plana perpendicular a $\,\overline{PP'}\,$. Temos também que $\,\overline{AP}\,=\,6\,cm\;$ e $\,\overline{AP'}\,=\,8\,cm\;$. Calcular a área do círculo de centro $\,M\,$.
esfera e secção plana

 



resposta: resposta
×
(FUVEST - 2002) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado lado $\,4\,$ cm e altura $\,20\sqrt{\,3\,}\;$cm , com $\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\,$ de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo. (Veja a seção lateral abaixo). Determinar a altura h do nível da água em relaçao ao solo.
paralelepípedo tombado

 



resposta: h = 21 cm
×
(FUVEST - 2002) Determine as soluções da equação$\phantom{X}(2\operatorname{cos^2}\,x\;+\;3\operatorname{sen}\,x)(\operatorname{cos^2}\,x\;-\;\operatorname{sen^2}\,x)\,=\,0\phantom{X}$que estão no intervalo $\phantom{X}\left[0, 2\pi\right]\phantom{X}$

 



resposta: $\,\lbrace\,\frac{\,\pi\,}{4}\,,\,\frac{\,3\pi\,}{4},\,\frac{\,5\pi\,}{4},\,\frac{\,7\pi\,}{4},\,\frac{\,7\pi\,}{6},\,\frac{\,11\pi\,}{6}\,\rbrace\,$
×
(FUVEST - 2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m , onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:
a) o valor de m ;
b) as raízes desse polinômio.

 



resposta: a) m = 2; b) raízes $\,1\,-\,\sqrt{3},\,1\,e\,1\,+\,\sqrt{3}\,$
×
(FUVEST - 1998) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
a)
Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cincos pontos extras.
b)
Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

 



resposta: a) 72,2 b) 3
×
(FUVEST - 2001) Um dado, cujas faces estão numeradas de um a seis, é dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja:
a) par;
b) múltiplo de 10.

 



resposta: a) 7/8 b) 1/3
×
(FUVEST - 2001) Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento $\,\overline{BC}\,$, cujas distâncias a $\,\overline{AC}\,$ e $\,\overline{AB}\,$ são ambas iguais a d , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d .
cilindro

 



resposta: d/2
×
(FUVEST - 2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices.
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.

 



resposta: a) $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$; $\,-i\,$; $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$;
b) 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1
×
(FUVEST - 1998) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma ângulo de 60°.
quadrilátero irregular
a)
Indicando por $\,\hat{A}\,$, $\,\hat{B}\,$, $\,\hat{C}\;$ e $\;\hat{D}\,$, respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices $\,A, B, C \;$ e $\;D\,$, calcule $\,\hat{A}\, + \,\hat{B}\;$ e $\;\hat{C}\, + \,\hat{D}\,$.
b)
Sejam $\,J\,$ o ponto médio de $\,\overline{DC}\,$, $\,M\,$ o ponto médio de $\,\overline{AC}\,$ e $\,N\,$ o ponto médio de $\,\overline{BD}\,$. Calcule $\,JM\,$ e $\,JN\,$.
c)
Calcule a medida do ângulo $\,M\hat{J}N\,$.

 



resposta: a) $\,\hat{A} + \hat{B} = 120^o\,$ e $\,\hat{D} + \hat{C} = 240^o\,$
b) JM = 1 e JN = 1
c) ⊾MJN = 60°
×
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
cubo de aresta 1

 



resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$
b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$
c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD)
×
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