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Demonstrar que, num paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da soma das medidas das arestas é igual à soma do quadrado da diagonal com a área total.

 



resposta: demonstração.
Nesse caso o paralelepípedo é chamado RETO RETÂNGULO:
RETO significa: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

As faces laterais de todo prisma reto são sempre retângulos

.
RETÂNGULO significa: suas bases são retângulos. Poderia ser chamado retangular.

Observação importante: Se você ainda não viu como calcular a diagonal de um paralelepípedo retangular reto veja este exercício sobre diagonal do prisma retangular reto.

prisma reto retangular
Resolução:

Queremos provar que a soma das medidas das arestas é igual ao quadrado da diagonal somado à área total.

diagonal do prisma reto retânguo D
Hipótese:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{prisma reto retangular} & \\ \mbox{dimensões }\,a,\, b \mbox{ e }c\phantom{XX}\; &\\ \mbox{diagonal }\,D\phantom{XXXXX}\;\, & \\ \mbox{área total }\,A_{\large t}\phantom{XXXXX} & \end{array} \right.\,$
Tese:
$\,\lbrace(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\;$
1.$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,+\,c^2\,+\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\;\Rightarrow\phantom{XX}$(I)
2.$\,D\,=\,\sqrt{a^2\,+\,b^2\,+\,c^2}\phantom{XX}$(II)
3.$\,A_{\large t}\,=\,2(ab\,+\,bc\,+\,ac)\,=\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\phantom{XX}$(III)
então substituindo em (I) as assertivas (II) e (III) temos que:
$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\, $

c.q.d.


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