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(PUC PR) Se $\,f(x)\,=\,sen\,x\,,\;\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,$, então:
a)
$\;0\,\lt\,f(6)\,\lt\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
b)
$\;-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,0\;$
c)
$\;-1\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
d)
$\;\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
e)
$\;\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$

 



resposta: (B)
×
Traçar o gráfico da função f(x) = 1 + sen 2x .
plano xOy quadriculado

 



resposta:
gráfico da função 1 mais seno de 2x

×
Com relação à função $ \,f:\,{\rm\,I\!R}\,\rightarrow\,{\rm\,I\!R}\, $ definida por $ \phantom{X}f(x)\,=\,1\,+\,sen\,3x\phantom{X} $ forneça:

a) o conjunto imagem
b) o período


 



resposta: a)
O valor do seno varia entre -1 e 1, inclusive.
Então o seno de 3x também varia entre -1 e 1.
$\phantom{X}\;-1\;\leqslant\;sen\;3x\;\leqslant\;1\phantom{X}\;$
Vamos somar 1 a cada membro da expressão acima:
$\phantom{X}\;0\;\leqslant\;1\;+\;sen\;3x\;\leqslant\;2\phantom{X} $
$\phantom{X}\;0\;\leqslant\;f(x)\;\leqslant\;2\phantom{X} $
Como f(x) varia entre 0 e 2 (inclusive), o conjunto imagem é $\,Im\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\,\rbrace\,$ ou
Im = [0,2]
b)
Um arco 3x executa uma volta completa no ciclo trigonométrico quando o valor de 3x varia entre 0 e 2π .
$\phantom{X} 0\;\leqslant\;3x\;\leqslant\;2\pi\phantom{X}\Rightarrow$ $\phantom{X} 0\;\leqslant\;x\;\leqslant\;\dfrac{\;2\pi\;}{3}\phantom{X}$
Então um período da função inicia-se em 0 e termina em $\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\,$.
$\phantom{X} p\,=\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\,-\,0\,=\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\phantom{X}$
×
Calcular cos(a + b), sendo dado sen a = -3/5 e cos b = 1/3 ,
sendo que a e b estão no intervalo $\phantom{X}\left]\,\dfrac{\,3\,\pi\,}{2}\,;\,2\pi\,\right[\phantom{X}$

 



resposta:
Lembramos que cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
Então:
Passo 1 - Calcular o cos a
$\,cos\,a\,=\,+\,\sqrt{\,1\,-\,sen^2\,a\,}\,=\,\dfrac{\,4\,}{5}\,$
Passo 2 - Calcular o sen b
$\,sen\,b\,=\,-\,\sqrt{\,1\,-\,cos^2\,b\,}\,=\,\dfrac{\,-\,2\,\sqrt{\,2\,}\,}{3}\,$
Passo 3 - Calcular o cos (a + b)
$\,cos\,(a\,+\,b)\,=\,cos\,a\,\centerdot\,cos\,b\,-\,sen\,a\,\centerdot\,sen\,b\,=$ $\dfrac{\,4\,}{5} \centerdot \dfrac{\,1\,}{3}\,-\,(-\dfrac{\,3\,}{5})\, \centerdot\,(-\,\dfrac{\,2\,\sqrt{\,2\,}}{3})\,=\,$ $\dfrac{4}{\,15\,} - \dfrac{\,6\,\sqrt{\,2\,}}{15}\,=$
$\boxed{\;\dfrac{\,\,4\,-\,6\sqrt{\,2\,}}{15}\;}\,$
×
Calcular sen 75°.

 



resposta:
Lembramos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Então:
$\,sen\,75^o\,=\,$ $\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=\,$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,cos\,30^o\,+\,cos\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,=\,$ $\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,+\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,\centerdot\,\dfrac{\,1\,}{2}\,\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{4}\,+\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{4}\,$
$\phantom{X}\boxed{\;sen\,75^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,6\,}\,+\,\sqrt{\,2\,}\,}{4}\,}\phantom{X}$
×
No triângulo da figura são conhecidos os ângulos  = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.
triângulo ABC conhecidos os ângulos A, B e o lado c

Pede-se:
a) a medida em graus do ângulo C;
b) a medida em metros dos lados a e b;
c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.


 



resposta:
Resolução:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$

b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$
Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$
$\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$
$\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
$\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$

$\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}}{2}\,}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\, =$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=\,$ $13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel{\sqrt{\,2\,}} }{\cancel{\sqrt{\,2\,}}\,}\,=\,13\,\sqrt{\,3\,}\, m\phantom{X}$

$ \phantom{X}b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\;=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,}{\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}}{\sqrt{\,2\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,} = \dfrac{\,13\,\sqrt{\,6\,}}{2}\; m\phantom{X}$


×
O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110 m e triplica quando se aproxima mais 50 m. Calcular a altura da torre.

 



resposta: 88 m
×
Num triângulo ABC , o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4 , respectivamente. Então:
a) BC < 4
b) BC < 5
c) BC > 7
d) 5 < BC < 7
e) nenhuma das anteriores é correta

 



resposta: (D)
×
Exprimir 1 rad em graus. ( π ≅ 3,14 ) .

 



resposta: 57°19'29''
×
Exprimir 60°15' em radianos. Assuma π ≅ 3,14 .

 



resposta:
Resolução:
Passo 1 - converter 15 minutos em graus.
60°15' = 60° + 15' (I)
mas 1° é o mesmo que 60' , portanto fazemos uma primeira regra de três simples
$\,\left.\begin{array}{rcr} 1^o\,\longrightarrow\,60'\;& \\ x\,\longrightarrow\,15'\;& \\ \end{array} \right\}\,$ $\;\Rightarrow\,x\,=\,\dfrac{\,15'\,\centerdot\,1^o\,}{60'}\,$ $\,\Rightarrow \;x\,=\,0,25^o\;\,$
Então em (I) temos que 60°15' = 60° + 0,25°
Passo 2 - converter 60,25 graus em radianos
Sabendo que 180° é o mesmo que π radianos, fazemos uma segunda regra de três simples:
$\,\left.\begin{array}{rcr} 180^o\,\longrightarrow\,\pi\;& \\ 60,25^o\,\longrightarrow\,y\;& \\ \end{array} \right\}\,$ $\;\Rightarrow\,y\,=\,\dfrac{\,60,25^o\,\times\,3,14\,}{180^o}\,$ $\,\Rightarrow \;y\,=\,1,05\;\,$
Resposta:
$\,\;60^o15'\,\cong\,1,05\,$
×
Exprimir 120° em radianos.

 



resposta:
Resolução:
Sabendo que 180° correspondem a π radianos, escrevemos uma regra de três simples:
$\,\left.\begin{array}{rcr} 180^o\,\longrightarrow\,\pi\;& \\ 120^o\,\longrightarrow\,x\;& \\ \end{array} \right\}\,$ $\;\Rightarrow\,x\,=\,\dfrac{\,120^o\,\centerdot\,\pi\,}{180^o}\,$ $\,\Rightarrow \boxed{\;x\,=\,\dfrac{\,2\pi\,}{\;3\;}\;}\,$
Resposta:$\, \;120^o\,=\,\dfrac{\,2\pi\,}{\;3\;}\,rad\;\,$
×
(FEI MAUÁ) Calcular a distância da origem ao vértice da parábola:$\phantom{X}y\,=\,x^2\,-\,6x\,+\,10\phantom{X}$

 



resposta: $\,d\,=\,\sqrt{\,10\,}\,$
×
Calcular os três ângulos internos de um triângulo $\,ABC\,$ sabendo que a = 2, b = $\,\sqrt{6}\,$ e c = $\,\sqrt{3}\,$ + 1.

 



resposta: $\,\hat{A}\,=\,45^o,\,\hat{B}\,=\,60^o\,e\,\hat{C}\,=\,75^o\,$
×
Um triângulo tem lados a = 10 m , b = 13 m e c = 15 m . Calcular o ângulo $\,\hat{A}\,$ do triângulo.

 



resposta: $\,arc\,cos\dfrac{49}{65}\,$
×
(FEI - 1977) Calcular $\phantom{X}c\phantom{X}$, sabendo que:
$\,a\,=\,4\,$
$\,b\,=\,3\sqrt{\,2\,}\,$
$\,\hat{C}\,=\,45^o\,$
triângulo escaleno

 



resposta: $\,c\,=\,\sqrt{10}\,m\,$
×
Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo de 120° . Calcular o terceiro lado.

 



resposta: $\,4\sqrt{19}\,m\,$
×
Sendo $\,x\,$ um arco do quarto quadrante, qual o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,cossec\,x\,\centerdot\,cossec\,(x\,+\,\pi)\,}{\,cossec\,\left(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\,\centerdot\,cos\,x}\phantom{X}$

 



resposta: negativo
×
Calcule, se existir:
a)
$\,cossec\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$
b)
$\,cossec\,\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,cossec\,\pi\,$
d)
$\,cossec\,4\pi\,$

 



resposta: a)1 b)-1 c)não existe d)não existe
×
Avaliar se são possíveis as seguintes igualdades: a) $\,cossec\,x\,=\,0\phantom{X}$ e b) $\,cossec\,x\,=\,2\,$

 



resposta: a) impossível, não existe b) possível, existe.
×
Avaliar se são possíveis as seguintes igualdades: a) $\,sec\,x\,=\,0\phantom{X}$ e b) $\,sec\,x\,=\,-2\,$

 



resposta: a) impossível, não existe b) possível, existe.
×
Qual é o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,sec\,x\,\centerdot\,tg\,x\,\centerdot\,sen\,x\,\,}{\,cos\,\left(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,}\phantom{X}$, sendo $\,0\,\lt\,x\,\lt\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$

 



resposta: negativo
×
Determine, se existir:
a)
$\,sec\,0\,$
b)
$\,sec\,\pi\,$
c)
$\,sec\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$
d)
$\,sec\,(-\pi)\,$

 



resposta: a)0 b)-1 c)não existe d)-1
×
Sendo $\phantom{X}x\phantom{X}$ um arco do 3º quadrante , qual o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,tg\,\left(\,x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,\centerdot\,cotg\,\left(\,x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,}{\,cotg\,x\,\centerdot\,cotg\,(x\,+\,\pi)\,}\phantom{X}$

 



resposta: positivo
×
Calcule, se existir:
a)
$\,cotg\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$
b)
$\,cotg\,\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,cotg\,4\pi\,$
d)
$\,cotg\,(-4\pi)\,$

 



resposta: a)0 b)0 c)não existe d)não existe
×
a) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação ao  

b) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,x\,-\,\pi\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação à  

c) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,2\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação ao  

d) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação à  


 



resposta: a) imagem de $\,x\,$ - eixo dos senos
b) imagem de $\,x\,$ - origem dos eixos
c) imagem de $\,x\,$ - eixo dos cossenos
d) imagem de $\,x\,$ - reta bissetriz do primeiro quadrante

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