Exercício sobre álgebra

(ITA - 1982) Sabendo-se que o polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,ax^3\,+\,bx^2\,+\,2x\,-\,2\phantom{X}$ é divisível por $\phantom{X}(x\,+\,1)\phantom{X}$ e por $\phantom{X}(x\,-\,2)\phantom{X}$, podemos afirmar que

$\,a\,$ e $\,b\,$ têm sinais opostos e são inteiros.

$\,a\,$ e $\,b\,$ têm o mesmo sinal e são inteiros.

$\,a\,$ e $\,b\,$ têm sinais opostos e são racionais não inteiros.

$\,a\,$ e $\,b\,$ têm o mesmo sinal e são racionais não inteiros,

somente $\,a\,$ é inteiro.

resposta:

P é divisível por (x + 1) ⇔ P(-1) = 0
P é divisível por (x - 2) ⇔ P(2) = 0
$\,{\small \left\{\begin{array}{rcr} P(-1)\,=\,a(-1)^3\,+\,b(-1)^2\,+\,2(-1)\,-\,2\,=\,0\;& \\ P(2)\,=\,a\centerdot 2^3\,+\,b\centerdot 2^2\,+\,2\centerdot2\,-\,2\,=\,0\phantom{XXXX} & \\ \end{array} \right.}\;\Leftrightarrow$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} -a\,+\,b\,=\phantom{X}4& \\ 8a\,+\,4b\,=\,-2& \\ \end{array} \right.\;\Leftrightarrow$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} a\,=\,-\,\dfrac{3}{2}\;& \\ b\,=\phantom{X}\dfrac{5}{2}\;& \\ \end{array} \right.\,$

Conclui-se que $\;a\;$ e $\;b\;$ têm sinais opostos e são racionais não inteiros conforme afirmação (C)
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