Dada uma esfera de raio r , calcular o volume do cilindro equilátero circunscrito.
resposta:
Resolução: O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base. Área da Base = $\,A_B = \pi\,r^2\;$ $\;h\,=\,2r\;$ $\,V\,=\,A_B\,\centerdot\,h\,=\,\pi\,r^2\,\centerdot\,2r\,=\,2\pi\,r^3\,$
A secção meridiana de uma esfera de raio R é equivalente a uma secção menor de uma segunda esfera, distante R do centro. Calcular o raio desta segunda esfera em função de R.
resposta:
Quando um plano α secciona uma esfera e não contém o centro da mesma, a secção determinada será um círculo cujo raio é menor do que o raio da esfera. Essa seção é denominada 'círculo menor esfera'.
Considerações:
No desenho, de acordo com o enunciado, a esfera maior apresenta uma secção plana que dista R do centro da esfera. O círculo menor determinado é equivalente ao círculo de raio R que encontramos na secção meridiana da esfera pequena.
Decorre do Teorema de Pitágoras: $\,x^2\,=\,R^2\,+\,R^2\,$ $\,x\,=\,R\sqrt{\,2\,}\,$
Qual a área da superfície da esfera cuja secção meridiana tem 6 ℼ m² de área?
resposta:
Quando um plano α secciona uma esfera e contém o centro da mesma, a secção será denominada 'círculo máximo da esfera' (seu raio é o mesmo raio da esfera).
Considerações:
O raio da secção meridiana tem medida igual à medida do raio da esfera.
Qual é a área da secção plana feita numa esfera de raio 1 cm , por um plano distante $\,\frac{\;\sqrt{\,2\,}\;}{6}\,$cm do centro da mesma?
resposta:
Veja a figura onde está representado o raio da secção (r), o raio da esfera (R = 1) e a distância entre a secção e o centro da esfera ($\,\frac{\sqrt{2}}{6}\,$).
Aplicando o teorema de pitágoras: $\,R^2\,=\,r^2\,+\,(\frac{\sqrt{\,2\,}}{6})^2\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,1\,-\,(\frac{2}{\,36\,})\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,\frac{\,34\,}{\,36\,}\;=\;\frac{\,17\,}{\,18\,}\;$
O raio da secção plana é $\,r\,=\,\sqrt{\,\frac{17}{18}\;}\,$. Como essa secção tem área circular, então:
Um arquiteto dispôs as poltronas de um anfiteatro em filas. Colocou 6 poltronas na primeira fila, 10 na segunda, 14 na terceira e assim sucessivamente, sempre mantendo essa lei de formação de modo que a última fila tenha 94 poltronas. O número de filas é:
a)
21
b)
23
c)
25
d)
26
e)
27
resposta: (B)
Progressão aritmética, o termo geral $\,a_n\,=\,a_1\,+\,(n\,-\,1)r\,$ $\,94\,=\,6\,+\,(n\,-\,1)4\;\Rightarrow$ $\,(n\,-\,1)4\,=\,88\;\Rightarrow$ $\,n\;-\;1\;=\;22\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;n\,=\,23\;}\,$
Com relação à seguinte sequência:$\phantom{X}(\frac{\,a\,-\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,6\,}{2}\,,\,...\,)\phantom{X}(a\,\in\,{\rm I\!R})\,$, pode-se afirmar que:
Iniciando em 2020 uma competição esportiva que irá se repetir de quatro em quatro anos, pergunta-se, em que ano será realizada esta competição pela quinquagésima vez?
A quinquagésima competição será realizada no ano 2216. ×
(SANTA CASA) A partir da sucessão
1 × 8 =
10 - 2
2 × 8 =
20 - 4
3 × 8 =
30 - 6
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Verifica-se que a sequência (1 × 8 , 2 × 8 , 3 × 8 , ... , n × 8 , ...), onde n ∈ $\,{\rm I\!N}^*\,$, pode ser escrita na forma (a1 - b1, a2 - b2, ... , an - bn, ...). Então an + bn é igual a:
Determine os quatro primeiros termos da sequência definida por $\phantom{X}a_{\large n} = \dfrac{\,n\,-\,1\,}{n^{\large 2}}\, ,\phantom{X}\forall \;n\;\in\;{\rm I\!N}^*$
A sequência é $\,a_n\,=\,(0;\,\frac{1}{4};\,\frac{2}{9};\,\frac{3}{16}\,...\,)$ ×
De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.
(PUCC - 1982) Dada a Progressão Geométrica $\phantom{X}1,\;-\frac{\,\sqrt{\,2\,}}{\,2\,},\;\frac{\;1\;}{\;2\;},\;...\phantom{X}$, determine o seu 11º termo.
De uma P.A. com 10 elementos e razão r = k, vamos retirar o 2º, 3º, 5º, 6º, 8º e o 9º elementos. Os restantes 4 elementos, dispostos na mesma ordem, ainda formam uma P.A.. Qual a razão desta segunda P.A.?
