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Determinar a área total de um octaedro regular inscrito numa esfera de volume igual a 36 ℼ m³ .

 



resposta:
octaedro regular inscrito na esfera
Vesfera = $\,\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\,R^3\;\Rightarrow$

$\,36\,\pi\;=\;\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\,R^3\;\Rightarrow\;R\,=\,3\,m\,$

$\,a^2\,=\,R^2\,+\,R^2\;\Rightarrow$ $\,a^2\,=\,9\,+\,9\;\Rightarrow$ $\,a\,=\,3\sqrt{\,2\,}\;m$

Aface = Atriângulo equilátero = $\,\dfrac{\ell^2\,\sqrt{3\,}}{4}\,=$ $\,\dfrac{\,(3\sqrt{2})^2\,\centerdot\,\sqrt{\,3\,}}{4}\,=\,\dfrac{\,9\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,m^2$

$\,A_{\text TOTAL}\;=\;8\,\centerdot\,A_{\text face}\,=$ $\,\dfrac{\,8\,\centerdot\,9\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\, =\,36\sqrt{\,3\,}\;m^2$

ATOTAL = $\,36\sqrt{\,3\,}\;m^2$
×
Dada uma esfera de raio r , calcular o volume do cilindro equilátero circunscrito.

 



resposta:
cilindro equilátero com esfera circunscrita
Resolução:
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
Área da Base = $\,A_B = \pi\,r^2\;$
$\;h\,=\,2r\;$
$\,V\,=\,A_B\,\centerdot\,h\,=\,\pi\,r^2\,\centerdot\,2r\,=\,2\pi\,r^3\,$
Volume = 2 ℼ r³
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A secção meridiana de uma esfera de raio R é equivalente a uma secção menor de uma segunda esfera, distante R do centro. Calcular o raio desta segunda esfera em função de R.

 



resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e não contém o centro da mesma, a secção determinada será um círculo cujo raio é menor do que o raio da esfera. Essa seção é denominada 'círculo menor esfera'.

esfere pequena com círculo máximo e esfera grande com círculo menor

Considerações:

No desenho, de acordo com o enunciado, a esfera maior apresenta uma secção plana que dista R do centro da esfera. O círculo menor determinado é equivalente ao círculo de raio R que encontramos na secção meridiana da esfera pequena.

Decorre do Teorema de Pitágoras:
$\,x^2\,=\,R^2\,+\,R^2\,$
$\,x\,=\,R\sqrt{\,2\,}\,$

O raio da segunda esfera é $\,R\sqrt{\,2\,}\,$
×
Qual a área da superfície da esfera cuja secção meridiana tem 6 ℼ m² de área?

 



resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e contém o centro da mesma, a secção será denominada 'círculo máximo da esfera' (seu raio é o mesmo raio da esfera).

secção meridiana é a secção que passa pelo centro da esfera

Considerações:

O raio da secção meridiana tem medida igual à medida do raio da esfera.

Áreacírculo máximo = ℼ R² = 6 ℼ ⟺ R² = 6
Áreasuperf. esférica = 4 ℼ R² = 4 ℼ 6 = 24ℼ m²

Ssuperf. esférica = 24ℼ m²
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Qual é a área da secção plana feita numa esfera de raio 1 cm , por um plano distante $\,\frac{\;\sqrt{\,2\,}\;}{6}\,$cm do centro da mesma?

 



resposta:
secção plana na esfera

Veja a figura onde está representado o raio da secção (r), o raio da esfera (R = 1) e a distância entre a secção e o centro da esfera ($\,\frac{\sqrt{2}}{6}\,$).

Aplicando o teorema de pitágoras:
$\,R^2\,=\,r^2\,+\,(\frac{\sqrt{\,2\,}}{6})^2\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,1\,-\,(\frac{2}{\,36\,})\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,\frac{\,34\,}{\,36\,}\;=\;\frac{\,17\,}{\,18\,}\;$

O raio da secção plana é $\,r\,=\,\sqrt{\,\frac{17}{18}\;}\,$. Como essa secção tem área circular, então:

$\,S\,=\,\pi\,r^2\,=\,\dfrac{\,17\,\pi\,}{18}\,$cm²
Ssecção plana = (17ℼ/18) cm²
×
Calcular o volume de uma esfera de raio $\phantom{X}3\sqrt{\;2\;}\;m\phantom{X}$

 



resposta:

O volume de uma esfera de raio R é (4/3)ℼR³

esfera de raio R
$\,V = \dfrac{\;4\;}{\;3\;}\pi\,R^3\,\Rightarrow$ $\,V = \dfrac{\;4\;}{\;3\;}\pi\,(3\sqrt{\,2\,})^3\;\Rightarrow$
$\,V = 72\sqrt{\,2}\,\pi\,m^3\,$
×
Justifique a seguinte propriedade: "Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo anterior e o posterior".

 



resposta:
(hipótese):
Seja a P.G.$(...\,,\,a_{p-1}\,,\,a_{p}\,,\,a_{p+1}\,,\,...)$ de razão igual a $\,q\,$
(tese):
Queremos demonstrar que $\phantom{X}(ap)^2\,=\,a_{p-1}\,\centerdot\,a_{p+1}\phantom{X}$
(DEMONTRAÇÃO):
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\;& \\ a_p\,=\,a_1\,q^{p-1}\phantom{Xx}& \\ a_{p+1}\,=\,a_1\,q^{p}\phantom{Xx}& \end{array} \right.\;\Longrightarrow$ $\;a_{p+1}\,\centerdot \,a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\,\centerdot \,a_1\,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{p-2}\,\centerdot \,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2p-2}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2(p-1)}\,=$ $\,=\,(a_1\,q^{p-1})^2\,=$ $\,(a_p)^2$

c.q.d.


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Calcule x na figura:
triângulos semelhantes

 



resposta: x = 1
×
Um arquiteto dispôs as poltronas de um anfiteatro em filas. Colocou 6 poltronas na primeira fila, 10 na segunda, 14 na terceira e assim sucessivamente, sempre mantendo essa lei de formação de modo que a última fila tenha 94 poltronas. O número de filas é:
a)
21
b)
23
c)
25
d)
26
e)
27

 



resposta: (B)
Progressão aritmética, o termo geral $\,a_n\,=\,a_1\,+\,(n\,-\,1)r\,$
$\,94\,=\,6\,+\,(n\,-\,1)4\;\Rightarrow$ $\,(n\,-\,1)4\,=\,88\;\Rightarrow$ $\,n\;-\;1\;=\;22\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;n\,=\,23\;}\,$

×
Se o 6º e o 10º termos de uma progressão aritmética são respectivamente -6 e 58 , então a razão dessa progressão é:
a)
12
b)
13
c)
14
d)
15
e)
16

 



resposta: (E)
×
Com relação à seguinte sequência:$\phantom{X}(\frac{\,a\,-\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,6\,}{2}\,,\,...\,)\phantom{X}(a\,\in\,{\rm I\!R})\,$, pode-se afirmar que:
a)
é estritamente decrescente
b)
é estritamente crescente
c)
é uma P.A. de razão -2
d)
o 10º termo é $\,\frac{\,a\,-\,34\,}{2}\,$
e)
não é uma P.A.

 



resposta: (B)
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Iniciando em 2020 uma competição esportiva que irá se repetir de quatro em quatro anos, pergunta-se, em que ano será realizada esta competição pela quinquagésima vez?

 



resposta:
Resolução:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 2020 \longrightarrow\,a_1\;& \\ 2024 \longrightarrow\,a_2\;& \\ 2028 \longrightarrow\,a_3\;& \\ 2032 \longrightarrow\,a_4\;& \\ ... \end{array} \right.\; \Longrightarrow$
Progressão aritmética
n = 50
r = 4
$\,a_n\,=\,a_1\,+\,(n\,-\,1)r\,$
$\,a_{50}\,=\,2020\,+\,(50\,-\,1)\centerdot 4\,\Rightarrow$ $\,a_{50}\,=\,2020\,+\,49\centerdot\,4\,=\,2020 + 196$
$\,a_{50}\,=\,2216\,$
A quinquagésima competição será realizada no ano 2216.
×
(SANTA CASA) A partir da sucessão
1 × 8 =
10 - 2
2 × 8 =
20 - 4
3 × 8 =
30 - 6
Verifica-se que a sequência (1 × 8 , 2 × 8 , 3 × 8 , ... , n × 8 , ...), onde n ∈ $\,{\rm I\!N}^*\,$, pode ser escrita na forma (a1 - b1, a2 - b2, ... , an - bn, ...). Então an + bn é igual a:
a)
12n
b)
10n
c)
8n
d)
2n+2
e)
2n ⋅ 3n-1

 



resposta: (A)
×
Determine os quatro primeiros termos da sequência definida por $\phantom{X}a_{\large n} = \dfrac{\,n\,-\,1\,}{n^{\large 2}}\, ,\phantom{X}\forall \;n\;\in\;{\rm I\!N}^*$

 



resposta:
Resolução:
$\,a_1 = 0\,$
$\,a_2\,=\,\dfrac{2\,-\,1}{4}\,=\,\dfrac{1}{4}\,$
$\,a_3\,=\,\dfrac{3\,-\,1}{9}\,=\,\dfrac{2}{9}\,$
$\,a_4\,=\,\dfrac{4\,-\,1}{16}\,=\,\dfrac{3}{16}\,$
A sequência é $\,a_n\,=\,(0;\,\frac{1}{4};\,\frac{2}{9};\,\frac{3}{16}\,...\,)$
×
De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.
quadrados em progressão geométrica

 



resposta: 48 unidade²
×
A soma dos termos de uma P.G. infinita é 1 e o seu 1º termo é $\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\,$. Obter o 4º termo desta sequência.

 



resposta: 2/81
×
Qual o valor da soma dos elementos da P.G. finita (10, 20, ... , 1280) ?

 



resposta: 2550
×
Calcular a soma dos 6 termos iniciais da P.G.(4, -12, 36, ...) .

 



resposta: -728
×
Inserir 5 meios geométricos positivos entre 6 e 384

 



resposta: P.G.(6, 12, 24, 48, 96, 192, 384)
×
(PUCC - 1982) Dada a Progressão Geométrica $\phantom{X}1,\;-\frac{\,\sqrt{\,2\,}}{\,2\,},\;\frac{\;1\;}{\;2\;},\;...\phantom{X}$, determine o seu 11º termo.

 



resposta: 1/32
×
Quais são as progressões geométricas de elementos reais com a2 = 160 e a6 = 10 ?

 



resposta: ( a1 = 320 e q = 1/2 ) ; ( a1 = -320 e q = -1/2 )
×
Determine o primeiro elemento a1 da P.G. com a6 = 486 e q = 3.

 



resposta: a1 = 2
×
Qual é o 5º termo da P.G.(560, 280, 140, ...) ?

 



resposta: 35
×
De uma P.A. com 10 elementos e razão r = k, vamos retirar o 2º, 3º, 5º, 6º, 8º e o 9º elementos. Os restantes 4 elementos, dispostos na mesma ordem, ainda formam uma P.A.. Qual a razão desta segunda P.A.?

 



resposta: r = 3k
×
(FUVEST) Calcule os ângulos de um triângulo retângulo sabendo que eles estão em progressão geométrica.

 



resposta: (em graus) $\dfrac{90(\sqrt{90}\,-\,1)}{89}\; ; \dfrac{90(90 - \sqrt{90})}{89}\;; 90^o\;$
(em radianos) $\,\dfrac{3\pi}{4}\,-\,\dfrac{\pi\sqrt{5}}{4}\; ; \dfrac{\pi (\sqrt{5} - 1)}{4}\;; \dfrac{\pi}{2}\,$
×
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