Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(ITA) Os lados de um triângulo medem a , b e c (centímetros). Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = 8c.
a)
30°
b)
60°
c)
45°
d)
120°
e)
135°

 



resposta: Alternativa B

LEI DOS COSSENOS:
"Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".

Resolução:
triângulo ABC cujos lados são os segmentos a, b e c
Na figura, um triângulo genérico $\,\triangle ABC\,$ onde deseja-se a medida do ângulo $\,\hat{A}\,$.
De acordo com a lei dos cossenos temos:
$\;a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,2bc\centerdot (cos\hat{A})\;(I)$
Mas (conforme o enunciado), $\,a\,=\,\dfrac{7c}{3}\,$ e $\,b\,=\,\dfrac{8c}{3}\,$, substituindo em (I)
$\,\left( \dfrac{7c}{3}\right)^{\large 2}\;=\;\left( \dfrac{8c}{3} \right)^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}\, -\,2\centerdot \left( \dfrac{8c}{3} \right)\centerdot c \centerdot cos\hat{A}\;\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\,\left( \dfrac{49c^{\large 2}}{9}\right)\;=\;\left( \dfrac{64c^{\large 2}}{9} \right)^\,+\,\dfrac{9c^{\large 2}}{9}\, -\,2\centerdot \left( \dfrac{24c^{\large 2}}{9} \right)\centerdot cos\hat{A}\,\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\,49\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9}\right)\;=\;64\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9} \right)\,+\,9\left(\dfrac{c^{\large 2}}{9}\right)\, -\,2\centerdot 24 \centerdot cos\hat{A}\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9} \right)\,$
● dividir a igualdade por c2/9
$\,\Rightarrow\,49\;=\;64\,+\,9\, -\,2\centerdot 24 \centerdot cos\hat{A}\,$
$\,\Rightarrow\,-cos\hat{A}\,=\,\dfrac{49\,-\,64\,-\,9}{2\centerdot 24}\,\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\,cos\hat{A}\,=\,\dfrac{24}{48}\,\Rightarrow\,cos\hat{A}\,=\,\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; \hat{A}\,=\,60^o$
Resposta:
medida do ângulo oposto ao lado que mede a centímetros é 60° — alternativa B

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