Lista de exercícios do ensino médio para impressão

(CESESP - 1986)

Pretende-se contruir um tanque com a forma e dimensões da figura ao lado. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro circular reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde às relaçoes existentes entre as dimensões indicadas.

R = h = H

3R = h = 3H

4R = h = 3H

2R = h = 3H

h = 3R = H

resposta: alternativa D
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(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio $\,R\,$ tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale $\, \dfrac{R}{m}\phantom{X} (m \geqslant 1)\,$. Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(\dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\phantom{XXXXXXXX}$

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1\,-\,\left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\;\phantom{XXXXXXX}$

$\,\dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1 \,+\,\left( \dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$

nenhuma das alternativas anteriores

resposta: Alternativa D
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Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica conforme a figura. A abertura das taças é de 4 cm de raio interno, com profundidade de $\,8\sqrt{2}\,$cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?

resposta:

Na figura, a pérola de colar esférica de centro O e raio 1 cm encalhada no fundo da taça com formato de cone — raio da base do cone $\;\overline{AB}\,=\,4\,$cm e altura do cone $\;h \,=\,8\sqrt{2}\,$cm. Foi traçada a altura do cone, o segmento $\;\overline{AC}\;$.

Se a esfera está apoiada sobre a face lateral do cone, então a aresta $\;\overline{BC}\;$ é tangente à esfera no ponto $\;P\;$ e o raio $\;\overline{OP}\;$ é perpendicular a $\;\overline{BC}\;$.

Consideremos o ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;ABC\;$ reto em $\;\hat{A}\;$.

$\phantom{X}\operatorname{tg}\alpha\,=\,\dfrac{\mbox{cateto oposto}\,\overline{AB}}{\mbox{cateto adjacente}\,\overline{AC}}\,=$ $\,\dfrac{4}{8\sqrt{2}}\phantom{X}(I)$

Consideremos o mesmo ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;POC\;$ reto em $\;\hat{P}\;$.

$\phantom{X}\operatorname{tg}\alpha\,=\,\dfrac{\mbox{cateto oposto}\,\overline{OP}}{\mbox{cateto adjacente}\,\overline{PC}}\,=$ $\,\dfrac{\mbox{raio da esfera }\overline{OP}}{\overline{PC}}\,=\,\dfrac{1}{\overline{PC}}\phantom{X}(II)$

De (I) e (II) decorre que:

$\phantom{X}\dfrac{1}{\overline{PC}}\,=\,\dfrac{4}{8\sqrt{2}}\,$ $\;\Rightarrow\;\overline{PC}\,=\,\dfrac{8\sqrt{2}}{4}\;$ $\Rightarrow\;\overline{PC}\,=\,2\sqrt{2}\,$

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras no triângulo $\;POC\;$:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\;\overline{PC}\,=\,2\sqrt{2}\;& \\ \mbox{cateto}\;\overline{OP}\,=\,1\longrightarrow & \mbox{(raio da esfera)}\\ \mbox{hipotenusa}\, \overline{OC}\,=\,d\,+\,1 & \\ \end{array} \right.\,$

$\,(d\,+\,1)^2\,=\,1^2\,+\,(2\sqrt{2})^2\;\Rightarrow\;d\,+\,1\,=\,\sqrt{9}\,$ $\Rightarrow\;d\,=\,3\,-\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\,d\,=\,2\,}\,$, que corresponde à

Alternativa C
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(FEI) Duas esferas, A e B , de metais diferentes mas de mesmas dimensões, estão inicialmente à mesma temperatura. São colocadas simultaneamente num congelador a -10 °C . Verifica-se que a esfera A atinge o equilíbrio térmico antes de B .

O que podemos afirmar da capacidade térmica de A com relação à de B ?

O que podemos afirmar dos calores específicos de A e de B ?

resposta: a) a capacidade térmica de A é menor que a de B
b) nada se pode afirmar.
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Na figura, a esfera metálica A, de peso 12 N, está presa ao fio OA e é solicitada por uma força magnética horizontal de intensidade 5N. Estando o sistema em equilíbrio, a tração em OA tem valor:

5 N

7 N

12 N

13 N

17 N

resposta: (D)
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(MACKENZIE) O sistema ao lado está em equilíbrio. A esfera pesa 150 N e o corpo W pesa 100 N. A roldana e o fio que une W com a esfera são ideais. Adote cos θ = 0,60 e sen θ = 0,80.

Calcule:
a) a intensidade da força de reação do apoio vertical sobre a esfera;
b) a intensidade da força de reação do apoio horizontal sobre a esfera.

esfera presa por um cabo a outro corpo através de uma polia

resposta: a) 70 N b) 60 N
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(EPUSP) Uma esfera de peso G = 18 N , repousando sobre um plano horizontal liso, está presa pelo centro a dois fios AB e AC que passam sem atrito sobre polias B e C , suportando nas suas extremidades as cargas F = 10 N e Q = 20 N respectivamente.

Supondo-se o fio AB horizontal, determinar a inclinação do fio AC com a horizontal quando a esfera estiver na posição de equilíbrio, assim como a reação da esfera no plano em que repousa.

resposta: 60° e 0,68 N
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Uma esfera pendurada na parede por um cabo tem peso 40 N e encontra-se em equilíbrio.
Determinar:

o módulo da força de tração no fio;

o módulo da força que a parede exerce na esfera.

Dados: sen θ = 0,60; cos θ = 0,80.

resposta: a) 50 N b) 30 N
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Calcular o volume de uma esfera de raio $\phantom{X}3\sqrt{\;2\;}\;m\phantom{X}$

resposta:

O volume de uma esfera de raio R é (4/3)ℼR³

$\,V = \dfrac{\;4\;}{\;3\;}\pi\,R^3\,\Rightarrow$ $\,V = \dfrac{\;4\;}{\;3\;}\pi\,(3\sqrt{\,2\,})^3\;\Rightarrow$

$\,V = 72\sqrt{\,2}\,\pi\,m^3\,$
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Qual é a área da secção plana feita numa esfera de raio 1 cm , por um plano distante $\,\frac{\;\sqrt{\,2\,}\;}{6}\,$cm do centro da mesma?

resposta:

Veja a figura onde está representado o raio da secção (r), o raio da esfera (R = 1) e a distância entre a secção e o centro da esfera ($\,\frac{\sqrt{2}}{6}\,$).

Aplicando o teorema de pitágoras:
$\,R^2\,=\,r^2\,+\,(\frac{\sqrt{\,2\,}}{6})^2\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,1\,-\,(\frac{2}{\,36\,})\;\Longrightarrow$ $\,r^2\,=\,\frac{\,34\,}{\,36\,}\;=\;\frac{\,17\,}{\,18\,}\;$

O raio da secção plana é $\,r\,=\,\sqrt{\,\frac{17}{18}\;}\,$. Como essa secção tem área circular, então:

$\,S\,=\,\pi\,r^2\,=\,\dfrac{\,17\,\pi\,}{18}\,$cm²

S_{secção plana} = (17ℼ/18) cm²
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Qual a área da superfície da esfera cuja secção meridiana tem 6 ℼ m² de área?

resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e contém o centro da mesma, a secção será denominada 'círculo máximo da esfera' (seu raio é o mesmo raio da esfera).

secção meridiana é a secção que passa pelo centro da esfera

Considerações:

O raio da secção meridiana tem medida igual à medida do raio da esfera.

Área_{círculo máximo} = ℼ R² = 6 ℼ ⟺ R² = 6
Área_{superf. esférica} = 4 ℼ R² = 4 ℼ 6 = 24ℼ m²

S_{superf. esférica} = 24ℼ m²
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A secção meridiana de uma esfera de raio R é equivalente a uma secção menor de uma segunda esfera, distante R do centro. Calcular o raio desta segunda esfera em função de R.

resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e não contém o centro da mesma, a secção determinada será um círculo cujo raio é menor do que o raio da esfera. Essa seção é denominada 'círculo menor esfera'.

esfere pequena com círculo máximo e esfera grande com círculo menor

Considerações:

No desenho, de acordo com o enunciado, a esfera maior apresenta uma secção plana que dista R do centro da esfera. O círculo menor determinado é equivalente ao círculo de raio R que encontramos na secção meridiana da esfera pequena.

Decorre do Teorema de Pitágoras:
$\,x^2\,=\,R^2\,+\,R^2\,$
$\,x\,=\,R\sqrt{\,2\,}\,$

O raio da segunda esfera é $\,R\sqrt{\,2\,}\,$
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Dada uma esfera de raio r , calcular o volume do cilindro equilátero circunscrito.

resposta:

cilindro equilátero com esfera circunscrita

Resolução:
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
Área da Base = $\,A_B = \pi\,r^2\;$
$\;h\,=\,2r\;$
$\,V\,=\,A_B\,\centerdot\,h\,=\,\pi\,r^2\,\centerdot\,2r\,=\,2\pi\,r^3\,$

Volume = 2 ℼ r³
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Determinar a área total de um octaedro regular inscrito numa esfera de volume igual a 36 ℼ m³ .

resposta:

V_esfera = $\,\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\,R^3\;\Rightarrow$

$\,36\,\pi\;=\;\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\,R^3\;\Rightarrow\;R\,=\,3\,m\,$

$\,a^2\,=\,R^2\,+\,R^2\;\Rightarrow$ $\,a^2\,=\,9\,+\,9\;\Rightarrow$ $\,a\,=\,3\sqrt{\,2\,}\;m$

A_face = A_{triângulo equilátero} = $\,\dfrac{\ell^2\,\sqrt{3\,}}{4}\,=$ $\,\dfrac{\,(3\sqrt{2})^2\,\centerdot\,\sqrt{\,3\,}}{4}\,=\,\dfrac{\,9\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,m^2$

$\,A_{\text TOTAL}\;=\;8\,\centerdot\,A_{\text face}\,=$ $\,\dfrac{\,8\,\centerdot\,9\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\, =\,36\sqrt{\,3\,}\;m^2$

A_TOTAL = $\,36\sqrt{\,3\,}\;m^2$
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Na figura seguinte:
$\,\overline{PP'}\,$ é diâmetro da esfera de centro $\,O\,$, $\;M\,$ é o centro de uma secção plana perpendicular a $\,\overline{PP'}\,$. Temos também que $\,\overline{AP}\,=\,6\,cm\;$ e $\,\overline{AP'}\,=\,8\,cm\;$. Calcular a área do círculo de centro $\,M\,$.

resposta: resposta
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Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cone equilátero circunscrito a uma esfera de raio $\,r\,$.

resposta: $\,A_{\text lat}\,=\,6\,\pi\,r^2\,$; $\,A_{\text total}\,=\,9\,\pi\,r^2\,$; $\,V_{\text olume}\,=\,3\,\pi\,r^3\,$
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