Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(MAUÁ) Um cilindro circular reto, de raio R e altura h = 2R , é cortado por um plano paralelo ao seu eixo. Sendo R/2 a distância do eixo ao plano secante, calcule o volume do menor segmento cilíndrico resultante desta secção.
secção parameridiana do cilindro

 



resposta: $\phantom{X}V\,=\,\frac{\,R^3\,}{\,6\,}\,\centerdot\,\left(4\pi\,-\,3\sqrt{\,3\,}\right)\phantom{X}$
×
Um monumento tem o pedestal em forma de tronco de pirâmide quadrada, onde o apótema tem 6 m e as bases tem lados de 4 m e 2 m. Qual o volume de concreto usado para fazer o pedestal?

 



resposta:
tronco de pirâmide regular geratriz 6 m
Conforme a figura, no triângulo hachurado ABC temos:

● o segmento AB é o apótema lateral com medida 6 m,
● o segmento BC é 1 m, igual a metade da diferença entre a medida dos lados da base menor e da base maior e
● e AC é altura do pedestal.

Pelo teorema de Pitágoras:

$\;(AB)^2\,=\,(BC)^2\,+\,(AC)^2\phantom{X}$
$\;(AC)^2\;=\;36\;-\;1\;\Longrightarrow\;\;(AC)\;=\;\sqrt{\;35\;}\phantom{X}$
Portanto a altura do tronco de pirâmide (pedestal) é $\,\sqrt{\,35\,}\,m\,$
$\;A_b\;=\;$ Área da base menor $\;= 2^2 = 4 m^2\;$
$\;A_B\;=\;$ Área da base maior $\;= 4^2 = 16 m^2\;$
$\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;h\;}{\;3\;}\left({A_b\;+\;\sqrt{\;A_b\;\centerdot\;A_B\;}\;+\;A_B}\right)\phantom{X}$
$\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;\sqrt{\,35\,}\;}{\;3\;}\left( 4\;+\;\sqrt{\;4\;\centerdot\;16\;}\;+\;16\right)\phantom{X}$
$\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;\sqrt{\,35\,}\;}{\;3\;}\left(20\;+\;\sqrt{\;64\;}\right)\phantom{X}$
$\;V_{tronco}\;=\;\dfrac{\;\sqrt{\,35\,}\;}{\;3\;}\left(20\;+\;8\right)\phantom{X}$
$\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,28\sqrt{\,35\,}\,}{3}\,m^3\phantom{X}$
×
(USP) A altura de um tetraedro regular de aresta $\phantom{X}\ell\phantom{X}$ vale:
a)
$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\,$
b)
$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
d)
$\,\ell\,\phantom{\dfrac{X}{X}}$
e)
$\,\ell\,\sqrt{\,2\,}\,$

 



resposta:

altura do tetraedro regular:

altura do tetraedro regular
Na figura, o apótema "g" do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$:
$\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$
O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo.
A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então:
$\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$
$\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$
Assim temos:
$\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$
Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$
resposta:
alternativa A
×
(FEI) Sendo a reta AB perpendicular ao plano BCD e a reta BC perpendicular à reta CD; e sendo a a medida de cada segmento AB, BC e CD:
a)
Achar o volume da pirâmide ABCD;
b)
Achar a área total dessa pirâmide.
tetraedro

 



resposta: $\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,a^3\,}{6}\phantom{X}$ $\phantom{X}S_T\,=\,a^2(1\,+\,\sqrt{\,2\,})\phantom{X}$
×
Determinar o volume de uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base medindo $\;\ell\;$ e altura medindo $\;\ell\;$.
pirâmide hexagonal regular de altura e aresta da base congruentes

 



resposta:
Resolução:
$\phantom{X}A_{base}\;=\;6\;\dfrac{\ell^2\,\sqrt{\,3\,}}{4}\;=\;\dfrac{3\ell^2\,\sqrt{\,3\,}}{2}\phantom{X}$
Altura: $\phantom{X}H\,=\,\ell\phantom{X}$
Volume: $\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\;A_{base}\,\centerdot\,H\;}{3}\,=\,\dfrac{3\ell^2\,\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\ell}{2 \centerdot 3} = \dfrac{\;l^3\,\sqrt{\;3\;}}{2}\phantom{X}$Resposta:
$\phantom{X}V = \dfrac{\ell^3\,\sqrt{\,3\,}}{2}\phantom{X}$
×
Dada uma pirâmide quadrangular regular, cuja base tem 64 m² de área e a sua altura mede 3 m , calcular:
a)
A área lateral da pirâmide.
b)
A área total da pirâmide.

 



resposta:
pirâmide de base quadrada
a) $\phantom{X}A_{base}\,=\,\ell^2\,=\,64\,\Rightarrow\,\ell\,=\,8\,m\phantom{X}$
No triângulo VAB:
$\phantom{X}b^2\,=\,a^2\,+\,3^2\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,\ell\,}{2}\,=\,4\,m\phantom{X}$
$\phantom{X}b^2\,=\,4^2\,+\,3^2\,\Rightarrow\,b\,=\,5\,m\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{lateral}\,=\,2\,\centerdot\,8\,\centerdot\,5\,=\,80\,m^2\phantom{X}$
b)\,$\phantom{X}A_{total}\,=\,A_{lateral}\,+\,A_{base}\phantom{X}$ sendo:
$\phantom{X}A_{lateral}\,=\,80\,m^2\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{base}\,=\,64\,m^2\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{total}\,=\,80\,+\,64\,=\,144\phantom{X}$
Resposta:
a) Área lateral = 80m² b) Área total = 144m²
×
Determinar o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 5 cm e cuja altura mede 3 cm .
pirâmide quadrangular altura 3

 



resposta:
Resolução:
$\phantom{X}A_{base}\,=\,5^2\,=\,25\,cm^2\phantom{X}$
$\phantom{X}H\,=\,3\,cm\phantom{X}$
$\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,A_{base}\,\centerdot\,H\,}{3}\,=\,\dfrac{\,25\,\centerdot\,3\,}{3}\,=\,25\,cm^3\phantom{X}$
resposta:

V = 25 cm³


×
(FUVEST) Uma caixa d'água tem forma cúbica com 1 metro de aresta. De quanto baixa o nível da água ao retirarmos 1 litro de água da caixa?

 



resposta: 0,001 m
×
(FUVEST) Na figura abaixo:
a)
ABCD e EFGH são trapézios de lados 2, 8, 5 e 5 .
b)
Os trapézios estão em planos paralelos, cuja distância é 3.
c)
As retas AE, BF, CG e DH são paralelas.
Calcule o volume do sólido.
prisma quadrangular reto com bases trapezoidais 

 



resposta: V = 60
×
Calcular o volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo de lados medindo 4m, 6m e 8m respectivamente, e sabendo-se que a área lateral é 90m².

 



resposta: $\;V\,=\,15\sqrt{15}\,m^3\;$
×
A área total de um paralelepípedo retângulo é 720 m², a diagonal de uma face mede 20 m e a soma das suas dimensões é 34 m. Calcular as dimensões.

 



resposta: 16m12m6m
×
Calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto retângulo, cujas dimensões são 3 m , 4 m e 12 m.

 



resposta: V = 144 m³ Atotal = 192m² D = 13 m
×
Calcular o volume de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo-se que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20 e que a diagonal mede 100 m.

 



resposta: V = 138240 m³
×
Um prisma triangular regular tem as arestas da base medindo 5 cm e aresta lateral igual a 7 cm . Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume.

 



resposta: $\phantom{X}A_{base}\,=\,\frac{25\sqrt{\,3\,}}{4}\;$ cm² $\phantom{X}A_{lateral}\,=\,105\;$ cm² $\phantom{X}A_{t}\,=\,\frac{5(42+5\sqrt{\,2\,}}{2}\;$ cm²$\phantom{X}V\,=\,\frac{175\sqrt{\,3\,}}{2}\;$ cm³
×
(FEI - 1977) Para quais valores de $\,p\,$ a equação $\phantom{X}tg\;px\,=\,cotg\;px\phantom{X}$ tem $\,x\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$ para raiz?

 



resposta: $\,p = \frac{1}{2}\,+\,k,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$

×
(MAPOFEI - 1975) Resolver a equação $\phantom{X}cotg\;x\;-\;sen\;2x\;=\;0\phantom{X}$.

 



resposta: $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\pm\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$

×
Resolver as equações:
a)
$\phantom{X}sec^2\,x\,=\,2\,\centerdot\,tg\,x\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\dfrac{1}{sen^2\,x}\,=\,1\,-\,\dfrac{cos\,x}{sen\,x}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}sen\,2x\,\centerdot\,cos(x\,+\,\dfrac{\pi}{\,4\,})\,=\,cox\,2x\,\centerdot\,sen(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{4})\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}(1\,-\,tg\,x)(1\,+\,sen\,2x)\,=\,1\,+\,tg\,x\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi\;$ ou $\;x\,=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,k\pi\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,k\pi\;$ ou $\;x\,=\,k\pi\rbrace\,$

×
Resolver as equações:
a)
$\phantom{X}tg\,x\,=\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{5}\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}cotg\,x\,=\,cotg\,\dfrac{\,5\pi\,}{6}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}3\,\centerdot\,tg\,x\,=\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}cotg\,x\,=\,0\phantom{X}$
e)
$\phantom{X}cotg\,x\,=\,-1\phantom{X}$
f)
$\phantom{X}tg\,3x\,-\,tg\,2x\,=\,0\phantom{X}$
g)
$\phantom{X}tg\,2x\,=\,tg\,(x\,+\,\dfrac{\pi}{4})\phantom{X}$
h)
$\phantom{X}tg\,4x\,=\,1\phantom{X}$
i)
$\phantom{X}cotg\,2x\,=\,cotg(x\,+\,\dfrac{\pi}{4})\phantom{X}$
j)
$\phantom{X}tg^2\,2x\,=\,3\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{5}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$
e) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$
f) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\pi\;\rbrace\,$
g) $\,S\,=\,\varnothing\; \Leftarrow$
h) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{16}\,+\,\frac{k\pi}{4}\;\rbrace\,$
i) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$
j) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,\dfrac{k\pi}{2}\;$ ou $\phantom{X}x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}\rbrace\,$

×
Resolver as equações:
a)
$\phantom{X}sen\,x\,\,-\,\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,cosx\,=\,0\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}sen^2\,x\,=\,cos^2\,x\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}tg\,x\,+\,cotg\,x\,=\,2\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}sec^2\,x\,=\,1\;+\;tg\,x\,\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\;ou\;x\,=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,k\pi;\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\pi\;ou\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\;\rbrace\,$

×
Resolver as equações:
a)
$\phantom{X}tg\,x\,=\,1\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}cotg\,x\,=\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}tg\,x\,=\,-\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}tg\,x\,=\,0\phantom{X}$
f)
$\phantom{X}tg\,2x\,=\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$
g)
$\phantom{X}tg\,2x\,=\,tg\,x\phantom{X}$
h)
$\phantom{X}tg\,3x\,=\,1\phantom{X}$
i)
$\phantom{X}tg\,5x\,=\,tg\,3x\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{2\pi}{3}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\pi\,\rbrace\,$
e) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,\frac{k\pi}{2}\,\rbrace\,$
f) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\pi\,\rbrace\;$
g) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{12}\,+\,\frac{k\pi}{3}\,\rbrace\,$
h) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{k\pi}{2}, k é par\,\rbrace\,$

×
(MAUÁ - 1977) Dada a equação $\phantom{X}(sen\,x\,+\,cos\,y)(sec\,x\,+\,cossec\,y)\,=\,4\phantom{X}$:

a) resolva-a se $\phantom{X}x\,=\,y\phantom{X}$
b) resolva-a se $\phantom{X}sen\,x\,=\,cos\,y\phantom{X}$


 



resposta: a) x = y = π/4 + kπ b) x = π/4 + kπ e y + x = π/2 + 2kπ
×
Determinar os ângulos internos de um triângulo ABC sabendo que $\phantom{X}cos(A\,+\,B)\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\phantom{X}$ e $\phantom{X}sen(B\,+\,C)\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\phantom{X}$

 



resposta: A = π/6, B = π/6 e C = 2π/3
×
Resolver as equações:
a)
$\phantom{X}cos\,3x\,-\,cos\,x\,=\,0\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}cos\,5x\,=\,cos\left(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,k\pi\;ou\;x\,=\,\,\frac{k\pi}{2}\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \; ou\; x\,=\frac{-\pi}{18}\,+\,\frac{k\pi}{3} \rbrace\,$

×
Resolver as equações a seguir:
a)
$\phantom{X}cos\,2x\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}cos\,2x\,=\,cos\,x\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}cos\left(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,6\,}\right) = 0\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}cos\left(x\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,=\,1\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{12}\,+\,k\pi\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,2k\pi \; ou\; x\,=\frac{2k\pi}{3}\, \rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi\;ou\;,x\,=\,-\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,2k\pi \rbrace\,$

×
Resolver as seguintes equações:
a)
$\phantom{X}cos x = -\dfrac{ 1 }{ 2 }\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}cos\,x\,=\,-\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}cos\,x\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}sec\,x\,=\,\,2\phantom{X}$
e)
$\phantom{X}2\,\centerdot\,cos^2\,x\,=\,cos\,x\phantom{X}$
f)
$\phantom{X}4\,\centerdot\,cos\,x\,+\,3\,sec\,x\,=\,8\phantom{X}$
g)
$\phantom{X}2\,-\,2\,\centerdot\,cos\,x\,=\,sen\,x\,\centerdot\,tg\,x\phantom{X}$
h)
$\phantom{X}2\,\centerdot\,sen^2\,x\,+\,6\,\centerdot\,cos\,x\,=\,5\,+\,cos\,2x\phantom{X}$
i)
$\phantom{X}1\,+\,3\,\centerdot\,tg^2\,x\,=\,5\,\centerdot\,sec\,x\phantom{X}$
j)
$\phantom{X}\left(\,4\,-\,\dfrac{3}{sen^2x}\right)\,\centerdot\,\left(\,4\,-\,\dfrac{1}{cos^2x}\,\right)\,=\,0\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{3\pi}{4}\,+\,2k\pi\, \rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
e) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi\,ou\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
f) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
g) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,2k\pi \rbrace\,$
h) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,2k\pi\,ou\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
i) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
j) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \; ou \; x\,=\,\pm\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi\rbrace\,$

×
Resolver as equações:
a)
$\phantom{X}4 \centerdot cos^2 x = 3\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}cos^2\,x\,+\,cos\,x\,=\,0\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}sen^2\,x\,=\,1\,+\,cos\,x\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}cos\,2x\,+\,3\,\centerdot\,cos\,x\,+\,2\,=\,0\phantom{X}$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi \, ou \, x\,=\,\pm\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi\;ou\;x\,=\,\pi\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi\;ou\;x\,=\,\pi\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pi + 2k\pi \; ou \; x\,=\,\pm\,\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$

×
Resolver as equações:
a)
$\,cos\,x\,=\,cos\,\dfrac{\,\pi\,}{5}\,$
b)
$\,sec\,x\,=\,sec\,\dfrac{\,2\pi\,}{3}\,$
c)
$\,cos\,x\,=\,0\,$
d)
$\,cos\,x\,=\,1\,$
e)
$\,cos\,x\,=\,-1\,$
f)
$\,cos\,x\,=\,\dfrac{\,1\,}{2}\,$
g)
$\,cos\,x\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$
h)
$\,cos\,x\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{5}\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi \, \rbrace\, =\,$ $\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi \, \rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,2k\pi \, \rbrace\,$
e) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pi\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
f) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
g) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{4}\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$
h) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\;|\;\,x\,=\,\pm\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi \, \rbrace\,$

×
(MAPOFEI - 1976) Resolver o sistema $\,\left\{\begin{array}{rcr} sen\,(x\,+\,y)\,=\,0 & \\ x\,-\,y\,=\,\pi \phantom{XXX} & \\ \end{array} \right.\,$

 



resposta: $\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,\frac{k\pi}{2}\,$, $\,y\,=\,-\frac{\pi}{2}\,+\,\frac{k\pi}{2}\,$
×
Determinar os ângulos internos de um triângulo sabendo que estão em progressão aritmética e que o seno da soma do menor ângulo com o ângulo médio é $\phantom{X}\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\phantom{X}$

 



resposta: ângulos $\,\frac{\pi}{3},\,\frac{\pi}{3},\,\frac{\pi}{3}\,$
×
Determinar o valor de $\phantom{X}x\;,\;\,x\,\in\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ nas seguintes igualdades:

a) $\,sen\,5x\,=\,sen\,3x\phantom{XXXXX}$ b) $\,sen\,3x\,=\,sen\,2x\,$


 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,k\pi\,$ ou $x\,=\,\frac{\pi}{8}\,+\,\frac{k\pi}{4} \rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,2k\pi\,$ ou $x\,=\,\frac{\pi}{5}\,+\,\frac{2k\pi}{5}\rbrace\,$
×
Resolver as equações:
a)
$\,sen\,2x\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,$
b)
$\,sen\,3x\,=\,\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}\,$
c)
$\,sen\,(x\,-\,\dfrac{\pi}{3})\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,$
d)
$\,sen\,2x\,=\,sen\,x\,$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,\frac{\pi}{12}\,+\,k\pi\,$ ou $x\,=\,\frac{5\pi}{12}\,+\,k\pi\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,\frac{\pi}{12}\,+\,\frac{2k\pi}{3}\,$ ou $x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,\frac{2k\pi}{3}\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi\,$ ou $x\,=\,\pi\,+\,2k\pi\rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,2k\pi\,$ ou $x\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\, \frac{2k\pi}{3}\rbrace\,$
×
(FEFAAP - 1977) Determinar os valores de x que satisfazem a equação $\phantom{X}4\,sen^{\large\,4}\,x\,-\,11\,sen^{\large\,2}\,x\,+\,6\,=\,0\phantom{X}$

 



resposta: $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,\pm\,\dfrac{\pi}{3}\,+\,k\pi\,\rbrace\,$
×
Resolver as equações:
a)
$\,sen\,x\,=\,sen\,\dfrac{\,\pi\,}{7}\,$
b)
$\,cossec\,x\,=\,2\,$
c)
$\,2\,\centerdot\,sen^2\,x\,=\,1\,$
d)
$\,sen^2\,x\,=\,1\,$
e)
$\,2 \centerdot sen^2\,x\,+\,sen\,x\,-\,1\,=\,0\,$
f)
$\,2 \centerdot sen\,x\,-\,cossec\,x\,=\,1\,$
g)
$\,3 \centerdot tg\,x\,=\,2 \centerdot cos\,x\,$
h)
$\,sen\,x\,+\,cos\,2x\,=\,1\,$
i)
$\,cos^2\,x\,=\,1\,-\,sen\,x\,$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{7}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{6\pi}{7}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\pm \frac{\pi}{4}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{4}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{3\pi}{2}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
e) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{3\pi}{2}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
f) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{7\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,2k\pi - \frac{\pi}{6}\,\rbrace\,$
g) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
h) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
i) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
×
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as seguintes equações:
a)
$\,sen^2\,x\,=\,\dfrac{\;1\;}{\;4\;}\,$
b)
$\,sen^2\,x\;-\;sen\,x\;=\;0\,$
c)
$\,2\,\centerdot\,sen^2\,x\,-\,3\,\centerdot\,sen\,x\,+\,1\,=\,0\,$
d)
$\,2\,\centerdot\,cos^2\,x\,=\,1\,-\,sen\,x\,$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{7\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,- \frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,k\,\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
d)$\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{-\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\,x\,=\,\frac{7\pi}{6}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$

×
Resolver as equações a seguir:
a)
$\,cossec\;x\;=\;cossec\;\dfrac{\,2\pi\,}{\;3\;}\,$
b)
$\,sen\;x\;=\;\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\;2\;}\,$
c)
$\,sen\,x\;=\;1\,$
d)
$\,sen\,x\;=\;-1\,$
e)
$\,sen\,x\;=\;\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,$

 



resposta: a) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\;=\;\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi\;{\text ou }\,x\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
b) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\;=\;\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi\;{\text ou }\,x\,=\,\frac{2\pi}{3}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
c) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\;=\;\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi \rbrace\,$
d) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\;=\;\frac{3\pi}{2}\,+\,2k\pi\,\rbrace\,$
e) $\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\;=\;\frac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;{\text ou }\,x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi \rbrace\,$

×
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}tg\,2x\;=\;1\phantom{X}$

 



resposta:
Devemos notar que se a tangente de 2x é 1, então $\,tg 2x = tg\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,$
Temos então:
$\,2x\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,+\,k\pi\;\Rightarrow$ $\;x = \dfrac{\,\pi\,}{\,8\,}\,\,+\,\dfrac{k\pi}{2},\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
O conjunto solução então:
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\phantom{X}|\phantom{X}x\,=\,\dfrac{\pi}{8}\,+\,\dfrac{k\pi}{2}\, ;\phantom{X} k\,\in\,\mathbb{Z}\rbrace\,$
×
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}cos\,2x\;=\;0\phantom{X}$

 



resposta:
Devemos notar que se o cosseno de 2x é zero, então $\,2x = \pm\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,+\,2k\pi\;\Rightarrow$ $\;x = \pm\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,\,+\,k\pi,\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
O conjunto solução então:
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\phantom{X}|\phantom{X}x\,=\,\pm\,\dfrac{\pi}{4}\,+\,k\pi\,,\phantom{X} k\,\in\,\mathbb{Z}\rbrace\,$
×
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}cos\,x\;=\;-\,\dfrac{\;\sqrt{\,3\,}\;}{\;2\;}\phantom{X}$

 



resposta:
Devemos notar que $\,-\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,=\,cos\,\dfrac{\,5\pi\,}{\,6}\,$, então a equação torna-se $\phantom{X}cos\,x\;=\;\,cos\,\dfrac{\,5\pi\,}{\,6}\phantom{X}$
$\,\left\{\begin{array}{rcr} x\,= \pm\,\dfrac{\,5\pi\,}{\,6\,}\,+\,2\,k\pi \\ \,k\,\in\,\mathbb{Z}\phantom{XXXX} \\ \end{array} \right.\,$
Donde obtemos o conjunto solução:
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\phantom{X}|\phantom{X}x\,=\,\pm\,\dfrac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi\,,\phantom{X} k\,\in\,\mathbb{Z}\rbrace\,$
×
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}sen\,x\;=\;\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\phantom{X}$

 



resposta:
Devemos notar que $\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,=\,sen\,\dfrac{\,\pi\,}{\,6}\,$, então a equação torna-se $\phantom{X}sen\,x\;=\;\,sen\,\dfrac{\,\pi\,}{\,6}\phantom{X}$
$\,\left\{\begin{array}{rcr} x\,= & \dfrac{\,\pi\,}{\,6\,}\,+\,2\,k\pi \phantom{XXXX} \\ ou \\ x\,= & \left(\,\pi\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{\,6\,}\,\right)\,+\,2\,k\pi \\ \end{array} \right.\,$
$\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
Donde obtemos o conjunto solução:
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\phantom{X}|\phantom{X}x\,=\,\dfrac{\pi}{6}\,+\,2k\pi\;$ ou $\;x\,=\,\dfrac{5\pi}{6}\,+\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\rbrace\,$
×
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}sen\,x\;=\;sen\,\dfrac{\;\pi\;}{\;5\;}\phantom{X}$

 



resposta:
ciclo trigonométrico senx igual sen pi sobre 5
1. x pode ser:
$\,x\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{5}\,+\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$ ou
2. x pode ser também:
$\,x\,=\,\left(\pi\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{5}\right)\,+\,2k\pi\,=\,$$\dfrac{\,4\pi\,}{5}\,+\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
$\,S\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,=\,\frac{\pi}{5}\,+\,2k\pi\,$ $\,{\text ou}\,x\,=\,\frac{4\pi}{5}\,+\,2k\pi,\phantom{X}k\,\in\,\mathbb{Z}\rbrace\,$
×
Unindo-se as extremidades dos arcos da forma $\phantom{X}\pm \dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,+\,\dfrac{\,n\pi\,}{\,2\,}\phantom{x} (n\;\in\;\mathbb{Z})\phantom{X}$ obtém-se:
a)
quadrado
b)
retângulo
c)
octógono
d)
octógono regular
e)
hexágono
 
 

 



resposta: (C)
×
Fazer o gráfico da função $\phantom{X}f(x) = 2 \centerdot sen x\phantom{X}$ e determinar o seu período e seu conjunto Imagem.

 



resposta: p = 2π e Im = [-2, 2]
×
Construir o gráfico da função $\,f\,:\,{\rm I\!R}\rightarrow\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\phantom{X}f(x) = 1 + \operatorname{cos}\left(\,2x\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\phantom{X}$

 



resposta:
gráfico da função com cosseno

×
Determinar o conjunto domínio, o conjunto imagem e o período da função $\phantom{X}y\,=\,2\,+\,3\operatorname{cos}\left(2x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right)\phantom{X}$.

 



resposta: domínio: $\,\mathbb{D}\,=\,{\rm\,I\!R}\,$ - imagem: $\,Im\,=\,\left[\,-1;\,5\,\right]\,$ - período: p = π
×
(PUC PR) Se $\,f(x)\,=\,sen\,x\,,\;\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,$, então:
a)
$\;0\,\lt\,f(6)\,\lt\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
b)
$\;-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,0\;$
c)
$\;-1\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
d)
$\;\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
e)
$\;\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$

 



resposta: (B)
×
Traçar o gráfico da função f(x) = 1 + sen 2x .
plano xOy quadriculado

 



resposta:
gráfico da função 1 mais seno de 2x

×
Com relação à função $ \,f:\,{\rm\,I\!R}\,\rightarrow\,{\rm\,I\!R}\, $ definida por $ \phantom{X}f(x)\,=\,1\,+\,sen\,3x\phantom{X} $ forneça:

a) o conjunto imagem
b) o período


 



resposta: a)
O valor do seno varia entre -1 e 1, inclusive.
Então o seno de 3x também varia entre -1 e 1.
$\phantom{X}\;-1\;\leqslant\;sen\;3x\;\leqslant\;1\phantom{X}\;$
Vamos somar 1 a cada membro da expressão acima:
$\phantom{X}\;0\;\leqslant\;1\;+\;sen\;3x\;\leqslant\;2\phantom{X} $
$\phantom{X}\;0\;\leqslant\;f(x)\;\leqslant\;2\phantom{X} $
Como f(x) varia entre 0 e 2 (inclusive), o conjunto imagem é $\,Im\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\,\rbrace\,$ ou
Im = [0,2]
b)
Um arco 3x executa uma volta completa no ciclo trigonométrico quando o valor de 3x varia entre 0 e 2π .
$\phantom{X} 0\;\leqslant\;3x\;\leqslant\;2\pi\phantom{X}\Rightarrow$ $\phantom{X} 0\;\leqslant\;x\;\leqslant\;\dfrac{\;2\pi\;}{3}\phantom{X}$
Então um período da função inicia-se em 0 e termina em $\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\,$.
$\phantom{X} p\,=\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\,-\,0\,=\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\phantom{X}$
×
Calcular cos(a + b), sendo dado sen a = -3/5 e cos b = 1/3 ,
sendo que a e b estão no intervalo $\phantom{X}\left]\,\dfrac{\,3\,\pi\,}{2}\,;\,2\pi\,\right[\phantom{X}$

 



resposta:
Lembramos que cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
Então:
Passo 1 - Calcular o cos a
$\,cos\,a\,=\,+\,\sqrt{\,1\,-\,sen^2\,a\,}\,=\,\dfrac{\,4\,}{5}\,$
Passo 2 - Calcular o sen b
$\,sen\,b\,=\,-\,\sqrt{\,1\,-\,cos^2\,b\,}\,=\,\dfrac{\,-\,2\,\sqrt{\,2\,}\,}{3}\,$
Passo 3 - Calcular o cos (a + b)
$\,cos\,(a\,+\,b)\,=\,cos\,a\,\centerdot\,cos\,b\,-\,sen\,a\,\centerdot\,sen\,b\,=$ $\dfrac{\,4\,}{5} \centerdot \dfrac{\,1\,}{3}\,-\,(-\dfrac{\,3\,}{5})\, \centerdot\,(-\,\dfrac{\,2\,\sqrt{\,2\,}}{3})\,=\,$ $\dfrac{4}{\,15\,} - \dfrac{\,6\,\sqrt{\,2\,}}{15}\,=$
$\boxed{\;\dfrac{\,\,4\,-\,6\sqrt{\,2\,}}{15}\;}\,$
×
Calcular sen 75°.

 



resposta:
Lembramos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Então:
$\,sen\,75^o\,=\,$ $\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=\,$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,cos\,30^o\,+\,cos\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,=\,$ $\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,+\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,\centerdot\,\dfrac{\,1\,}{2}\,\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{4}\,+\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{4}\,$
$\phantom{X}\boxed{\;sen\,75^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,6\,}\,+\,\sqrt{\,2\,}\,}{4}\,}\phantom{X}$
×
No triângulo da figura são conhecidos os ângulos  = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.
triângulo ABC conhecidos os ângulos A, B e o lado c

Pede-se:
a) a medida em graus do ângulo C;
b) a medida em metros dos lados a e b;
c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.


 



resposta:
Resolução:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$

b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$
Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$
$\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$
$\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
$\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$

$\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}}{2}\,}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\, =$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=\,$ $13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel{\sqrt{\,2\,}} }{\cancel{\sqrt{\,2\,}}\,}\,=\,13\,\sqrt{\,3\,}\, m\phantom{X}$

$ \phantom{X}b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\;=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,}{\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}}{\sqrt{\,2\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,} = \dfrac{\,13\,\sqrt{\,6\,}}{2}\; m\phantom{X}$


×
Veja exercÍcio sobre: cilindro circular reto