(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
O triângulo retângulo $\,OAB\,$ gira em torno do cateto $\,OA\,$, determinando um sólido no espaço. O volume gerado pela região $\,OAM\,$ é igual ao gerado pela região $\,OMB\,$. Então a razão $\,\dfrac{AM}{AB}\,$ será:
a)
$\,\dfrac{1}{2}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{3}\,$
c)
$\,\sqrt{2}\,$
d)
$\,2\sqrt{2}\,$
e)
$\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$
resposta:
Considerações:
Uma região gerada por um triângulo retângulo girando uma volta completa em torno de um de seus catetos é um cone circular reto chamado de cone de revolução.
Observe atentamente a figura ao lado e verifique que: 1. o triângulo retângulo OAB gira em torno do cateto OA gerando o cone circular representado com superfície verde. 2. o triângulo retângulo OAM interno gira em torno do cateto OA gerando o cone circular interno representado na cor cinza. A reta que contém o segmento OA é chamada eixo de ambos os cones.
Segundo o enunciado: 1. o volume do cone interno cinza gerado pelo triângulo OAM é o mesmo volume que o cone externo gerado pelo triângulo OAB subtraído o volume interno do cone gerado por OAM. Como na figura, o volume do cone externo verde subtraído o cone interno cinza é igual ao volume do cone interno cinza. 2. o examinador deseja a razão $\;\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$, que é a razão do cateto inferior de OAM sobre o cateto inferior de OAB: $\;\rightarrow\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\;=\;\dfrac{(a)}{(a\,+\,b)}$ Resolução:
Volume gerado pela região OAM é $\,\dfrac{\pi(a)^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=\,\dfrac{\pi H(a)^{\large 2}}{3}\;\;$(I) Volume gerado pela região OMB é :(volume do cone gerado OAB) subtraído (volume gerado por OAM): $\,\dfrac{\pi(\overline{AB})^{\large 2}\centerdot H}{3}\, - \,\dfrac{\pi(\overline{AM})^{\large 2}\centerdot H}{3}\phantom{X}=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (\overline{AB})^{\large 2}\,-\,(\overline{AM})^{\large 2} \right)\;\;=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)\;\;$(II)
Conforme o enunciado, igualando (I) e (II) temos: $\,\require{cancel} \cancel{\dfrac{\pi H}{3}}(a)^{\large 2}\, = \,\cancel{\dfrac{\pi H}{3}}\left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)$
O volume de um cilindro circular reto é 640π cm³ e a altura é 10 m . Calcular o volume do cone circular reto, cuja base é equivalente à do cilindro e a geratriz igual à do cilindro.
A área lateral de um cone de revolução é o dobro da área da base. Calcule o volume do cone, sabendo que ele é equivalente a um cilindro de 1 m de altura e que tem por base um círculo de raio igual à altura do cone.
(ENE) Na base de um cone, cujo volume é igual a $\;144\,\pi\;$ m³ , está inscrito um hexágono regular de área $\;54\sqrt{3}\;$m² . A área total desse cone é:
(PUC) A medida dos lados de um triângulo equilátero $\;ABC\;$ é $\;a\;$ . O triângulo $\;ABC\;$ gira em torno de uma reta $\;r\;$ do plano do triângulo, paralela ao lado $\;\overline{BC}\;$ e passando pelo vértice $\;A\;$. O volume do sólido gerado por esse triângulo vale:
