Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(FGV - 1978) O perímetro da figura abaixo é:
a)
$2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$
b)
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
c)
$4 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$
d)
$\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
e)
$5$
figura do exercício m1504250926.png

 



resposta: Alternativa C
×
(CESGRANRIO - 1980) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120° . A maior diagonal deste paralelogramo mede:
a)
$5$
b)
$6$
c)
$\sqrt{40}$
d)
$\sqrt{37}$
e)
$6,5$

 



resposta: (D)
×
(UFGO - 1980) No triângulo abaixo, os valores de x e y , nesta ordem, são:
a)
$\;2\;$ e $\;\sqrt{3}$
b)
$\;\sqrt{3}\,-\,1\;\;$ e $\;2$
c)
$\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\;$ e $\;\dfrac{\sqrt{6}\,-\,\sqrt{2}}{3}$
d)
$\;\dfrac{\sqrt{6}\,-\,\sqrt{2}}{3}\;$ e $\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
e)
$\;2\;$ e $\;\sqrt{3}\,-\,1$
representação do triângulo

 



resposta: (E)
×
(MACKENZIE - 1977) Na figura ao lado, $\;AB\,$ vale:
a)
60
b)
65
c)
70
d)
75
e)
não sei.
polígono com lado AB

 



resposta: Alternativa D
×
(PUC-SP - 1981) Qual é o valor de x na figura ao lado?
a)
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
b)
$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
c)
$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
d)
$\frac{15\sqrt{3}}{4}$
e)
$\frac{20\sqrt{3}}{3}$
triângulo retângulo com ângulos 30 graus e hipotenusa 40

 



resposta: Alternativa E
×
(CESESP - 1985) Considere a figura abaixo, onde G é o baricentro do triângulo ABC.

triângulo com baricentro
Assinale a única alternativa que corresponde à razão entre as áreas dos triângulos ABG e EGD.
a)
1
b)
2
c)
3
d)
4
e)
12

 



resposta: Alternativa D
×
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a)
$\sqrt{3}\;$m
b)
$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m
c)
$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m
d)
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m
e)
$2\sqrt{2}\;$m
gangorra

 



resposta:
gangorra da vunesp

Considerações:

A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.

A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício
Resolução:
O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais.
$\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$
$\;\dfrac{1,2\, +\, 1,8}{1,8}\,=\,\dfrac{H}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\centerdot\dfrac{30}{18}\;\Rightarrow\;$
$\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{1}\centerdot\dfrac{15}{18}\;\Rightarrow\;$
$\;H\,=\,\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\;\Rightarrow\;$ corresponde à
Alternativa D

×
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a)
210
b)
315
c)
410
d)
415
e)
521

 



resposta: (A)
×
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,
a)
$\;18\sqrt{427}$
b)
$\;27\sqrt{427}$
c)
$\;36\sqrt{427}$
d)
$\;108\sqrt{3}$
e)
$\;45\sqrt{427}$

 



resposta:
hexágono regular inscrito na circunferência
Considerações:
Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R.
2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício).
3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2
$\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$

pirâmide hexagonal
Resolução:
Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$
1. calcular $\;R\;$:
$\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm
2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$:
A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$.
O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$
3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$):
Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$.
Pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$
$\;(VM)^{\large 2}\,=\,(OM)^{\large 2}\,+\,(OV)^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $\,(VM)^{\large 2}\,=\,(3\sqrt{3})^{\large 2}\,+\,20^{\large 2}\;=\;27\,+\,400\,=\,427\;\Rightarrow\;$ $\, \overline{VM}\,=\,\sqrt{427}\;$
4. Calcular a área lateral da pirâmide:
A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto
Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa
(A)
×
Com os dados das figuras abaixo, determine m .
$\alpha \cong 36^o53'$ $\beta \cong 53^o07'$
triângulos retângulos com ângulos alfa e beta

 



resposta: m = 3,6
×
Com os dados das figuras abaixo, determine h .
$\alpha\,\cong\,36^o53'$
$\beta\,\cong\,53^o07'$
dois triângulos ABH e A'H'C

 



resposta: h = 4,8
×
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

 



resposta:
prisma triangular regular

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$
aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero
Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).
$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$
2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)
Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$
3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$
$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

×
Na figura, calcule "$\;x\;$" em função de $\;a\;$.
combinação de triângulos retângulos

 



resposta: Resolução:
$\;z^2\; = a^2 + a^2$
$\;y^2\; = z^2 + a^2 \; \Longrightarrow\; y^2 \; = a^2 + a^2 + a^2$
$\;w^2\; = y^2 + a^2\; \; \Longrightarrow\; w^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$
$\;x^2\; = w^2 + a^2 \;\Longrightarrow \; x^2 \; = 5 \centerdot a^2$
então
Resposta:
$\;x\; = \; a \sqrt{5}$
Observe que $\;x\; = a \centerdot \sqrt{n + 1}\;$, sendo $\;n\;$ o número de triângulos retângulos.
×
Os itens a seguir definem medidas de lados de triângulos. Classifique cada triângulo de 1 a 6, associando-os de acordo com o código:
A - um triângulo retângulo
B - um triângulo acutângulo
C - um triângulo obtusângulo
D - um triângulo equiângulo
E - não é triângulo
1.
lados 3, 4 e 5
( )
2.
lados 12, 15 e 16
( )
3.
lados 5, 12 e 13
( )
4.
lados 10, 12 e 14
( )
5.
lados 2, 2 e 3
( )
6.
lados 2, 3 e 5
( )

 



resposta:
1.
lados 3, 4 e 5
(A)
2.
lados 12, 15 e 16
(B)
3.
lados 5, 12 e 13
(A)
4.
lados 10, 12 e 14
(B)
5.
lados 2, 2 e 3
(C)
6.
lados 2, 3 e 5
(E)

×
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo $\phantom{X}ABC\phantom{X}$ é retângulo e $\;\overline{AH}\,=\,h\;$ é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a)
$x\;=\;b\centerdot c$
b)
$x^2\;=\;h\centerdot c$
c)
$x^2\;=\;b\centerdot d$
d)
$x^2\;=\;b\centerdot c$
e)
nenhuma das anteriores
triângulo retângulo ABC com altura h

 



resposta: (D)
×
(PUC - 1973)
Na figura, sabendo-se que:

$\overline{AE}\;=\;30\;$m , $\;\;\overline{BD}\;=\;40\;$m
$\;\overline{AB}\;=\;50\;$m , $\;\;\overline{EC}\;=\;\overline{CD}$

Então, $\;\overline{AC}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ valem, respectivamente:
a)
25 m e 25 m
b)
32 m e 18 m
c)
38 m e 12 m
d)
40 m e 10 m
e)
nenhuma das
anteriores
triângulos retângulos EAC e CBD

 



resposta: alternativa B
×
Determine a medida do segmento $\phantom{X}{\large x}\phantom{X}$
mostrado na figura:
triângulos

 



resposta: $\;x\;=\;2\sqrt{11}$

×
Com os dados da figura ao lado,
determine o valor de " x ".
dois triângulos retângulos

 



resposta: x = 12
×
Na figura abaixo, determinar o valor de "x" .
triângulos cruzados

 



resposta: x = 25
×
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo $\,ABC\,$ os ângulos $\;\hat{B}\text{ e } \hat{C}\;$ são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e $\,\operatorname{sen}C\,=\,{\large \frac{\operatorname{sen}B}{2}}\;$, calcule as medidas dos catetos.

 



resposta: $\,\frac{3 \sqrt{5}}{5}\,\text{cm. e }\,\frac{6\sqrt{5}}{5}\,\text{cm.}$

×
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M do segmento BD , tracemos o segmento MP paralelo a AD , onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC . Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a)
MN + MP = 2BM
b)
MN + MP = 2CM
c)
MN + MP = 2AB
d)
MN + MP = 2AD
e)
MN + MP = 2AC
triângulo ABC com mediana AD e prolongamento de AC

 



resposta:
Resolução:
1.$\;\overline{MN}\;$ é paralelo a $\;\overline{AD}\;$ e $\;\overline{AD}\;$ é paralelo a $\;\overline{MP}\;$
$MN // AD\;\Rightarrow\;$ $\;\triangle BMN\thicksim\triangle BDA\;\Rightarrow\;\dfrac{MN}{DA}\,=\,\dfrac{BM}{BD}\;\Rightarrow\;$ $\;MN\,=\,DA\centerdot\, \dfrac{BM}{BD}\phantom{X}$(I)
$AD // MP\;\Rightarrow\;\triangle MPC\thicksim\triangle DAC\;\Rightarrow\;$ $\; \dfrac{MP}{DA}\,=\, \dfrac{MC}{DC}\;\Rightarrow\;$ $\;MP\,=\,DA\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\phantom{X}$(II)
2. Fazendo a soma (I) + (II):
$\;MN\,+\,MP\,=\,$ $\,DA\,\centerdot\,\dfrac{BM}{BD}\,+\,DA\,\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{DC})$
3.$\;AD\;$ é a mediana relativa ao lado $\;BC\;\Rightarrow\;D\;$ é ponto médio de $\;BC\;\Rightarrow\;BD\,=\,DC\;$.
$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM + MC}{BD}\right)$
4. Da figura, $\;BM\,+\,MC\,=\,BC\;$, então concluimos que:
$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left( \dfrac{BC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{(BD\,+\,DC)}{BD}\;\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\dfrac{(BD\,+\,BD)}{BD}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{2(BD)}{BD}\;\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,2\;\Leftrightarrow\;$
$\;\boxed{\;MN\,+\,MP\,=\,2\,\centerdot\,DA\;}$
Resposta:
(D)

×
Na figura a seguir, o ângulo $\,A\hat{D}C\,$ mede  46°  e os triângulos $\,ACD\,$, $\,DBE\,$ e $\,EAF\,$ são isósceles de bases $\,\overline{AD}\,$, $\,\overline{DE}\,$ e $\,\overline{EF}\,$, respectivamente.
Quanto mede o ângulo $\,D\hat{E}F\,$?
triângulos com ângulo de 46 graus

 



resposta: o ângulo DEF mede 44°
×
Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² e o volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.

 



resposta:

Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.

Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal...
Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETO e suas bases são POLÍGONOS REGULARES.

RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases

REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.

A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases.
A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases.
O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.

prisma quadrangular regular indicados lados, bases e arestas
paralelepípedo prisma quadrangular de lado da base a e altura h
Resolução:
Área Lateral$\;A_L\,=\,4\centerdot ah\,=\,32\;\Rightarrow\;ah\,=\,8\,m^2\phantom{X}$(I)
Volume$\,=\,A_{\large base}\centerdot h\,=\,a^{\large 2}\centerdot h \,=\,24\phantom{X}$(II)
Dividindo (II) por (I) temos:
$\;\dfrac{a^{\large 2}h}{ah}\,=\,\dfrac{24}{8}\;\Rightarrow\;\boxed{\,a\,=\,3\,m\,}\;$
Substituindo $\;a\,=\,3\;$ em (I):
$\;3\centerdot h\,=\,8\;\Rightarrow\;\boxed{\,h\,=\,\dfrac{8}{3}\,m\,}\;$
Resposta:As dimensões do prisma são
aresta da base igual a 3 m e altura igual a 8/3 m
×
(FUVEST - 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
12 pontos em segmentos
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é:
a)
200
b)
204
c)
208
d)
212
e)
220

 



resposta: Alternativa D
Resolução:
segmentos de reta com pontos fuvest 2018
Na figura, os pontos F, G, H e I são evidentemente colineares e, como tal, não podem formar triângulos entre si.
O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é $\;C_{\large 4,3}\;$ e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos.
Os pontos X, Y, W e Z são TAMBÉM colineares e não podem formar triângulos entre si.
O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é $\;C_{\large 4,3}\;$ e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos.
O número de combinações de 12 pontos tomados três a três para formar triângulos é $\;C_{\large 12,3}\;$.
Então o número de triângulos com vértices nos pontos da figura é:

$\phantom{X}C_{\large 12,3}\, - \, 2\centerdot C_{\large 4,3}\;$ $\;\Rightarrow\,\dfrac{12!}{3!9!}\,-\,2\centerdot\dfrac{4!}{3!1!}\,=\,\dfrac{12\centerdot 11 \centerdot10}{6}\,-\,2\centerdot 4\,=$ $\,220\,-\,8\,=\,212$

212 é a resposta correspondente ao item D.

×
(FUVEST - 1977)
Dados:
$\,\overline{MP}\;\bot\;s\,$;$\;\overline{MQ}\;\bot\;t\,$;$\;\overline{MQ}\;\bot\;\overline{PQ}\,$;$\;\overline{MP}\,=\,6$
Então $\,\overline{PQ}\,$ é igual a:
a)
$\,3\sqrt{3}\,$
b)
$\,3\,$
c)
$\,6\sqrt{3}\,$
d)
$\,4\sqrt{3}\,$
e)
$\,2\sqrt{3}\,$
ângulo cujos lados são as semi-retas s e t cortadas pela reta MP perpendicular a s

 



resposta: Alternativa B
×
(MACKENZIE - 1979) No triângulo retângulo ABC da figura, b = 1 e c = 2. Então x vale:
a)
$\,\sqrt{2}\,$
b)
$\,\dfrac{3}{2}\,$
c)
$\,\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\,$
d)
$\,\dfrac{2}{3}\,$
e)
$\,\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\,$
triângulo ABC reto em A com bissetriz x de A traçada

 



resposta: Alternativa E
×
(FATEC - 1979) Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a)
$\,\dfrac{12}{5}\,$ cm
b)
$\,\dfrac{5}{13}\,$ cm
c)
$\,\dfrac{12}{13}\,$ cm
d)
$\,\dfrac{25}{13}\,$ cm
e)
$\,\dfrac{60}{13}\,$ cm

 



resposta: Alternativa E
×
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se $\;\overline{AG}\,=\,\overline{CD}\,+\,2\;\,$ e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
a)
]1; 5[
b)
]0; 4[
c)
]2; 6[
d)
]3; 7[
e)
]4; 8[
dois quadrados com lados de medida respectivas a e b

 



resposta: (B)
×
(FATEC - 1979) Na figura, ABCD é um retângulo. $\,\overline{AB}\,=\,4\,$, $\,\overline{BC}\,=\,1\;$ e $\,\overline{DE}\,=\,\overline{EF}\,=\,\overline{FC}\;$. Então $\,\overline{BG}\,$ é:
a)
$\,\dfrac{\sqrt{5}}{4}\,$
b)
$\,\dfrac{5}{2}\,$
c)
$\,\dfrac{9}{4}\,$
d)
$\,\dfrac{11}{4}\,$
e)
$\,\dfrac{5}{\sqrt{2}}\,$
retângulo ABCD cuja base coincide com a base do triângulo ABG

 



resposta: Alternativa B
×
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é:
a)
$\,5\sqrt{15}\,$ cm
b)
$\,2\sqrt{19}\,$ cm
c)
$\,3\sqrt{21}\,$ cm
d)
$\,4\sqrt{17}\,$ cm
e)
nenhuma das anteriores
 
 

 



resposta: Alternativa D
×
O triângulo retângulo $\,OAB\,$ gira em torno do cateto $\,OA\,$, determinando um sólido no espaço. O volume gerado pela região $\,OAM\,$ é igual ao gerado pela região $\,OMB\,$. Então a razão $\,\dfrac{AM}{AB}\,$ será:
a)
$\,\dfrac{1}{2}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{3}\,$
c)
$\,\sqrt{2}\,$
d)
$\,2\sqrt{2}\,$
e)
$\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$
triângulo retângulo OAB com segmento OM

 



resposta:
cone de revolução gerado pelo triângulos AOB
Considerações:

Uma região gerada por um triângulo retângulo girando uma volta completa em torno de um de seus catetos é um cone circular reto chamado de cone de revolução.

Observe atentamente a figura ao lado e verifique que:
1. o triângulo retângulo OAB gira em torno do cateto OA gerando o cone circular representado com superfície verde.
2. o triângulo retângulo OAM interno gira em torno do cateto OA gerando o cone circular interno representado na cor cinza.
A reta que contém o segmento OA é chamada eixo de ambos os cones.
Segundo o enunciado:
1. o volume do cone interno cinza gerado pelo triângulo OAM é o mesmo volume que o cone externo gerado pelo triângulo OAB subtraído o volume interno do cone gerado por OAM. Como na figura, o volume do cone externo verde subtraído o cone interno cinza é igual ao volume do cone interno cinza.
2. o examinador deseja a razão $\;\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$, que é a razão do cateto inferior de OAM sobre o cateto inferior de OAB: $\;\rightarrow\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\;=\;\dfrac{(a)}{(a\,+\,b)}$
Resolução:
Volume gerado pela região OAM é $\,\dfrac{\pi(a)^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=\,\dfrac{\pi H(a)^{\large 2}}{3}\;\;$(I)
Volume gerado pela região OMB é :(volume do cone gerado OAB) subtraído (volume gerado por OAM): $\,\dfrac{\pi(\overline{AB})^{\large 2}\centerdot H}{3}\, - \,\dfrac{\pi(\overline{AM})^{\large 2}\centerdot H}{3}\phantom{X}=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (\overline{AB})^{\large 2}\,-\,(\overline{AM})^{\large 2} \right)\;\;=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)\;\;$(II)
Conforme o enunciado, igualando (I) e (II) temos:
$\,\require{cancel} \cancel{\dfrac{\pi H}{3}}(a)^{\large 2}\, = \,\cancel{\dfrac{\pi H}{3}}\left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)$
$\, (a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2}$
$\, 2(a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$
dividindo os dois lados da igualdade por $\,2(a\,+\,b)^{\large 2}$
$\dfrac{2(a)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{(a\,+\,b)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\dfrac{\cancel{2}(a)^{\large 2}}{\cancel{2}(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}{2\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\left(\dfrac{a}{a + b}\right)^{\large 2}\,=\,\dfrac{1}{2}\,\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \dfrac{a}{a + b}\,=\,+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\;\boxed{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,} & \; \\ \cancel{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\,}\mbox{ (valor negativo)} \phantom{XX}\, & \\ \end{array} \right.\,$
Como trata-se de medida de comprimento e/ou distância, valores negativos não são considerados
A razão $\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$ é igual a $\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$ que corresponde à
Alternativa E
×
(UFMG - 2001) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos F , A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo $\;A\hat{B}C\;$ mede
a)
39°
b)
44°
c)
47°
d)
48°
e)
52°
figura polígono com lados CB e ED paralelos

 



resposta: (D)
×
(UFRN - 1999)
Na figura adiante, o ângulo θ mede:
a)
94°
b)
93°
c)
91°
d)
92°
e)
103°
ângulos de 90, 33 e 31 graus

 



resposta: (D)
×
(PUC) Tomam-se dez pontos sobre uma circunferência. Quantos triângulos podemos contruir com vértices nesses pontos?
a)
12
b)
120
c)
360
d)
720
e)
$\,\frac{\;10!\;}{3}\,$

 



resposta: (B)
×
(CESGRANRIO) Considere 21 pontos dos quais três nunca são colineares. Usando estes pontos como vértices de um triângulo, qual o número total de triângulos distintos que estes pontos determinam?

 



resposta: 1330 triângulos
×
(VUNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos é:
a)
26
b)
90
c)
25
d)
45
e)
42

 



resposta: (D)
×
(PUCC) Considere os pontos da representação geométrica do produto cartesiano A×A , onde A = {1, 2, 3} . Quantos triângulos diferentes podemos formar tendo 3 desses pontos como vértice?
a)
496
b)
54
c)
76
d)
84
e)
504
produto cartesiano de AxA com A = {1, 2, 3}

 



resposta: (C)
×
Determine o tamanho mínimo e a posição de um espelho plano vertical para que um observador de altura H, cujos olhos estão à altura h, possa se ver de corpo inteiro.
quadriculado para desenho de imagem no espelho

 



resposta:
Resolução:Vamos construir a imagem no espelho plano e definir a relação entre as medidas.
espelho com imagem simétrica
Passo 1. Marcar os pontos A' e B' simétricos a A e B em relação à superfície do espelho. Desenhar a imagem A'B' simétrica, que na figura (em azul) representa a imagem de AB no espelho.
A medida da distância entre a pessoa AB até o espelho (p) é igual à medida da distância da imagem A'B' ao espelho (p')
destaque ao segmento A'O
Passo 2. Para o observador enxergar a imagem do seu pé, ou seja, enxergar o ponto A, o raio de luz que atinge o seu olho no ponto O deve passar pela imagem do pé no ponto A'.
Desenhe então o raio que parte de A' e atinge O. Lembre-se que atrás do espelho é o ambiente escuro, por isso a porção do raio A'O atrás do espelho é representada como linha pontilhada.
Note na figura que o ponto de cruzamento do raio A'O com o espelho E é o ponto chamado I1. O segmento OI1 representa o raio de luz; o segmento I1A' pontilhado representa o prolongamento do raio que define a imagem da sola do pé A'.
destaque ao segmento AI1

Passo 3. O raio I1O é resultado da reflexão da luz real de um raio que partiu de A e atingiu o espelho no ponto I1.
Desenhar então o raio AI1.
destaque ao raio de luz OB'
Passo 4. Analogamente, para que o observador possa ver a imagem do topo da sua cabeça, o olho deve receber um raio que passa pelo ponto alto da imagem de sua cabeça, o ponto B'.
Desenhamos um raio de luz que atinge O e cujo prolongamento passa pela imagem do topo da cabeça B'.
Note que esse raio de luz OB' cruza com o espelho num ponto que foi chamado I2. O segmento B'I2 é representado por linha pontilhada porque está na área escura do espelho, ou seja, é apenas um prolongamento do raio de luz.
O segmento I2O é o raio de luz na área clara (real), por isso é representado por linha contínua.
destaque ao segmento OI2
Passo 5. O raio I2O é resultado da reflexão de um raio real que partiu de B e atingiu o espelho no ponto I2.
Desenhar então o raio BI2: o raio que, refletido, gerou a imagem do ponto mais alto da cabeça.
semelhança de triângulos no espelho plano
Passo 6. Do esquema ao lado, podemos concluir que o triângulo A'OB' e o triângulo I1OI2 são semelhantes pelo critério (AA∾).
O ângulo $\hat{O}$ é comum a ambos os triângulos A'OB' e I1OI2
Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_2}$ e $\hat{B'}$ são ângulos correspondentes.
Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_1}$ e $\hat{A'}$ são ângulos correspondentes.
tamanho mínimo de em espelho plano vertical
Passo 7. Conforme o enunciado, a altura do observador em frente ao espelho é H então $\;\overline{AB}\;=\;H\,$
Vamos chamar a dimensão vertical mínima do espelho $\;\overline{I_1I_2}\;$ de $\;d\;$.
Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .Da semelhança dos triângulos OI1I2 e OA'B' decorre que:
$\;\dfrac{\;H\;}{\;d\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{|p|}\;\Rightarrow\;H\,=\,2d\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;d\;=\;\dfrac{\;H\;}{\;2\;}\;}\;$

O tamanho mínimo de um espelho plano, na posição vertical, para que uma pessoa possa ver seu corpo inteiro, independe da distância entre a pessoa e o espelho.

posição do espelho em relação ao chão
Passo 8. Vamos chamar de D a posição do espelho em relação ao chão, então $\;\overline{CI_1}\;=\;D\,$
A distância do olho do observador até o chão, segundo o enunciado, é $\;h\;$, então $\;\overline{AO}\;=\;h\,$.
O triângulo AOA' é semelhante ao triângulo CI1A' pelo critério (AA∾)
O ângulo $\;\hat{A}\;$ e o ângulo $\;\hat{C}\;$ são ângulos retos;
O ângulo $\;\hat{A'}\;$ é um ângulo comum aos dois triângulos.
Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .
Da semelhança dos triângulos AOA' e CI1A' decorre que:
$\;\dfrac{\;h\;}{\;D\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{\;|p|\;}\;\Rightarrow\;h\;=\;2D\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;D\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,2\,}\;}$

A posição de um espelho plano relativa ao solo para que um observador consiga ver-se de corpo inteiro independe da distância do observador ao espelho (p).


×
Calcule x na figura:
triângulos semelhantes

 



resposta: x = 1
×
Num triângulo ABC , o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4 , respectivamente. Então:
a) BC < 4
b) BC < 5
c) BC > 7
d) 5 < BC < 7
e) nenhuma das anteriores é correta

 



resposta: (D)
×
O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110 m e triplica quando se aproxima mais 50 m. Calcular a altura da torre.

 



resposta: 88 m
×
No triângulo da figura são conhecidos os ângulos  = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.
triângulo ABC conhecidos os ângulos A, B e o lado c

Pede-se:
a) a medida em graus do ângulo C;
b) a medida em metros dos lados a e b;
c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.


 



resposta:
Resolução:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$

b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$
Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$
$\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$
$\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
$\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$

$\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}}{2}\,}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\, =$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=\,$ $13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel{\sqrt{\,2\,}} }{\cancel{\sqrt{\,2\,}}\,}\,=\,13\,\sqrt{\,3\,}\, m\phantom{X}$

$ \phantom{X}b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\;=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,}{\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}}{\sqrt{\,2\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,} = \dfrac{\,13\,\sqrt{\,6\,}}{2}\; m\phantom{X}$


×
Veja exercÍcio sobre:
geometria plana
semelhança de triângulos
perímetro