Exercícios sobre

(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?

$k = {\dfrac{11}{3}}$

$k = {\dfrac{15}{4}}$

$k = 2$

$k ={\dfrac{1}{2}}$

nenhuma das respostas anteriores

resposta: alternativa B
×

(ITA - 1990) Na figura abaixo $\phantom{X} O\phantom{X}$ é o centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por $\;E\;$ e $\;F\;$ é tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos $\;1\;$, $\;2\;$, e $\;3\;$ é dada, respectivamente , por 49° , 18° , 34° , determinar a medida dos ângulos 4 , 5 , 6 e 7 . Nas alternativas abaixo considere os valores dados iguais às medidas de 4, 5 , 6 e 7 , respectivamente.

97°, 78°, 61°, 26°

102°, 79°, 58°, 23°

92°, 79°, 61°, 30°

97°, 79°, 61°, 27°

97°, 80°, 62°, 29°

resposta: (D)
×

(UFGO) Simplificando a expressão $\,\dfrac{\operatorname{tg}a\,+\,\operatorname{tg}b}{\operatorname{cotg}a\,+\,\operatorname{cotg}b}\,$, obtém-se:

$\,\operatorname{tg}a \centerdot \operatorname{tg}b\,$

$\,\operatorname{cotg}a \centerdot \operatorname{cotg}b\,$

$\,\operatorname{tg}(a\,+\,b)\,$

$\,\operatorname{cotag}(a\,+\,b)\,$

$\,\operatorname{tg}a \centerdot \operatorname{cotg}b\,$

resposta: Alternativa A
×

(MACKENZIE - 1978) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:

$2\,\sqrt{3}\,-\,\pi$

$3\,\sqrt{2}\,-\,\pi$

$\dfrac{\pi}{2}$

$4\,-\,\pi$

$5\,-\,\pi$

resposta: Alternativa D
×

(ITA - 2004) Duas circunferência concêntricas $\;C_1\;$ e $\;C_2\;$ têm raios de $\;6\,cm\;$ e $\;6\sqrt{2}\,cm\;$, respectivamente. Seja $\;\overline{AB}\;$ uma corda de $\;C_2\;$, tangente à $\;C_1\;$. A área da menor região delimitada pela corda $\;\overline{AB}\;$ e pelo arco $\; \stackrel \frown{AB}\;$ mede, em $cm^2$,

$\,9(\pi - 3)$

$\,18(\pi + 3)$

$\,18(\pi - 2)$

$\,18(\pi + 2)$

$\,16(\pi + 3)$

resposta: alternativa C
×

(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.

Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.

Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.

resposta:

Resolução:

Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$.
$\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3.
$\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$.
O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e

a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $

A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:

$\;\dfrac{|3a\,-\,2\sqrt{2}\,+\,5\,+\,2\sqrt{2}\,-\,3a|}{\sqrt{a^2\,+\,1}}\,=\,3 \;\Rightarrow$ $\; \dfrac{5}{a^2\,+\,1}\,=\,3 \;\Rightarrow $ $\; a\;=\;\dfrac{4}{3}$ ou $\;a = -\, \dfrac{4}{3}$.

As equações das tangentes são:
$\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$

(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.

resposta:

Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:

1.	o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a $r_1$ (a reta tangente).
	Então $\alpha = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o\;$ e sabemos que a tangente de $30^o$ é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. $tg30^o = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente} = \dfrac{OA}{AP} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow$ $ \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow \; r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\;$
2.	o arco $\stackrel \frown{AOB}$, suplementar de $\stackrel \frown{AOC}$, mede $120^o$.
	Então a superfície $S = \dfrac{120^o}{360^o} \centerdot \pi (r)^2 = \dfrac{\pi}{3}(\dfrac{\sqrt{6}}{3})^2 = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$

Resposta:$S = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
×

Calcular o lado $\;a\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ sabendo-se que $\;\hat{B}\,=\,60^o\,\text{, } \hat{C}\,=\,45^o \;\text{ e }\; \overline{AB}\,=\, 2\text{ m}$.

resposta: Resolução:
$\,\triangle ADB \left\{ \operatorname{sen}60^o \,=\,{\large \frac{h}{2}}\; \Rightarrow \;h\,=\,\sqrt{3} \text{m.}\right.\,$
Então $\,BD^2 + (\sqrt{3})^2\,=\,2^2 \;\Rightarrow\;BD\,=\,1\text{m.}\,$
$\,\triangle ADC \left\{ \operatorname{tg}45^o \,=\,{\large \frac{\sqrt{3}}{CD}} \; \Rightarrow \; CD = \sqrt{3} \text{m.} \right.\,$
Logo: $\,a\,=\,BD\,+\,CD \;\Rightarrow\;$ $\boxed{\;a\,=\,(1\,+\,\sqrt{3})\text{ m.}\;}\,$
×

(VUNESP) Se $\;x \,\text{, }\;y\;$ são números reais tais que:

$\,y\,=\, \dfrac{ \operatorname{cos^3}x \,-\, 2 \, \centerdot \,\operatorname{cos}x \,+\, \operatorname{sec}x }{ \operatorname{cos}x \, \centerdot \,\operatorname{sen^2}x } \;$, então:

$\,y\,=\,\operatorname{sec^2}x\,$

$\,y\,=\,\operatorname{tg^2}x\,$

$\,y\,=\,\operatorname{cos^2}x\,$

$\,y\,=\,\operatorname{cossec^2}x\,$

$\,y\,=\,\operatorname{sen^2}x\,$

resposta: (B)
×

(VUNESP) Sejam $\;A\;$, $B$ e $C \;$ conjuntos de números reais. Sejam $\;f\,:\, A \rightarrow B \;$ e $\;g\,:\, B \rightarrow C \;$ definidas, respectivamente, por:

$\left\{\begin{array}{rcr} \,f(x)\, &=\,\operatorname{sen}x \text { , } \vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{ , }\,x \,\in\, \, A\,\; \phantom{XX} \\ \,g(x)\,&=\,{\Large \frac{1}{1\,-\,x^2}} - 1 \text{ , }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{ , }\,x \,\in\, \, B \\ \end{array} \right.\,$

Se existe $\;f\,:\, A \rightarrow C \;$, definida por $\,h(x)\,=\,g{\large [f(x)]} \text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{, }\,x \,\in\, \, A\;$, então:

$\,h(x)\,=\,\operatorname{cos}x\,$

$\,h(x)\,=\,\operatorname{cos^2}x\,$

$\,h(x)\,=\,\operatorname{tg^2}x\,$

$\,h(x)\,=\,\operatorname{sen^2}x\,$

$\,h(x)\,=\,\operatorname{sec^2}x\,$

resposta: (C)
×

Na figura, calcular $\,h\;$ e $\,d\,$.

resposta: Resolução:
$\,\triangle BCD \left\{ \operatorname{tg}60^o \,=\,{\large \frac{h}{d}} \; \Rightarrow \; h\,=\,d\sqrt{3} \right.\,$
$\,\triangle ACD \left\{ \operatorname{tg}30^o \,=\,{\large \frac{h}{d\,+\,40}} \; \Rightarrow \; h\,=\,\frac{\sqrt{3}(d\,+\,40)}{3} \right.\,$
Então $\,d\sqrt{3}\,=\,\frac{\sqrt{3}(d\,+\,40)}{3} \,\Rightarrow\; d\,=\,20\,m$
e portanto $\;h\,=\,20\sqrt{3}\,m\,$

Resposta: $\; \boxed{ d\,=\,20\,m}\;\;\boxed{h\,=\,20\sqrt{3}\,m}$
×

Sabendo-se que $\;\hat{x}\;$ é um ângulo agudo e que $\;\operatorname{tg}\hat{x}\,=\,{\large \frac{5}{12}}\;$, calcule o $\,\operatorname{sen}\hat{x}\,$

resposta: Resolução:
$\,\operatorname{sen^2}x \,=\,{\large \frac{\operatorname{tg^2}x}{1\,+\,\operatorname{tg^2}x}}\; \Rightarrow \operatorname{sen^2}x \,=\,{\large \frac{\frac{25}{144}}{1\,+\,\frac{25}{144}}} \,=\,\frac{25}{169}$
Então $\,\boxed{\operatorname{sen}x\,=\,\frac{5}{13}}\;\text{ (para x agudo) }$
×

Calcular $\,y\,=\,{\Large \frac{\operatorname{cos}x\,-\,\operatorname{sec}x}{\operatorname{sen}x\,-\,\operatorname{cossec}x}}\;$, sabendo que $\,\operatorname{tg}x\,=\,3\;$.

resposta: Resolução:
$\,y\,=\, {\large \frac{\operatorname{cos}x\,-\,\frac{1}{\operatorname{cos}x}}{\operatorname{sen}x\,-\,\frac{1}{\operatorname{sen}x } }}\,=\, {\Large \frac{ \frac{ \operatorname{cos^2}x\,-\,1}{\operatorname{cos}x}}{\frac{\operatorname{sen^2}\,-\,1}{\operatorname{sen}x}} }\,=\,$ $ {\Large \frac{ - \frac{\operatorname{sen^2}x}{\operatorname{cos}x} } {- \frac{\operatorname{cos^2}x }{\operatorname{sen}x } } } \,=\,$ $ {\Large \frac{\operatorname{sen^3}x }{\operatorname{cos^3}x} \,=\,\operatorname{tg^3}x}$
Então $\,\boxed{y\,=\,3^3\,=\,27}\,$
×

Simplificar a expressão: $\,y\,=\,{\large \frac{\operatorname{cos^3}a \,-\,\operatorname{sen^3}a}{1\,+\,\operatorname{sen}a \;\centerdot\; \operatorname{cos}a } }\;$.

resposta: Resolução:
$\,y\,=\,{\large \frac{(\operatorname{cos}a - \operatorname{sen}a)(\operatorname{cos^2}a\,+\,\operatorname{cos}a \;\centerdot\; \operatorname{sen}a\,+\operatorname{sen^2}a)}{(1\,+\,\operatorname{sen}a \;\centerdot\; \operatorname{cos}a)} } \,=\,$
$\,=\,{\large \frac{(\operatorname{cos}a\,-\,\operatorname{sen}a)(1\,+\,\operatorname{sen}a \;\centerdot\; \operatorname{cos}a)}{(1\,+\,\operatorname{sen}a \;\centerdot\; \operatorname{cos}a)}}\,=\,\boxed{\operatorname{cos}a\,-\,\operatorname{sen}a}$

×

(PUC) Qual é o valor de$\phantom{X}{\large x}\phantom{X}$na figura ao lado?

${\large\frac{\sqrt{2}}{3}}$

${\large\frac{5\sqrt{3}}{3}}$

${\large\frac{10\sqrt{3}}{3}}$

${\large\frac{15\sqrt{3}}{4}}$

${\large\frac{20\sqrt{3}}{3}}$

resposta: (E)
×

Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .

resposta:

Resolução:

Sendo o centro da circunferência
o ponto C (x , 3) conforme a figura:

circunferência tangente ao ponto zero três no plano cartesiano

Sendo $\;\overline{CA}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ raios da mesma circunferência,
são segmentos de medidas iguais:

$ \overline{CA}\,=\overline{CB}\,$
$\;\sqrt{ (x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,6)^{\large 2}} \,= $ $\,\sqrt{ (x\,-\,0)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,3)^{\large 2} } $

Elevando ao quadrado, simplificando, temos:

$(x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,9\,=\,x^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $x\,=\,-5\,$

Então o centro é $\,C\,(-5\,,\,3)\,$ e o raio é $\,\overline{BC}\,=\,5$

e a equação da circunferência:

$\,(x\,+\,5)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow\;$ $\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\;}\,$
×

(ITA - 1990) Sejam $\,a \mbox{ e } b\,$ constantes reais positivas. Considere $\,x\,=\,a^{\large 2}\operatorname{tg}t\,+\,1\phantom{X}\mbox{ e }\phantom{X}y^{\large 2}\,=\,b^{\large 2} \operatorname{sec^2}t\,-\,b^{\large 2}\,$ em que $\,0\,\leqslant \,t\, < \dfrac{\pi}{2}\,$. Então uma relação entre $\,x\, \mbox{ e }\,y\,$ é dada por:

$\,y\,=\,\dfrac{b}{a}(x\,-\,1)^{\large 2}\;\mbox{, }\,x\,\geqslant \,a$

$\,y\,=\,\dfrac{b}{a^{\large 2}}(x\,-\,1)\;\mbox{, }\, \vee \! \negthickspace \negthickspace \negthinspace - \;x\,\in \, \mathbb{R} \,$

$\,y\,=\,\dfrac{b^{\large 2}}{a^{\large 4}}(x\,-\,1)^{\large 2}\;\mbox{, }\,x\,\geqslant \,1$

$\,y\,=\,\dfrac{-b}{a^{\large 2}}(x\,-\,1)\;\mbox{, }\,x \geqslant \, 1$

$\,y\,=\,\dfrac{a^{\large 2}}{b^{\large 4}}(x\,-\,1)\;\mbox{, }\,x\,\leqslant \,1$

resposta: alternativa D
×

(ITA - 1990) Sabendo-se que $\phantom{X}\theta\phantom{X}$ é um ângulo tal que $\; 2 \operatorname{sen}(\theta\,-\,60^o)\,=\,\operatorname{cos}(\theta + 60^o) \,$ então $\,\operatorname{tg}\theta\,$ é um número da forma $\,ax\,+\,b\sqrt{3}\,$ em que:

$\,a\; \mbox{ e } \;b\,$ são reais negativos.

$\,a\,+\,b\,=\,1\,$.

$\,a^2 \,+\, b^2\,=\,1\,$.

$\,a\; \mbox{ e } \;b\,$ são inteiros.

$\,a\; \mbox{ e } \;b\,$ são pares.

resposta: alternativa B
×

(ITA - 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por $\,Re\left(\dfrac{1}{z}\right)\,=\,C\,$ onde $\,z\,$ é um complexo não nulo e $\,C\,$ é uma constante real positiva. Para $\,C\,$ temos uma

circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,C\,$.

circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

circunferência tangente ao eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.

circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.

circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

resposta: (D)
×

(FUVEST - 2015) No triângulo retângulo $\;ABC\;$, ilustrado na figura, a hipotenusa $\,\overline{AC}\,$ mede 12 cm e o cateto $\,\overline{BC}\,$ mede 6 cm. Se $\,M\,$ é o ponto médio de $\,\overline{BC}\,$, então a tangente do ângulo $\,\widehat{MAC}\,$ é igual a:

$\,\dfrac{\sqrt{2}}{7}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{3}}{7}\,$

$\,\dfrac{2}{7}\,$

$\,\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\,$

$\,\dfrac{2\sqrt{3}}{7}\,$

resposta: Alternativa B
×

Determine o valor de x nos casos:

a) $\,s\,$ é perpendicular a $\;\overline{AB}\,$

circunferência de centro O com corda AB e reta s perpendicular a AB

b) $\,\overline{PA}\,$ e $\,\overline{PB}\,$ são tangentes à circunferência

ponto P externo é intersecção de duas tangentes à circunferência de centro O

resposta: a) 6b) 9
×

As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.

dois círculos de tamanhos diferentes tangentes entre si

resposta: 18 cm e 10 cm
×

Determine o valor de x, sendo O o centro da circunferência nos casos:

circunferência de centro O duas retas concorrentes em O formando 110 graus

circunferência de centro O traçados diâmetro e tangente

resposta: a) 125° b) 145°
×

(CESGRANRIO - 1985) As circunferências da figura de centros M, N e P, são mutuamente tangentes externamente. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Então a área do triângulo MNP é:

$\,\sqrt{6}\,$

$\,\dfrac{5}{2}\,$

$\,3\,$

$\,2\sqrt{3}\,$

$\,2\sqrt{2}\,$

três circunferências tangentes externamente mutuamente entre si

resposta: Alternativa E
×

(MACKENZIE - 1977) Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é $\,3\pi\,$, a área do triângulo equilátero ABC é:

$\,7\sqrt{3}\,+\,12\,$

$\,7\,+\,4\sqrt{3}\,$

$\,19\sqrt{3}\,$

$\,11\sqrt{3}\,$

não sei

triângulo equilátero com 3 circunferências tangentes ao lado da base

resposta: Alternativa A
×

(U.F.VIÇOSA - 1990) Na figura abaixo, a circunferência de centro P e raio 2 é tangente a três lados do retângulo ABCD de área igual a 32. A distância do ponto P à diagonal AC vale:

$\,2\dfrac{\sqrt{5}}{5}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{5}}{5}\,$

$\,2\sqrt{5}\,$

$\,3\dfrac{\sqrt{5}}{5}\,$

retângulo com círculo interno tangente a 3 lados

resposta: Alternativa A
×

Responda as afirmações de A) até E) como CERTO ou ERRADO.

A)
Se $\,\overline{AB}\,\cong\,\overline{BD}\,$ então $\,A\,=\,D\,$.
 ( )

B)
Todo plano é convexo.
 ( )

C)
A circunferência é convexa.
 ( )

A união de duas
regiões convexas é convexa.

( )

E)
A reta é convexa.
 ( )

resposta:

(ERRADO)

Resolução:
Podemos ter:

onde a medida $\,(\overline{AB})\,$ é igual à medida de $\,(\overline{BD})\,$ e $\,A\,$ é diferente de $\,D\,$.

(CERTO)

Resolução:
Seja um plano $\,\alpha\,$:
Se $\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\alpha& \\ B\,\in\,\alpha& \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow\;$ $\,\overline{AB} \;\subset\;\alpha\;\;\forall\;A,B\;\in\,\alpha\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow \;\alpha \mbox { é convexo}\,$

(ERRADO)

Resolução:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ B\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ \end{array} \right.\;$ $ \Rightarrow\; \mbox{ o segmento}\;\overline{AB} \;\not\subset\; \mbox{ na circunferência}$
$\,\Rightarrow \;$ circunferência não é convexa.

segmentos de reta AB com A e B pontos de uma circunferência

(ERRADO)

Resolução:

Como no exemplo, S₁ e S₂ são círculos; S₁ é convexo e S₂ é convexo.Na figura, S₁ ∪ S₂ = S que não é convexa, pois ∃ A,B ∈ S | AB ⊄ S

círculos S1 e S2 tangentes externamente com pontos A pertence a S1 e B pertence a S2 ligados

(CERTO)

$\,\forall\,A,B\,\in\,\mbox{ reta } \;\Rightarrow\,\overline{AB}\,\subset\,\mbox{reta}\,$

Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica conforme a figura. A abertura das taças é de 4 cm de raio interno, com profundidade de $\,8\sqrt{2}\,$cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?

resposta:

Na figura, a pérola de colar esférica de centro O e raio 1 cm encalhada no fundo da taça com formato de cone — raio da base do cone $\;\overline{AB}\,=\,4\,$cm e altura do cone $\;h \,=\,8\sqrt{2}\,$cm. Foi traçada a altura do cone, o segmento $\;\overline{AC}\;$.

Se a esfera está apoiada sobre a face lateral do cone, então a aresta $\;\overline{BC}\;$ é tangente à esfera no ponto $\;P\;$ e o raio $\;\overline{OP}\;$ é perpendicular a $\;\overline{BC}\;$.

Consideremos o ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;ABC\;$ reto em $\;\hat{A}\;$.

$\phantom{X}\operatorname{tg}\alpha\,=\,\dfrac{\mbox{cateto oposto}\,\overline{AB}}{\mbox{cateto adjacente}\,\overline{AC}}\,=$ $\,\dfrac{4}{8\sqrt{2}}\phantom{X}(I)$

Consideremos o mesmo ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;POC\;$ reto em $\;\hat{P}\;$.

$\phantom{X}\operatorname{tg}\alpha\,=\,\dfrac{\mbox{cateto oposto}\,\overline{OP}}{\mbox{cateto adjacente}\,\overline{PC}}\,=$ $\,\dfrac{\mbox{raio da esfera }\overline{OP}}{\overline{PC}}\,=\,\dfrac{1}{\overline{PC}}\phantom{X}(II)$

De (I) e (II) decorre que:

$\phantom{X}\dfrac{1}{\overline{PC}}\,=\,\dfrac{4}{8\sqrt{2}}\,$ $\;\Rightarrow\;\overline{PC}\,=\,\dfrac{8\sqrt{2}}{4}\;$ $\Rightarrow\;\overline{PC}\,=\,2\sqrt{2}\,$

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras no triângulo $\;POC\;$:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\;\overline{PC}\,=\,2\sqrt{2}\;& \\ \mbox{cateto}\;\overline{OP}\,=\,1\longrightarrow & \mbox{(raio da esfera)}\\ \mbox{hipotenusa}\, \overline{OC}\,=\,d\,+\,1 & \\ \end{array} \right.\,$

$\,(d\,+\,1)^2\,=\,1^2\,+\,(2\sqrt{2})^2\;\Rightarrow\;d\,+\,1\,=\,\sqrt{9}\,$ $\Rightarrow\;d\,=\,3\,-\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\,d\,=\,2\,}\,$, que corresponde à

Alternativa C
×

A altura de um cone circular reto é h . A geratriz está inclinada em relação ao plano da base de um ângulo de 60°. Determine o raio da base.

resposta:

cone com geratriz formando 60 graus com o plano da base

Observe na figura que (sendo um cone circular reto) a geratriz é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura e o raio da base.

Considerando-se que a tangente de 60° é igual a $\,\sqrt{\,3\;}\,$ temos:

$\,\operatorname{tg}60^o\,=\,\dfrac{{\text cateto}\;{\text oposto}}{{\text cateto}\;{\text adjacente}}\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,r\,}\,\Rightarrow$

$\,\dfrac{\;h\;}{\;r\;}\,=\,\sqrt{\,3\;}\;\Rightarrow\;r\,=\,\dfrac{\;h\;}{\;\sqrt{\,3\;}\;}\,=$ $\,\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\,$

O raio da base mede $\,r\,=\,\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\,$
×

Determine o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,tg^2\,\dfrac{\,\pi\,}{\,5\,}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,4\pi\,}{\,5\,}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,6\pi\,}{\,5\,}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,8\pi\,}{\,5\,}\phantom{X}$.

resposta: positivo
×

Disponha em ordem crescente os números reais $\phantom{X}tg\dfrac{\,\pi\,}{\,6\,}\,$, $\,tg\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,$, $\,tg\,\pi\,$, $\,tg\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,$, $\,tg\dfrac{\,3\pi\,}{\,4\,}\,$, $\,tg\dfrac{\,2\pi\,}{\,3\,}\,$.

resposta: $\,tg\frac{\,2\pi\,}{\,3\,}\,\lt\,tg\frac{\,3\pi\,}{\,4\,}\,\lt\,tg\,\pi\,\lt\,tg\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\,\lt\,tg\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,\lt\,tg\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$
×

Dado $\phantom{X}cos\,x\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,6\,}\phantom{X}$, $\phantom{X}0\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$, determine $\,tg\,x\,$

resposta: $\,\sqrt{35\,}\,$
×

Sendo $\phantom{X}sen\,x\,=\,-\dfrac{\,1\,}{\,3\,}\phantom{X}$, $\phantom{X}\pi\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$, obtenha $\,tg\,x\,$

resposta: $\,\frac{\sqrt{2\,}}{4}\,$
×

Com $\phantom{X}0\,\lt\,x\,\lt\,\pi\;$ e $\;sen\,x\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,8\,}\,$, quanto vale $\,tg\,x\,$?

resposta: $\,\pm\,\frac{\sqrt{7\,}}{21}\,$
×

Se $\,x \in {\rm I\!R}\,$ é tal que $\,|sen\,x|\,=\,|cos\,x|\,$, quanto vale $\,tg\,x\,$?

resposta: $\,\pm\,1\,$
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Calcule o valor da expressão $\phantom{X}y\,=\,3\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{4}\,-\,2\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{3}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{6}\,-\,tg\,\dfrac{\,3\pi\,}{4}\phantom{X}$

resposta: 2
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Dado que $\,tg\,x\,=\,-2\;$, calcule o valor de $\,\dfrac{\,4\,cos\,x\,}{\,3\,sen\,x\,}\,$.

resposta: -2/3
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Sabendo que $\phantom{X}tg\,x\,=\,3\phantom{X}$, $\phantom{X}\pi\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$, calcule $\,sen\,x\;-\;cos\,x\,$.

resposta: $\,-\frac{\sqrt{10\,}}{5}\,$
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Para quais valores de $\,x\,$ temos $\,tg\,x\,=\,\sqrt{\,3\,}\,$

resposta: $\,x\,=\,\frac{\;\pi\;}{3}\,+\,k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
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Calcule, se existir:

$\,cotg\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$

$\,cotg\,\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$

$\,cotg\,4\pi\,$

$\,cotg\,(-4\pi)\,$

resposta: a)0 b)0 c)não existe d)não existe
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Sendo $\phantom{X}x\phantom{X}$ um arco do 3º quadrante , qual o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,tg\,\left(\,x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,\centerdot\,cotg\,\left(\,x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,}{\,cotg\,x\,\centerdot\,cotg\,(x\,+\,\pi)\,}\phantom{X}$

resposta: positivo
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Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}tg\,2x\;=\;1\phantom{X}$

resposta:

Devemos notar que se a tangente de 2x é 1, então $\,tg 2x = tg\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,$
Temos então:
$\,2x\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,+\,k\pi\;\Rightarrow$ $\;x = \dfrac{\,\pi\,}{\,8\,}\,\,+\,\dfrac{k\pi}{2},\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
O conjunto solução então:

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\phantom{X}|\phantom{X}x\,=\,\dfrac{\pi}{8}\,+\,\dfrac{k\pi}{2}\, ;\phantom{X} k\,\in\,\mathbb{Z}\rbrace\,$
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