Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas:Se $\;f\;$ é uma função de $\;{\rm I\!N}\;\text{ em }\;{\rm I\!R}\;$ definida por $\;f(x)\,=\,a_x\;$, com $\;x\in {\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; a_x \in {\rm I\!R}\;$, então:
()
a)
$\;f\;$ é uma sequência de números reais.
()
b)
$\;D(f)\,=\,{\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; CD(f)\,=\,{\rm I\!R}$
$\;(a_n)\;$ é estritamente crescente se, e somente se, $\;a_n < a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
e)
$\;(a_n)\;$ é estritamente decrescente se, e somente se, $\;a_n > a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
f)
$\;(a_n)\;$ é constante se, e somente se, $\;a_n\,=\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
g)
$\;(a_n)\;$ é crescente se, e somente se, $\;a_n\,\leqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
h)
$\;(a_n)\;$ é decrescente se, e somente se, $\;a_n\,\geqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
i)
$\;(a_n)\;$ é alternante se, e somente se, $\;a_n\;$ não é monotônica.
(FUVEST - 2015) Dadas as sequências $\phantom{X}a_n\,=\,n^2\,+\,4n\,+\,4\,$, $\phantom{X}b_n\,=\,2^{\Large n^2}\,$, $\phantom{X}c_n\,=\,a_{n\,+\,1}\,-\,a_n\phantom{X}$ e $\phantom{X}d_n\,=\,\dfrac{b_{n\,+\,1}}{b_n}\,$, definidas para valores inteiros positivos de $\,n\,$, considere as seguintes afirmações:
De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim e não?
resposta: 4096 formas de responder Resolução: Cada resposta do questionário todo, consta de uma sequência $\phantom{X}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...\, ,\, a_{12})\phantom{X}$ onde cada $\,a_{\large i}\,$ vale S (sim) ou N (não). Além disso:
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências do tipo acima é: $\,\underbrace{2\,\centerdot\,2\,\centerdot\,...\,\centerdot\,2}_{\Large 12\;vezes} \, = 2^{\large 12}\,=\,4096$
Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é: $\,\underbrace{10\,\centerdot\,10\,\centerdot\;...\;\centerdot\,10}_{\Large 7\;vezes} \, = 10^{\large 7}\,=\,10 000 000$
As letras do código MORSE são formadas por sequências de traços (—) e pontos (●), sendo permitidas repetições. Por exemplo (—;●;—;●;●). Quantas letras podem ser representadas:
Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) se a escolha for feita com reposição? b) se a escolha for feita sem reposição?
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\,A\,$ o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52. Cada escolha consta de uma sequência do tipo $\phantom{XX}(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ onde $\,a_{\large 1}\,\in\,A,\,a_{\large 2}\,\in\,A,\,a_{\large 3}\,\in\,A,\,a_{\large 4}\,\in\,A,\,a_{\large 5}\,\in\,A\;$ (pois a escolha foi feita com reposição. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é:$\,\underbrace{52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52}_{\Large 5\;vezes} \, = 52^{\large 5}$
b)
Se a escolha é feita sem reposição então cada sequência $\;(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ é tal que cada elemento pertence a $\;A\;$ e são todos elementos distintos. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é $\,\underbrace{52\,\centerdot\,51\,\centerdot\,\centerdot\,50\,\centerdot\,49\,\centerdot\,48}_{\Large 5\;fatores} \, = 311875200\;$
Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo onde há um único vencedor em cada partida. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores?
Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?
resposta:
Resolução: Cada maneira de pintar a bandeira consiste de uma sequência de cinco cores distintas (sequência, porque as listras da bandeira estão numa ordem) escolhidas entre as oito existentes. Logo, esse número de sequências procurado é: $\phantom{XX}A_{\large 8,5}\,=\,\underbrace{\,8\,\centerdot\,7\,\centerdot\,6\,\centerdot\,5\,\centerdot\,4\,}_{\Large 5 fatores} \, = \,6720$ Resposta:
Uma urna contém $\,m\,$ bolas numeradas de 1 ate $\,m\,$; $\phantom{X}r\;(r \leqslant m)\,$ bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for: a) com reposição de cada bola após a extração, b) sem reposição de cada bola após a extração.
resposta: a) $\,m^{\large r}\;$ b)$\;\dfrac{m!}{(m\,-\,r)!}\;$ ×
Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II.
(COMSART - 1973) Três números, em progressão aritmética, apresentam uma soma igual a 9 e uma soma de seus quadrados igual a 59. Estes três números são dados por:
(MACKENZIE - 1974) As progressões aritméticas: (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 11, ...) têm 100 termos cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:
(MACKENZIE - 1974) A sequência $\,(\,a_1,\,a_2,\,a_3,\,.\,.\,.\,,\,a_{\large n}\,)\,$ é uma progressão aritmética de razão 2 e primeiro termo igual a 1. A função $\,f\,$ definida por $\,f(x)\,=\,ax\,+\,b\,$ é tal que $\,(f(a_1),\,f(a_2),\,f(a_3),\,.\,.\,.\,,\,f(a_{\large n}))\,$ é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo igual a 4. Então $\,f(2)\,$ é igual a:
(PUC - 1977) A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética: $\phantom{XXX}\dfrac{1\,-\,n}{n}\,,\;\dfrac{2\,-\,n}{n}\,,\;\dfrac{3\,-\,n}{n}\,,\;.\,.\,.\;,\phantom{X}$ é:
(CESCEM - 1975) Em uma sucessão, o termo geral segue a expressão $\,u_{\large n}\,=\,2n\,-\,1\;,\phantom{X}\forall\,n\,\geqslant \,1\,$. A soma dos 100 primeiros termos dessa sucessão é:
(PUC - 1976) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é $\phantom{X}n^{\large 2}\,+\,n\;,\phantom{X}\forall\,n\,\in\,\mathbb{N^*}\,$. Então a razão é:
(CESCEM - 1968) Na progressão em que o primeiro termo é $\,a_1\,$ e o k-ésimo termo é $\,a_{\large k}\,=\,2(k\,+\,n)\,-1\,$, a soma dos $\,n\,$ primeiros termos da progressão é:
(EAESP FGV - 1977) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é $\,(n\,+\,2)2n\,$. Se o termo de ordem n é tal que $\,20\,<\,a_{\large n}\,<\,26\,$, então n vale:
(FGV - 1971) Sabendo que a soma do segundo e do quarto termos de uma progressão aritmética é 40 e que a razão é $\,\dfrac{3}{4}\,$ do primeiro termo; a soma dos dez primeiros termos será:
(MACKENZIE - 1976) Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:
O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.
b)
Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.
c)
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n + 1) , qualquer que seja n ≥ 1 . Encontre o vigésimo termo dessa progressão.
resposta:
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é an = a1.qn - 1
a) De acordo com o enunciado $\require{cancel}$$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,15\;& \\ a_3\,=\,45\;& \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,a_3\,=\,a_1\,q^{3\,-\,1}\;\Longleftrightarrow$ $\;45\,=\,5\,q^2\;\Longleftrightarrow$ $\,q_1\,=\,3\;\,{\text e}\;\cancel{\,q_2\,=\,-3\,}$(a razão é positiva). A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula $\,\boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\;a_1\,(\,q^n\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}\;}\,$. No enunciado $a_1$ é 5 e a razão $q$ nós calculamos e é igual a 3 . Vamos calcular os 6 primeiros termos: $\,S_6\,=\,\dfrac{\;5\,(\,q^6\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}$ $\,=\,\dfrac{\;5\,(\,3^6\,-\,1\,)\;}{3\,-\,1}\,=\,1820$
b) A pergunta refere-se aos termos inteiros positivos entre 0 e 112, então o intervalo de números naturais é de 1 até 111, incluindo os extremos.
1. A soma de todos os inteiros positivos de 1 a 111 é dada por: $\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,1\phantom{XXXXXXXx} & \\ n\,=\,111\phantom{XXXXXXX} & \\ \boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;} \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,S_{111}\,=\,\dfrac{\,111(1\,+\,111)\,}{2}$ $\;= 6216$ A soma dos 111 primeiros números inteiros é 6216.
2. Vamos dividir 111 por 4 e encontrar quantos números entre 1 e 111 são múltiplos de 4
111
4
31
27
3
Notar que: ● o quociente é 27, então existem 27 múltiplos de 4 entre 1 e 111 ● o primeiro número divisível por quatro é a1 = 4 ● o último número divisível por 4 é igual a 111 menos o resto da divisão, então a27 = 111 - 3 = 108 ● A soma de todos os múltiplos de 4 menores que 112 é igual a $\,S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;\Rightarrow$ $\;S_{27}\;=\;\dfrac{\,27(4 + 108)\,}{2}$ $\;=\;1512 \;$
3. Basta subtrair: (soma dos inteiros menores que 112) menos (soma dos múltiplos de quatro menores que 112) = 6216 - 1512 = 4704.
c) A soma dos n primeiro termos é Sn = n(2n + 1) Então a soma dos 20 primeiros termos é: $\,S_{\large 20}\,=\,20(2\,\centerdot\,20\,+\,1)\,=\,820\,$ Para descobrir o 20º termo, vamos extrair da soma acima o valor da soma de todos os termos anteriores ao 20º, a saber, a soma de todos os termos até o 19º: $\,S_{\large 19}\,=\,19(2\,\centerdot\,19\,+\,1)\,=\,741\,$ O vigésimo termo é então 820 - 741 = 79
a) a soma dos 6 primeiros termos é 1820 b)a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4 é 4704c) o vigésimo termo é 79 ×
Determinar as sucessões aritméticas de três elementos que têm soma 15 e produto 80.
(FUVEST) Calcule os ângulos de um triângulo retângulo sabendo que eles estão em progressão geométrica.
resposta: (em graus) $\dfrac{90(\sqrt{90}\,-\,1)}{89}\; ; \dfrac{90(90 - \sqrt{90})}{89}\;; 90^o\;$ (em radianos) $\,\dfrac{3\pi}{4}\,-\,\dfrac{\pi\sqrt{5}}{4}\; ; \dfrac{\pi (\sqrt{5} - 1)}{4}\;; \dfrac{\pi}{2}\,$ ×
De uma P.A. com 10 elementos e razão r = k, vamos retirar o 2º, 3º, 5º, 6º, 8º e o 9º elementos. Os restantes 4 elementos, dispostos na mesma ordem, ainda formam uma P.A.. Qual a razão desta segunda P.A.?
(PUCC - 1982) Dada a Progressão Geométrica $\phantom{X}1,\;-\frac{\,\sqrt{\,2\,}}{\,2\,},\;\frac{\;1\;}{\;2\;},\;...\phantom{X}$, determine o seu 11º termo.
De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.
Determine os quatro primeiros termos da sequência definida por $\phantom{X}a_{\large n} = \dfrac{\,n\,-\,1\,}{n^{\large 2}}\, ,\phantom{X}\forall \;n\;\in\;{\rm I\!N}^*$
A sequência é $\,a_n\,=\,(0;\,\frac{1}{4};\,\frac{2}{9};\,\frac{3}{16}\,...\,)$ ×
(SANTA CASA) A partir da sucessão
1 × 8 =
10 - 2
2 × 8 =
20 - 4
3 × 8 =
30 - 6
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Verifica-se que a sequência (1 × 8 , 2 × 8 , 3 × 8 , ... , n × 8 , ...), onde n ∈ $\,{\rm I\!N}^*\,$, pode ser escrita na forma (a1 - b1, a2 - b2, ... , an - bn, ...). Então an + bn é igual a:
Iniciando em 2020 uma competição esportiva que irá se repetir de quatro em quatro anos, pergunta-se, em que ano será realizada esta competição pela quinquagésima vez?
A quinquagésima competição será realizada no ano 2216. ×
Com relação à seguinte sequência:$\phantom{X}(\frac{\,a\,-\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,6\,}{2}\,,\,...\,)\phantom{X}(a\,\in\,{\rm I\!R})\,$, pode-se afirmar que:
Um arquiteto dispôs as poltronas de um anfiteatro em filas. Colocou 6 poltronas na primeira fila, 10 na segunda, 14 na terceira e assim sucessivamente, sempre mantendo essa lei de formação de modo que a última fila tenha 94 poltronas. O número de filas é:
a) 21 b) 23 c) 25 d) 26 e) 27
resposta: (B)
Progressão aritmética, o termo geral $\,a_n\,=\,a_1\,+\,(n\,-\,1)r\,$ $\,94\,=\,6\,+\,(n\,-\,1)4\;\Rightarrow$ $\,(n\,-\,1)4\,=\,88\;\Rightarrow$ $\,n\;-\;1\;=\;22\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;n\,=\,23\;}\,$
