(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação $\;x^2 + y^2 + 2axy = 0\;$ é a reunião de duas retas, então: a) $a = 0$ b) $0 < |a| <1$ c) $|a|=1$ d) $|a|>1$ e) nenhuma das anteriores
a) se existir um(a) e um(a) só b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as) c) se existir um número finito porém maior que 2 d) se existirem infinitos(as) e) se não existir nenhum(a) de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
1º reta perpendicular a duas retas reversas. 2º plano paralelo a duas retas reversas. 3º dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra. 4º retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{CD}$ reversas, plano por $\overleftrightarrow{CD}$ e equidistante dos pontos $A$ e $B$.
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ . Sabe-se que $ABCD$ é um retângulo, $AE \perp AB$ e $AE \perp AD$ . Pode concluir que são perpendiculares as retas:
a) $EA$ e $EB$ b) $EC$ e $CA$ c) $EB$ e $BA$ d) $EA$ e $AC$ e) $AC$ e $BE$
(UFBA - 1981) Sendo $\alpha$ e $\beta$ dois planos e $r_{1}$ e $r_{2}$ duas retas, tais que $\alpha \; // \; \beta$, $r_1 \; \perp \; \alpha$ e $r_2 \; // \; \beta$, então $r_1$ e $r_2$ podem ser:
(CESCEM - 1968) Uma urna contém 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém $\,x\,$ bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas. Um primeiro experimento consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Num segundo experimento, as bolas das duas urnas são reunidas e destas, duas bolas são retiradas ao acaso. O valor mínimo de $\,x\,$ a fim de que a probabilidade de saírem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é:
(CESESP - 1986) Na figura abaixo as retas $\;r\;$ e $\;s\;$ são paralelas e as retas $\;t\;$ e $\;v\;$ são perpendiculares. Assinale, então, dentre as alternativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença: " os ângulos distintos $\;\alpha\;$ e $\;\beta\;$ são...
(CESGRANRIO - 1989) Na figura, as retas $\,{\large r}\,$ e $\,{\large r'}\,$ são paralelas, e a reta $\,{\large s}\,$ é perpendicular a $\,{\large t}\,$. Se o menor ângulo entre $\,{\large r}\,$ e $\,{\large s}\,$ mede 72°, então o ângulo $\alpha$ da figura mede:
(CESGRANRIO - 1990) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
(CESGRANRIO - 1991) As retas $\;r\;$ e $\;s\;$ da figura são paralelas cortadas pela transversal $\;t\;$. Se o ângulo $\;B\;$ é o triplo de $\;A\;$, então $\;B\; - \;A\;$ vale:
(UFMG - 1992) Os pontos $\;A, B, C, D\;$ são colineares e tais que $\;AB = 6$ cm, $\;BC = 2$ cm, $\;AC = 8$ cm e $\;BD = 1$ cm. Nessas condições, uma possível disposição desses pontos é:
(UFRPE - 1991) Observe que, na figura abaixo, a reta $\phantom{X}{\large \ell}\phantom{X}$ faz ângulos idênticos com as retas $\phantom{X}{\large \ell_1}\phantom{X}$ e $\phantom{X}{\large \ell_2}\phantom{X}$. A soma $\;\alpha\,+\,\beta\,+\,\gamma\;$ vale:
(COVEST - 1990) No triângulo ABC, o ângulo $\hat{A}$ mede 110°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C?
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$. $\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3. $\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$. O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
As equações das tangentes são: $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$
I) Nos primeiros dias de agosto, já considerávamos consolidada a situação de Helena.(predicado verbo-nominal) II) A ambição enérgica desses homens não conhece temor nem desalento.(predicado verbal) III) As relações do Dr. Camargo com a família do conselheiro pareciam estreitas e antigas.(predicado nominal)
a) I e II b) I e III c) II e III d) todas estão corretas e) todas estão erradas
(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.
resposta:
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a $r_1$ (a reta tangente).
Então $\alpha = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o\;$ e sabemos que a tangente de $30^o$ é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. $tg30^o = \frac{cateto\: oposto}{cateto\: adjacente} = \dfrac{OA}{AP} = \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow$ $ \dfrac{r}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\;\Longrightarrow \; r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\;$
2.
o arco $\stackrel \frown{AOB}$, suplementar de $\stackrel \frown{AOC}$, mede $120^o$.
Então a superfície $S = \dfrac{120^o}{360^o} \centerdot \pi (r)^2 = \dfrac{\pi}{3}(\dfrac{\sqrt{6}}{3})^2 = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas:Se $\;f\;$ é uma função de $\;{\rm I\!N}\;\text{ em }\;{\rm I\!R}\;$ definida por $\;f(x)\,=\,a_x\;$, com $\;x\in {\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; a_x \in {\rm I\!R}\;$, então:
()
a)
$\;f\;$ é uma sequência de números reais.
()
b)
$\;D(f)\,=\,{\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; CD(f)\,=\,{\rm I\!R}$
$\;(a_n)\;$ é estritamente crescente se, e somente se, $\;a_n < a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
e)
$\;(a_n)\;$ é estritamente decrescente se, e somente se, $\;a_n > a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
f)
$\;(a_n)\;$ é constante se, e somente se, $\;a_n\,=\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
g)
$\;(a_n)\;$ é crescente se, e somente se, $\;a_n\,\leqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
h)
$\;(a_n)\;$ é decrescente se, e somente se, $\;a_n\,\geqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
i)
$\;(a_n)\;$ é alternante se, e somente se, $\;a_n\;$ não é monotônica.
(MACKENZIE) Em $\,\phantom{X} y\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\;,\;(a\,\neq \, 0) \phantom{X}\,$, com $\,a\,$, $\,b\;$ e $\;c\,$ reais, tem-se $\,y\,$ máximo para $\,x\,=\,2\,$. Então:
( I )
$\,{\large \frac{b}{a}}\,=\,-4\;$ e $\;a > 0\,$
( II )
$\,| {\large \frac{b}{a}} | \,=\,4\;$ e $\;a\,$ qualquer
Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1 ; 0), B (0 ; 3) e C (2 ; 4) . Determinar os coeficientes angulares e lineares das três retas suportes dos lados.
resposta: $\,m_{AB}\,=\,3\,$ e $\,h_{AB}\,=\,3\,$; $\,m_{BC}\,=\,{\large \frac{1}{2}}\,$ e $\,h_{BC}\,=\,3\,$; $\,m_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,$ e $\,h_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,\,$;
Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos: a) A (0 ; 3) e B (-1 ; 0) b) C (1 ; -2) e D (-3 ; 4) c) E (3 ; 4) e F (-4 ; -3)
resposta: a) y = 3x + 3 b) $\,y\,=\,-{\large \frac{3}{2}}x - {\large \frac{1}{2}}\,$ c) y = x + 1
Se $\,AB\,\neq\,0\,$, então as retas $\phantom{X}Ay\,+\,Bx\,+\,C\,=\,0 \phantom{X}$ e $\phantom{X}By\,-\,Ax\,+\,D\,=\,0\phantom{X}$ são perpendiculares.
( II )
$Ax\,+\,2y\,+\,7\,=\,0 \phantom{X}$ é equação de um feixe de retas paralelas.
( III )
Se duas retas $\phantom{X}y\,=\,ax\,+\,b\;$ e $\;y\,=\,cx\,+\,d\phantom{X}$ são concorrentes na origem, então: b = d = 0 .
(ITA - 1990) Sejam as retas $\,r\,$ e $\,s\,$ dadas respectivamente pelas equações $\phantom{X}3x\,-\,4y\,+\,12\,=\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}3x\,-\,4y\,+\,4\,=\,0\phantom{X}$. Considere $\,{\large \ell}\,$ o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente $\,r\,$ e $\,s\,$. Uma equação que descreve $\,{\large \ell}\,$ é dada por:
Possuía alguns carros, quais sejam dois Passats e três Corcéis.
Podemos afirmar que:
a)
todas estão corretas.
c)
apenas a I está correta.
e)
apenas a III está correta.
b)
todas estão incorretas.
d)
apenas a II está correta.
resposta: Alternativa A I. senão - equivale a salvo, exceto. II. para mim - complemento nominal do adjetivo fácil III. Quais concorda com o antecedente (carros). O verbo (sejam) no plural concorda com o sujeito composto (dois Passats e três Corcéis).
Dirija com segurança, conservando sempre a direita.
(2)
Conserve na direita nas autos-estrada.
(3)
Em autoestradas, mantenha-se à direita.
(4)
À noite, luz baixa ao cruzar veículos.
(5)
À tardinha, luz baixa ao cruzar-se com veículo.
(6)
Trânsito proibido das 0 h às 5 hs.
(7)
Trânsito proibido das 0h às 5 h.
Estão corretas:
a)
1, 2, 4 e 6
b)
3, 5 e 7
c)
2, 4 e 6
d)
1, 3, 5 e 6
e)
2, 4 e 7
resposta: Alternativa B (1) e (2) conservar é pronominal (conservar-se) e as locuções adverbiais femininas à direita/à esquerda devem ser craseadas. (2) e (3) autoestradaas palavras formadas por prefixo terminado em vogal, como auto- , e por um elemento começado por vogal diferente, como estrada , perdem o hífen e aglutinam-se. (4) e (5) o verbo cruzar-se deve reger, nesses dois casos, a proposição com. (6) e (7) a abreviação de horas no singular é h. Como em outros símbolos da Física, não se acrescenta s ao final da abreviação de horas - plura. Assim o correto é 1 h, 2 h, 3 h, etc.
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$ $\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$ b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$ c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.
Dados: $\,\overline{MP}\;\bot\;s\,$;$\;\overline{MQ}\;\bot\;t\,$;$\;\overline{MQ}\;\bot\;\overline{PQ}\,$;$\;\overline{MP}\,=\,6$ Então $\,\overline{PQ}\,$ é igual a:
(PUC CAMP - 1980) Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8 cm, e a altura mede 4 cm. A distância entre o ponto de instersecção das retas suporte dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é:
(MAPOFEI - 1973) O ponto P = (2; 4) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano. Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo 0x nos pontos A e B , e tais que a distância entre eles seja 10 .
resposta: (r) 2x - y = 0 e (s) x + 27 - 10 = 0 (r) x - 2y + 6 = 0 e (s) 2x + y - 8 = 0 ×
(PUC DF) Assinale a alternativa correta relativa às afirmativas I. até IV.:
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, e em seguida retirando uma segunda bola, sem reposição da primeira, qual é a probabilidade de ocorrer uma branca em 1º lugar e uma preta em 2º lugar?
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, e em seguida retirando uma segunda bola, com reposição da primeira antes de retirar a segunda, qual é a probabilidade de ocorrer uma branca em 1º lugar e uma preta em 2º lugar?
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, e em seguida retirando uma segunda bola, com reposição da primeira antes de retirar a segunda, qual é a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta ?
A produção industrial de gás cloro (Cℓ2) ocorre a partir da eletrólise de uma solução aquosa de cloreto de sódio. Sobre esse processo foram feitas algumas afirmações:
I.
O ânion cloreto é oxidado no anodo (pólo positivo) da cuba eletrolítica.
II.
No catodo, o cátion sódio é reduzido, produzindo sódio metálico.
III.
Nesse processo, também são produzidos gás hidrogênio (H2) e solução aquosa de soda cáustica.
(UFRGS RS) Um estudante apresentou um experimento sobre eletrólise na feira de ciências da escola. O esquema do experimento foi representado pelo estudante em um cartaz como o reproduzido abaixo. Os números 1 e 2 representam eletrodos de grafite.
Em outro cartaz, o aluno listou três observações que realizou e que estão transcritas abaixo:
I.
Houve liberação de gás cloro no eletrodo 1.
II.
Formou-se uma coloração rosada na solução próxima ao eletrodo 2 quando foram adicionadas gotas de solução de fenolftaleína.
Se r // s , determine $\,\hat{\,\alpha\,}\,$ na figura.
resposta:
Considerações:
Na figura existem ângulos formando "bicos" e nesses bicos não existe nenhuma paralela. A solução inicia-se sempre traçando pelos bicos outras retas paralelas às retas já existentes.
Resolução:
Uma vez traçadas as retas paralelas às retas já existentes, podemos marcar os ângulos alternos internos que são congruentes entre si.
Na figura esses ângulos aparecem destacados com cores iguais. Decorre que a medida de $\;\hat{\,\alpha\,}\;$ é (50° + 40°) = 90°
Duas retas concorrentes formam entre si ângulo de 18°. Quantos lados tem o polígono regular onde dois lados consecutivos são segmentos que pertencem a cada uma dessas concorrentes, respectivamente.
