Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(EPUSP-63) Mostre que a equação
$\phantom{XXX}1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\,=\,0\;$
admite uma raiz positiva inferior a $\;\dfrac{1}{5}\;$.

 



resposta:

Temos o polinômio $\;\;P(x)\,=\,1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\;\;$ e vamos calcular $\;P(0)\;$ e $\;P(\frac{1}{5})\;$:$\;P(0)\,=\,1000(0)^5\,+\,20(0)^2\,-\,1\,=\,-1\,<\,0$
$\;P(\frac{1}{5})\,=\,1000{(\frac{1}{5})}^{5}\,+\,20{(\frac{1}{5})}^{2}\,-\,1\;=$ $\,1000\,+\,2500\,-\,\frac{3125}{3125}\,>\,0$. Como $\;\;P(0)\centerdot P(\frac{1}{5})\,<\,0\;\;$ , resulta que $\;P\;$ apresenta um número ímpar de raízes no intervalo $\;]0;\frac{1}{5}[\;$ (Teorema de Bolzano).


×
(ITA - 1973) A respeito da equação
$\phantom{XX}{\large 3x^2\,-\,4x\,+\,\sqrt{3x^2\,-\,4x\,-6}\,=\,18}\;$
podemos dizer:
a)
${\large \frac{2\pm\sqrt{70}}{3}}\;$ são raízes
b)
A única raiz é $x=3$
c)
A única raiz é $x=2+\sqrt{10}$
d)
tem 2 raízes reais e 2 imaginárias
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: alternativa E
×
(MACKENZIE - 1976) Todas as raízes da equação $\;{\large 2\sqrt{x}\,+\,2x^{(-\frac{1}{2})}\,=\,5}\;$ estão no intervalo:
a)
$\,[-2,-\dfrac{3}{1}]$
b)
$\,[-\dfrac{1}{2}, 1]$
c)
$\,[\dfrac{1}{5},\dfrac{9}{2}]$
d)
$\,[\dfrac{5}{4},7]$
e)
$\,[5,8]$

 



resposta: Alternativa C
×
(FFCLUSP - 1966) Se dois trinômios do segundo grau $\;\;P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\;\;$ e $\;\;Q(x)\,=\,a'x^2\,+\,b'x\,+\,c'\;\;$ possuem uma e uma só raiz comum $\;\;x_0\;\;$, simples, o seu mínimo múltiplo comum é o polinômio:
a)
$(ax^2\,+\,bx\,+\,c)(a'x^2\,+\,b'x\,+\,c')$
b)
$x\,-\,x_0$
c)
$(x-x_0)(x\,+\,{\large \frac{c}{ax_0}})(x\,+\,{\large \frac{c'}{a'x_0}})$
d)
$(x-x_0)(x\,-\,{\large \frac{c}{ax_0}})(x\,-\,{\large \frac{c'}{a'x_0}})$
e)
${\large \frac{a}{a'}}\,{x_0}^2\,+\,{\large \frac{b}{b'}}{x_0}^2\,+\,{\large \frac{c}{c'}}$

 



resposta: Alternativa D
×
(CESCEM - 1974) Comparando-se os números $\;10^{\large -49}\;\;$ e $\;\; 2 \centerdot 10^{\large -50}\;$, pode-se afirmar que

a)
o 1º excede o 2º em $\;8 \centerdot 10^{-1}$
b)
o 1º excede o 2º em $\;2 \centerdot 10^{-1}$
c)
o 1º excede o 2º em $\;8 \centerdot 10^{-49}$
d)
o 1º é igual a 5 vezes o 2º
e)
o 1º excede o 2º em 5

 



resposta: Alternativa D
×
(ITA - 1970) Calculando as raízes simples e múltiplas da equação
$\phantom{XX}x^6 - 3x^5 + 6x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$
podemos afirmar que esta equação tem:
a)
uma raiz simples, duas duplas e uma tripla
b)
uma raiz simples, uma dupla e uma tripla
c)
duas raízes simples, uma dupla e uma tripla
d)
duas raízes simples e duas duplas
e)
duas raízes simples e uma tripla

 



resposta: Alternativa B
×
(ITA - 1968) A equação $\phantom{X}3x^5 - x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0\phantom{X}$ possui:
a)
três raízes complexas e duas raízes reais
b)
pelo menos uma raiz real positiva
c)
todas raízes inteiras
d)
uma raiz complexa
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: (B)
×
(EESCUSP - 1969) Dada a equação $\phantom{X}px^3 + qx^2 + rx - 1 = 0\phantom{X}$, então,
a)
é possível achar valores reais para p, q e r de modo que $\;1\;$, $\;2\;$, $\;3\;$ e $\;4\;$ sejam raízes desta equação
b)
é possível achar valores reais para p, q e r , com p inteiro, de modo que $\;1\;$, $\;3\;$ e $\;\sqrt{2}$ sejam raízes desta equação
c)
zero é raiz desta equação
d)
é possível encontrar valores reais para p, q e r de modo que $\;1\;$, $\;-1\;$ e $\;2\;$ sejam raízes desta equação
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: (D)
×
(FEI - 1965) O valor da expressão $\phantom{X}y = 5 \centerdot 10^8 \centerdot 4 \centerdot 10^{-3}\phantom{X}$ é:
a)
$20^6\phantom{XXX}$
b)
$2 \centerdot 10^6\phantom{XX}$
c)
$2 \centerdot 10^9$
d)
$20 \centerdot 10^{-4}\;$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: Alternativa B
×
(PUC - 1969) Depois de simplificar $\;\dfrac{2^{\large n-4}\; - \;2 \; \centerdot \; 2^n}{2 \; \centerdot \; 2^{\large n + 3}}$ encontramos:
a)
$2^{\large n + 1} - {\dfrac{1}{8}}$
b)
$\;-2^{\large n - 1}$
c)
$1 -\; 2^{\large n} $
d)
$\dfrac{7}{8}$
e)
nada disso

 



resposta: Alternativa D
×
(FCESP - 1974) Para todo $\;n$, $\;\;(2^n + 2^{n\;-\;1})(3^n\;-\;3^{n\;-\;1})\;$ é igual a:
a)
$6^n$
b)
$1$
c)
$0$
d)
$2^n \centerdot 3^{n - 1} \;+\; 3^n \centerdot 2^{n - 1}$
e)
$2^n \centerdot 3 \; + \; 2 \centerdot 3^n$

 



resposta: Alternativa A
×
(EPUSP - 1968) Se $\;2^{\Large x}\; + \; 2^{\large -x} \; = \; e\;$,   então $\;8^{\Large x}\;+\;8^{\large -x}\;$ é igual a:
a)
$e^{\large 3}$
b)
$4e$
c)
$e^{\large 4}$
d)
$e^{\large 3}\,-\,3e$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: (D)
×
(MACKENZIE - 1977) Dos valores abaixo, o que está mais próximo de $\phantom{X} \sqrt{\dfrac{0,04}{\sqrt{3}}}\phantom{X}$ é:
a)
$0,0015$
b)
$0,015$
c)
$0,15$
d)
$1,5$
e)
não sei.

 



resposta: Alternativa C
×
(CESCEM - 1970) Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x , e representam-se respectivamente por $\;cosh \; x\;$ e $\;senh \; x\;$ aos números:
$cosh\; x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
$senh\; x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
Então $\phantom{X}(cosh\,x)^2 - (senh\,x)^2\phantom{X}$ vale:
a)
$cosh \; 2x$
b)
$senh\; 2x$
c)
$\; - 1 \;$
d)
$\;1\;$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: Alternativa D
×
(PUC - 1968) Remover os expoentes negativos e simplificar:
$\dfrac{x^{-1}\;+\;y^{-1}}{(xy)^{-1}}$
a)
$\; x - y$
b)
$\;x$
c)
$\;y \;+\;x$
d)
$\;y$
e)
nenhuma das respostas anteriores

 



resposta: (C)
×
(EESCUSP - 1969) A expressão $\phantom{X}\dfrac{a^{-2}\;+\;b^{-2}}{a^{-1}\;+\;b^{-1}}\phantom{X}$ é equivalente a:
a)
$\;\dfrac{\;\;b^2\;+\;a^2}{b\;+\;a}$
b)
$\;\dfrac{b^2\;+\;a^2}{ab(b\;+\;a)}$
c)
$\;\dfrac{b\;+\;a}{ab}$
d)
$\;\dfrac{1}{a}\; + \dfrac{1}{b}$
e)
$\;a\;+\;b$

 



resposta: Alternativa B
×
(MACKENZIE - 1977) Se $\phantom{X}f(x) = -x^2 + 2x - 3\;$, então o menor valor de $\phantom{X}(\dfrac{1}{3})^{f(x)}\phantom{X}$ é:
a)
3
b)
9
c)
27
d)
81
e)
não sei

 



resposta: Alternativa B
×
(MACKENZIE - 1974) O número $\phantom{X}14^{({\large 14^{14}})}\phantom{X}$ tem como último algarismo (algarismo das unidades):
a)
2
b)
3
c)
4
d)
6
e)
8

 



resposta: Alternativa D
×
(PUC - 1968) Simplificando $\phantom{X}\sqrt{ \dfrac{75}{12}}\phantom{X}$ obtemos:
a)
$\sqrt{\large \frac{5}{2}}$
b)
${\large\frac{5}{3}}$
c)
$\sqrt{\large \frac{5}{3}}$
d)
${\large \frac{5}{2}}$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: Alternativa D
Resolução:
$\phantom{X}\sqrt{ \dfrac{75}{12}}\;=\;\sqrt{\dfrac{3\centerdot 25}{3\centerdot 4}}\;=\;\sqrt{\dfrac{25}{4}}\;=\;\dfrac{5}{2}\phantom{X}$

×
(CESCEA - 1975) Simplificando a expressão:
$\phantom{X}\dfrac{2\sqrt{50}\;-\;\sqrt[\Large 3]{8}\;-\;3\sqrt{2}\;-\;\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$
obtém-se:
a)
$3\sqrt{2}$
b)
$5\;-\;2\sqrt{2}$
c)
$5\;-\;\sqrt{2}$
d)
$4\sqrt{2}$
e)
$5\;+\;\sqrt{2}$

 



resposta: Alternativa C
Resolução:
$\phantom{XX}\dfrac{2\sqrt{50}\;-\;\sqrt[\Large 3]{8}\;-\;3\sqrt{2}\;-\;\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\;=$
$\;=\,\dfrac{2\sqrt{2\centerdot25}\;-\;\sqrt[\Large 3]{2\centerdot2\centerdot2}\;-\;3\sqrt{2}\;-\;\sqrt{2\centerdot 4}}{\sqrt{2}}\;=$
$\;=\,\dfrac{2\centerdot 5 \centerdot \sqrt{2}\;-\;\sqrt[\Large 3]{2^{\large 3}}\;-\;3\sqrt{2}\;-\;2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;=$
$\;=\,\dfrac{10\sqrt{2}\;-\;2\;-\;3\sqrt{2}\;-\;2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;=$
$\;=\,\dfrac{5\sqrt{2}\;-\;2}{\sqrt{2}}\centerdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;=$
$\;=\,\dfrac{5(\sqrt{2})^{\large 2}\;-\;2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{\large 2}}\;=$
$\;=\,\dfrac{5\centerdot 2\;-\;2\sqrt{2}}{(2)}\;=$
$\;=\,\dfrac{2\centerdot(5\;-\;\sqrt{2})}{2}\;=\;5\;-\;\sqrt{2}$

×
Qual das afirmações é FALSA para $\;x\;\in\;\mathbb{R}\;$ ?
a)
$\sqrt{(x\; - \;1)^2}\; =\; x\;-\;1\;$ se $\;x \;\geqslant \;1$
b)
$\sqrt{(x\;-\;1)^2}\;=\;1\;-\;x\;$ se $\;x \; \leqslant\;1$
c)
$\sqrt{(x\;-\;1)^2}\;=\;\pm(x\;-\;1)\;\;$ para qualquer que seja $\;x$
d)
$\sqrt{(x\;-\;1)^2}\;=\;\mid x\;-\;1\mid \;\;$ para qualquer que seja $\;x$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: Alternativa C
$\;\sqrt{m^{\large 2}}\;$ é o "módulo de $\,m\,$". Essa expressão não assume valor negativo como erroneamente está afirmado em c)

×
(MACKENZIE - 1974) Dadas as afirmações:
I)
$\;10^{20}\;$ é maior que $\;90^{10}\;$
II)
$\;0,1^{10}\;$ é menor que $\;0,3^{20}\;$
III)
  os dois últimos algarismos de $\;5^{(4^{\large 3})}\;$ são 2e5
IV)
$\;2\sqrt{5}\;$ é maior que $\;3\sqrt{2}$
temos:
a)
só uma certa
b)
só duas certas
c)
só três certas
d)
quatro certas
e)
todas erradas

 



resposta: Alternativa C
×
(CESCEM - 1976) Considere as proposições:
I.
$\sqrt[\Large 5]{3} \; \gt \; \sqrt[\Large 3]{2}$
II.
$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8\;-\;2}}\; = \; 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
III.
$\sqrt[\Large 4]{5} \sqrt[\Large 3]{6} \;= \; \sqrt[\Large 12]{30}$
então:
a)
somente I é correta
b)
somente II é correta
c)
somente III é correta
d)
somente III é falsa
e)
somente I é falsa

 



resposta: Alternativa B
×
(FUVEST - 1977)$\phantom{XX}\dfrac{\sqrt{2}\;+\;\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\;=$
a)
$\dfrac{2\;+\; 2\sqrt{6}\;+\;\sqrt{3}}{3}$

b)
$\dfrac{5\;+\;2\sqrt{6}}{3}$
c)
$\dfrac{2\;+\;\sqrt{6}}{6}$
d)
$\dfrac{3\;+\;\sqrt{6}}{3}$
e)
$\dfrac{\sqrt{6}\;+\;3}{6}$

 



resposta:

A solução consiste em multiplicar o numerador e o denominador da fração pela raiz quadrada de 3

$\phantom{XX}\dfrac{\sqrt{2}\;+\;\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\;=$
$\;=\dfrac{(\sqrt{2}\;+\;\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\;=$
$\;=\dfrac{\sqrt{2}\centerdot\sqrt{3}\;+\;(\sqrt{3})^{\large 2}}{(\sqrt{3})^{\large 2}}\;=$
$\;=\dfrac{\sqrt{6}\;+\;3}{3}\;$
que corresponde à
Alternativa D
×
(EAESP-GV - 1977) A expressão $\phantom{X}\left[\dfrac{\sqrt{a\;+\;b}\;-\;\sqrt{a}}{b}\right]^{-1}\phantom{X}$ , onde $\;a\;$ e $\;b\;$ são números positivos, é equivalente a:
a)
$\;\dfrac{1}{b}$
b)
$\;b$
c)
$\;\dfrac{b \; + \; \sqrt{a}}{\sqrt{a\;+\;b}}$
d)
$\;\sqrt{b}$
e)
$\;\sqrt{a \; + \; b}\; + \; \sqrt{a}$

 



resposta: Alternativa E
×
(MACKENZIE - 1969) Subtraindo-se $\phantom{X}\dfrac{5}{8\;-\;3\sqrt{7}}\phantom{X}$ de $\phantom{X}\dfrac{12}{\sqrt{7} \;+\;3}\phantom{X}$ obtém-se:
a)
$81 - 4\sqrt{7}$
b)
$22 + 21\sqrt{7}$
c)
$-22\;-\;21\sqrt{7}$
d)
$41\sqrt{7}\;-\;81$
e)
nenhuma das respostas acima é correta

 



resposta: (C)
×
(PUC - 1969) Os números $\phantom{X}\sqrt[\Large 4]{5}\;$, $\phantom{X}\sqrt[\Large 3]{3}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\sqrt{2}\;\;$ são colocados:
a)
em ordem decrescente
b)
em ordem crescente
c)
em ordem não decrescente
d)
o último número vale a metade da soma dos dois primeiros
e)
nada disso

 



resposta: Alternativa A
×
(ITA - 2004) A soma das raízes da equação$\phantom{X}z^3 + z^2 - |z|^2 + 2z = 0\phantom{X}$, $z \in \mathbb{C}\;$, é igual a:
a)
$-2$
b)
$-1$
c)
0
d)
$1$
e)
$2$

 



resposta: (A)
×
(ITA - 2004) Dada a equação $\phantom{} x^3\,+\,(m\,+\,1)x^2\,+\,(m\,+\,9)x\,+\,9\,=\,0\phantom{X}$, em que $\;m\;$ é uma constante real, considere as seguintes afirmações:
I.
Se $\phantom{X} m\; \in \;\; ]-6, 6[\phantom{X}$ então existe apenas uma raiz real.
II.
Se $\phantom{X}m\,=\,-6\phantom{X}$ ou $\phantom{X}m\,=\,+6\phantom{X}$, então existe raiz com multiplicidade $\;2\;$.
III.
$\forall \;m \in \mathbb{R}\phantom{X}$, todas as raízes são reais.

Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas:
a)
I
b)
II
c)
III
d)
II e III
e)
I e III

 



resposta: alternativa E
×
Determine $\,k\,$ para que as raízes da equação $\;x^2\,+\,kx\,-\,(k\,+\,1)\,=\,0\;$ tenham sinais contrários.

 



resposta:
$\,k > -1\,$

×
Determine $\,k\,$ para que as raízes da equação $\;x^2\,+\,kx\,-\,(k\,+\,1)\,=\,0\;$ sejam estritamente positivas.

 



resposta:
$\,S\,=\,\lbrace k\,\in\,\mathbb{R} \mid \,k \, < \, -1\,\rbrace\,$

×
(FUVEST - 1982) Para que valores de $\,a\,$ a equação $\;x^2\,+\,ax\,+\,a^2\,=\,0\;$ possui duas raízes reais distintas?
a)
somente para $\,a\,=\,0\phantom{X}$
b)
para todo $\,a\, > \,0\,$
c)
para todo $\,a\, < \,0\,$
d)
para todo $\,a\,$ real
e)
para nenhum $\,a\,$ real

 



resposta: (E)
×
(MACKENZIE - 1982) Seja $\;ax^2\,+\,bx\,+\,c\,=\,0\;$ uma equação de coeficientes reais não nulos, com $\,a\,$ e $\,c\,$ de sinais contrários. Então, podemos afirmar que, certamente:
a)
as raízes são reais e distintas
b)
o produto das raízes é 1
c)
a soma das raízes é zero
d)
as raízes são reais e iguais
e)
nenhuma das anteriores está correta


 



resposta: alternativa A
×
(FGV - 1982) A equação da parábola é:
a)
$\,y\,=\,-2x^2\,+\,4x\,-\,6$
b)
$\,y\,=\,-2(x\,-\,3)(x\,-\,1)$
c)
$\,y\,=\,-2(x\,+\,3)(x\,-\,1)$
d)
$\,y\,=\,-2(x\,+\,3)(x\,-\,1)\,+\,6$
e)
$\,y\,=\,-2x^2\,-\,4x\,+\,6$
gráfico da parábola de raízes -3 e 1

 



resposta: alternativa E
×
(FGV - 1982) Para que a equação $\phantom{X}(a\,-\,2) \centerdot x^2 \,+\,ax\,+\,a\,-\,1\,=\,0\phantom{X}$ apresente duas raízes reais e distintas, a condição é:
a)
$\,a < 2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$
b)
$\,a > 2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$
c)
$\,a\,\neq\,2\,$
d)
$\,2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}}) < \,a\, < 2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\;$ e $\;a\,\neq \,2$
e)
$\,a\, < \,2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$ ou $\,a\, >\,2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})$


 



resposta: alternativa D
×
(FEI - 1966) A soma $\sqrt[{\large3\,}]{a}\;+\;\sqrt[{\large 4\,}]{a}$ é igual a:
a)
$\sqrt[{\large 7\,}]{a}$
b)
$\sqrt[{\large 12\,}]{a^{\large7}}$
c)
$\sqrt[{\large 7\,}]{2a}$
d)
$\sqrt[{\large 12\,}]{a^{\large 3}\,+\,a^{\large 4}}$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: alternativa E
×
(ITA - 1967) A equação
$\phantom{X}\dfrac{\;1\;}{\;2\;}x^4\;-\;\dfrac{\;1\;}{\;3\;}x^3\;+\;x^2\;$ $-\,\dfrac{\;1\;}{\;3\;}x\;+\;\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\; =\; 0\phantom{X}$ tem raízes:
a)
$\pm\,i\;$ ; $\;{ \dfrac{1 \pm 2\sqrt{2i}}{3}}$
b)
$i\,\pm \,1\;$ ; $\;{ \dfrac{2\,\pm \, 2i}{3}}$
c)
${ \dfrac{1\, \pm \,3}{5}}\;$ ; $\;{ \dfrac{2 \, \pm \, i}{2}}$
d)
$2i\, \pm 3\;$ ; $\;{ \dfrac{7 \, \pm \, 3i}{2}}$
e)
$\pm\, i\;$ ; $\;{ \dfrac{1 \, \pm \, 5\sqrt{2}}{7}}$
 
 

 



resposta: (A)
×
(ITA - 1990) Considere as equações $\;{\large z^3}\,=\,i\phantom{X}\mbox{, e }\phantom{X}{\large z^2}\,+\,(2\,+\,1)z\,+\,2i\,=\,0\;$ onde $\,z\,$ é complexo. Seja $\,S_1\,$ o conjunto das raízes da primeira equação e $\,S_2\,$ o da segunda. Então:

a)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é vazio.
d)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é unitário.
b)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\,\subset \mathbb{R}\phantom{X}$.
e)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ possui dois elementos.
c)
$\phantom{X}S_1\phantom{X}$ possui apenas dois elementos distintos.

 



resposta: alternativa D
×
(ITA - 1990) Seja $\phantom{X}p(x)\,=\,16x^5\,-\,78x^4\,+\,...\,+\,{\LARGE \alpha} x\,-\,5\phantom{X}$ um polinômio de coeficientes reais tal que a equação $\phantom{X}p(x)\,=\,0\phantom{X}$ admite mais do que uma raiz real e ainda, $\,\mathbb{a}\,+\,bi\,$ é uma raiz complexa desta equação com $\,\mathbb{a}b\,\neq\,0\,$. Sabendo-se que $\,{\Large \frac{1}{\mathbb{a}}}\,$ é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de $\,p(x)\,=\,0\,$ e que a soma destas raízes vale $\,{\Large \frac{7}{8}}\,$ enquanto que o produto é $\,{\Large \frac{1}{64}}\,$, o valor de $\,{\LARGE \alpha}\,$ é:

a)
32
b)
56
c)
71
d)
11
e)
0

 



resposta: alternativa C
×
(ITA - 1986) Sejam $\,a\,$, $\,b\,$ e $\,c\,$ números reais dados com $\,a\,<\,0\,$. Suponha que $\,x_1\,$ e $\,x_2\,$ sejam as raízes da função $\phantom{X}y\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_1\,<\,x_2\,$.
Sejam $\phantom{X}x_3\,=\,\dfrac{-b}{2a}\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_4\,=\,-\,\left(\dfrac{2b\,+\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{4a}\right)\phantom{X}$. Sobre o sinal de $\,y\,$ podemos afirmar que:
a)
$\,y\,<\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x_1\,<\,x_2\,<\,x_3\,$
b)
$\,y\,<\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x_4\,<\,x\,<\,x_2\,$
c)
$\,y\,>\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x_1\,<\,x\,<\,x_4\,$
d)
$\,y\,>\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x\,>\,x_4\,$
e)
$\,y\,<\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x\,<\,x_3\,$

 



resposta: (C)
×
(FUVEST - 2018) Considere o polinômio
$\phantom{XXXX}P(x) = x^{n}\,+\,a_{n-1}\;x^{n-1}\,+\,...\,+\,a_{1}\;x\,+\,a_{0}\phantom{X}$,
em que $\,a_{0}, ... , a_{n-1}\,\in\,\mathbb{R}\,$. Sabe-se que as suas raízes estão sobre a circunferência unitária e que $\,a_{0}\,<\,0\,$.
O produto das $\,n\,$ raízes de $\,P(x)\,$, para qualquer inteiro $\,n\,\geqslant\,1\,$, é:
a)
$\,-1\,$
b)
$\,i^{n}\,$
c)
$\,i^{n+1}\,$
d)
$\,(-1)^{n}\,$
e)
$\,(-1)^{n+1}\,$

 



resposta: (E)
×
Simplificar $\;\sqrt{48}\;$.

 



resposta:
Resolução:
$\;\sqrt{48}\;=\,\sqrt{16\,\centerdot\,3}\,=$ $\,\sqrt{16}\,\centerdot\,\sqrt{3}\,=\,4\,\centerdot\,\sqrt{3}$
Resposta:
$\;4\sqrt{3}\;$
×
Simplificar $\;\sqrt[\large 3]{54}\;$

 



resposta:
Resolução:
$\;\sqrt[\large 3]{54}\,=\,\sqrt[\large 3]{27\,\centerdot\,2}\,$ $=\,\sqrt[\large 3]{27}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}\,=\,3\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}\,$
Resposta:
$\,3\sqrt[\large 3]{2}\,$
×
Simplificar $\phantom{X}\sqrt{\dfrac{8}{9}}\phantom{X}$.

 



resposta:
Resolução:
$\;\sqrt{\dfrac{8}{9}}\,=\,\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\,=\,\dfrac{\sqrt{4\,\centerdot\,2}}{\sqrt{9}}\,$ $=\,\dfrac{\sqrt{4}\,\centerdot\,\sqrt{2}}{\sqrt{9}}\,=\,\dfrac{2\,\centerdot\,\sqrt{2}}{3}\,$
Resposta:
$\,\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\,$
×
Simplificar $\phantom{X}\sqrt[\large 3]{8a^{\large 4}}\phantom{X}$, sendo $\;a\;$ um número positivo.

 



resposta:
Resolução:
$\; \sqrt[\large 3]{8a^{\large 4}}\,=\,\sqrt[\large 3]{8\,\centerdot\,a^{\large 3}\,\centerdot\,a}\,$ $=\,\sqrt[\large 3]{8}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{a^{\large 3}}\centerdot\,\sqrt[\large 3]{a}\,=\,2\,\centerdot\,a\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{a}\;$
Resposta:
$\;2a\,\sqrt[\large 3]{a}\;$
×
Simplificar $\phantom{X}\sqrt{\dfrac{17}{58}}\,\centerdot\,\sqrt{\dfrac{29}{34}}\phantom{X}$.

 



resposta:
Resolução:
$\require{cancel}\;\sqrt{\dfrac{17}{58}}\,\centerdot\,\sqrt{\dfrac{29}{34}}\,=\,\sqrt{\dfrac{17}{58}\,\centerdot\,\dfrac{29}{34}}\,$ $=\,\sqrt{\dfrac{17\,\centerdot\,29}{58\,\centerdot\,34}}\,=\,\sqrt{\dfrac{\cancel{17}\,\centerdot\,\cancel{29}}{2\,\centerdot\,\cancel{29}\,\centerdot\,2\,\centerdot\,\cancel{17}}}\,$ $=\,\sqrt{\dfrac{1}{2\,\centerdot\,2}}\,=\,\sqrt{\dfrac{1}{4}}\,=\,\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}\,=\,\dfrac{1}{2}\;$
Resposta:
$\;\dfrac{1}{2}\;$
×
Reduzir os radicais $\;\sqrt{3}\;$ e $\;\sqrt[\large 3]{5}\;$ para o mesmo índice 6 .

 



resposta:
Resolução:
$\;\sqrt{3}\,=\,\sqrt[\large 2]{3^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{3^{1\centerdot 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{3^{\large 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\;$
$\;\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 3]{5^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{5^{1\centerdot 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{5^{\large 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{25}\;$
Resposta:
$\;\sqrt[\large 6]{27}\; ; \;\sqrt[\large 6]{25}\;$
×
Escrever na forma de um único radical a expressão $\phantom{X}\sqrt{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\phantom{X}$.

 



resposta:
Resolução:
1. Reduzir os radicais para o mesmo índice 6 — porque 6 é o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3.
$\;\sqrt{3}\,=\,\sqrt[\large 2]{3^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{3^{1\centerdot 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{3^{\large 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\;$
$\;\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 3]{5^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{5^{1\centerdot 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{5^{\large 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{25}\;$
2. Usar a primeira propriedade das raízes ($\;\sqrt[\large n]{a}\,\centerdot\,\sqrt[\large n]{b}\,=\,\sqrt[\large n]{a\centerdot b}\;$)
$\;\sqrt[\large 2]{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{25}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{27\,\centerdot\,25}\,=\,\sqrt[\large 6]{675}\;$
Resposta:
$\;\sqrt[\large 6]{675}\;$
×
Escrever o radical $\phantom{X}\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\phantom{X}$ na forma de potência de expoente racional.

 



resposta:
Resolução:
$\;\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\,=\,\sqrt[2\,\centerdot\,2\,\centerdot\,2]{2}\,=\,2^{\large \frac{1}{8}}\;$
Resposta:
$\;2^{\large 1/8}\;$
×
Escrever o radical $\phantom{X}\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\phantom{X}$ na forma de uma potência de expoente racional.

 



resposta:
Resolução:
MODO 1.
$\,\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,=\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt{\sqrt[3]{2}}\,$ $=\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{2}\,$ $=\,2^{\large \frac{1}{2}}\,\centerdot \,2^{\large \frac{1}{6}}\,$ $=\,2^{\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{6}}\,$ $=\,2^{\frac{4}{6}}\,=\,2^{\frac{2}{3}}\,$
MODO 2.
$\,\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,=\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt{\sqrt[3]{2}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2]{2^1}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{2^1}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{2^1}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^3\,\centerdot\,2^1}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^4}\,=\,\sqrt[\large 3]{2^2}\,=\,2^{\frac{2}{3}}\,$
MODO 3.
Partir da observação seguinte: $\,2\,=\,\sqrt[\large 3]{2^3}\,$
$\,\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,=\,\sqrt{\sqrt[\large 3]{2^3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2]{\sqrt[\large 3]{2^3\,\centerdot\,2}}\,\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^4}\,$ $=\,\sqrt[\large 3]{2^2}\,=\,2^{\frac{2}{3}}\,$
Resposta:
$\;2^{2/3}\;$
×
Calcule:
a.
$\,\sqrt{81}\,$
b.
$\,-\,\sqrt{81}\,$
c.
$\,\sqrt[\large 3]{64}\,$
d.
$\,\sqrt[\large 3]{\,-\,64}\,$
e.
$\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt{50}\,$
f.
$\,\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\,$
g.
$\,\sqrt[\large 3]{\sqrt{64}}\,$

 



resposta: a.9; b.-9; c.4; d.-4; e.10; f.3; g.2;
×
Mostre que $\phantom{X}\sqrt{9\,+\,16}\,\neq\,\sqrt{9}\,+\,\sqrt{16}\phantom{X}$

 



resposta: $\,\sqrt{9\,+\,16}\,\neq\,\sqrt{9}\,+\,\sqrt{16}\,\Rightarrow$ $\,\sqrt{25}\,\neq\,3\,+\,4\,\Rightarrow\,5\,\neq\,7\,$c.q.d.
×
(PUC DF) Assinale a correta:
I.
$\,\sqrt[\large 3]{-27}\,=\,-\,3\,$
II.
$\,5^{-\,\frac{1}{2}}\,=\,5\,$
III.
$\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,$
IV.
$\,\sqrt[\large 3]{2^{\large 5}}\,=\,2^{\large \frac{3}{5}}\,$
a)
II e III estão corretas
b)
I e IV estão corretas
c)
I e III estão corretas
d)
todas estão corretas
e)
todas estão erradas

 



resposta: (C)
×
O valor numérico da expressão $\phantom{X} {2}\,\sqrt{xy^{\phantom{X}}}\,-\,\sqrt{x^{\large 2}\,-\,21y}\phantom{X}$, para x = 12 e y = 3 , é igual a:
a)
0
b)
9
c)
-3
d)
3
e)
81

 



resposta: (D)
×
Calcular o seguinte:
a.
$\phantom{X}\left(\sqrt{9\,\times\,9}\right)^{\large 2}\phantom{X}$
b.
$\phantom{X}\left(\sqrt{3\,\times\,27}\right)^{\large 2}\phantom{X}$
c.
$\phantom{X}\left(\sqrt{6^{\large 2}}\right)^{\large 2}\phantom{X}$
d.
$\phantom{X}\dfrac{\sqrt{27\,-\,27}}{\sqrt{81}}\phantom{X}$
e.
$\phantom{X}\sqrt{2\,\times\,2}\,+\,\sqrt{49}\phantom{X}$
f.
$\phantom{X}\sqrt{7\,\times\,7}\,-\,\sqrt{100}\phantom{X}$
g.
$\phantom{X}\dfrac{\sqrt{20^{\large 2}}}{\sqrt{81}}\phantom{X}$
h.
$\phantom{X}\left(\sqrt{5^{\large 2}}\right)^{\large 2}\phantom{X}$
i.
$\phantom{X}\dfrac{\sqrt{0\,+\,0}}{\sqrt{25}}\phantom{X}$
j.
$\phantom{X}\sqrt{49}\,\times\,\sqrt{140\,-\,76}\phantom{X}$

 



resposta: a.81 b.81 c.36 d.0 e.9 f.-3 g.20/9 h.25 i.0 j.56
×
Calcule as raízes seguintes com aproximação de 1 casa decimal.
a.
$\phantom{X}\sqrt{2,89}\phantom{X}$
b.
$\phantom{X}\sqrt{1,44}\phantom{X}$
c.
$\phantom{X}\sqrt{0,09}\phantom{X}$
d.
$\phantom{X}\sqrt{2,56}\phantom{X}$
e.
$\phantom{X}\sqrt{1,69}\phantom{X}$
f.
$\phantom{X}\sqrt{0,16}\phantom{X}$
g.
$\phantom{X}\sqrt{3,24}\phantom{X}$
h.
$\phantom{X}\sqrt{0,49}\phantom{X}$
i.
$\phantom{X}\sqrt{3,61}\phantom{X}$
j.
$\phantom{X}\sqrt{0,04}\phantom{X}$
k.
$\phantom{X}\sqrt{0,81}\phantom{X}$
l.
$\phantom{X}\sqrt{0,25}\phantom{X}$
m.
$\phantom{X}\sqrt{0,36}\phantom{X}$
n.
$\phantom{X}\sqrt{0,01}\phantom{X}$
o.
$\phantom{X}\sqrt{4,41}\phantom{X}$
p.
$\phantom{X}\sqrt{2,25}\phantom{X}$

 



resposta: a.1,7 b.1,2 c.0,3 d.1,6 e.1,3 f.0,4 g.1,8 h.0,7 i.1,9 j.0,2 k.0,9 l.0,5 m.0,6 n.0,1 o.2,1 p.1,5
×
(UBERLÂNDIA) Qual a afirmativa certa?
a)
$\phantom{X}\sqrt{25\,+\,16}\,=\,9\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\sqrt{5}\,+\,\sqrt{5}\,=\,\sqrt{10}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}5\sqrt{2}\,<\,\sqrt{20}\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}0,2\,<\,\sqrt{4}\phantom{X}$
e)
$\phantom{X}3\sqrt{10}\,=\,\sqrt{30}\phantom{X}$

 



resposta: (D)
×
(UEMT) O número $\phantom{X}\sqrt{2352}\phantom{X}$ corresponde a:
a)
$\,4\,\sqrt{7}\,$
b)
$\,4\,\sqrt{21}\,$
c)
$\,28\,\sqrt{3}\,$
d)
$\,28\,\sqrt{21}\,$
e)
$\,56\,\sqrt{3}\,$

 



resposta: (C)
×
(UNB) A expressão $\phantom{X}\left({\large 2}\,^{1/2}\right)^{-\,1/2}\phantom{X}$ equivale a:
a)
$\phantom{X}\sqrt{2}\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\sqrt[4]{2}\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\phantom{X}$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: (D)
×
(FGV) $\phantom{X}{\large \dfrac{\,2\,}{3}\,\centerdot\,\left(8\right)^{\frac{\,2\,}{3}}\,-\,\dfrac{\,2\,}{3}\,\centerdot\,\left(8\right)^{-\,\frac{\,2\,}{3}}}\phantom{X}$ é igual a:
a)
1
b)
-1
c)
2,5
d)
0
e)
0,5

 



resposta: (C)
×
Simplifique as seguintes raízes:
a.
$\phantom{X}\sqrt{180}\phantom{X}$
b.
$\phantom{X}\sqrt{129}\phantom{X}$
c.
$\phantom{X}\sqrt{135}\phantom{X}$
d.
$\phantom{X}\sqrt{48}\phantom{X}$
e.
$\phantom{X}\sqrt{155}\phantom{X}$
f.
$\phantom{X}\sqrt{31}\phantom{X}$
g.
$\phantom{X}\sqrt{6}\phantom{X}$
h.
$\phantom{X}\sqrt{21}\phantom{X}$
i.
$\phantom{X}\sqrt{50}\phantom{X}$
j.
$\phantom{X}\sqrt{24}\phantom{X}$
k.
$\phantom{X}\sqrt{43}\phantom{X}$
l.
$\phantom{X}\sqrt{9}\phantom{X}$
m.
$\phantom{X}\sqrt{89}\phantom{X}$
n.
$\phantom{X}\sqrt{114}\phantom{X}$
o.
$\phantom{X}\sqrt{26}\phantom{X}$
p.
$\phantom{X}\sqrt{19}\phantom{X}$

 



resposta: a. $\,6\sqrt{5}\,$ b. $\,\sqrt{129}\,$ c. $\,3\sqrt{15}\,$ d. $\,4\sqrt{3}\,$ e. $\,\sqrt{155}\,$ f. $\,\sqrt{31}\,$ g. $\,\sqrt{6}\,$ h. $\,\sqrt{21}\,$ i. $\,5\sqrt{2}\,$ j. $\,2\sqrt{6}\,$ k. $\,\sqrt{43}\,$ l. $\,3\,$ m. $\,\sqrt{80}\,$ n. $\,\sqrt{114}\,$ o. $\,\sqrt{26}\,$ p. $\,\sqrt{19}\,$
×
(OSEC) Escolha a alternativa correta:
a)
$\phantom{X}2\sqrt{3}\,+\,5\sqrt{3}\,=\,7\sqrt{3}\,\centerdot\,\sqrt{3}\,=$ $\,21\,+\,\dfrac{\,1\,}{2}\,=\,\dfrac{\,43\,}{2}\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}5\sqrt{2}\,+\,6\sqrt{3}\,=\,11\sqrt{5}\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}18\sqrt{3}\,-\,6\sqrt{3}\,+\,4\sqrt{3}\,=\,8\sqrt{3}\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}4\sqrt{3}\,+\,2\sqrt{3}\,\centerdot\,5\sqrt{3}\,=\,90\phantom{X}$
e)
nenhuma das alternativa anteriores é correta

 



resposta: (E)
×
Calcular o valor numérico da expressão:$\phantom{X}-\,\sqrt[\large 3]{-8}\,+\,16^{{}^{\frac{1}{4}}}\,-\,\left(\,-\,\dfrac{1}{2}\right)^{\large -2}\,+\,8^{{}^{\frac{4}{3}}}\phantom{X}$

 



resposta: -23/16
×
(UNB) A sequência correta em que se encontram os números $\phantom{X}A\,=\,\sqrt[\large 9]{\sqrt{2,7\,}}\phantom{X}$, $\phantom{X}B\,=\,\sqrt[\large 15]{3\,}\phantom{X}$ e $\phantom{X}C\,=\,\sqrt[\large 8]{\sqrt[\large 17]{(2,7)^{\large 8}\,}}\phantom{X}$ é:
a)
C < B < A
b)
A < B < C
c)
A < C < B
d)
B < A < C
e)
nenhuma dessas

 



resposta: (C)
×
O resultado da subtração $\phantom{X}\sqrt{b\,-\,1\,}\,-\,\sqrt{9b\,-\,9\,}\phantom{X}$ é:
a)
$\;2\phantom{XXXX}$
b)
$\,-2\sqrt{b\,-\,1\,}\,$
c)
$\,\sqrt{8b\,-\,8\,}\,$
d)
$\,2\sqrt{b\,-\,1\,}\,$
e)
-2

 



resposta: (B)
×
Sendo $\phantom{X}x\phantom{X}$ um número real maior que zero, a expressão$\phantom{X}\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt[\large 5]{x^{\large 4}}\;}}\phantom{X}$ vale:
a)
$\,\sqrt[\large 10]{x\,}\,$
b)
$\,\sqrt{x^{{}^{-4/5}}}\,$
c)
$\,x^{{}^{\frac{4}{10}}}\,$
d)
$\,x^{{}^{\frac{10}{4}}}\,$
e)
nenhuma dessas

 



resposta: (A)
×
(MED SANTOS) Simplificando a expressão $\phantom{X}\dfrac{\,\sqrt{\dfrac{\,x\,}{\,y\,}\,}\,-\,\sqrt{\dfrac{\,y\,}{\,x\,}}\,}{\,\sqrt{\dfrac{1}{\,y\,}\,}\,-\,\sqrt{\dfrac{1}{\,x\,}}\,}\phantom{X}$ obtemos:
a)
$\;\dfrac{\,\sqrt{x\;}\,-\,\sqrt{y\;}\,}{\,xy\;}\;$
b)
$\;\sqrt{x\;}\,-\,\sqrt{y\;}\;$
c)
$\;\dfrac{\,xy\,}{\,x\,+\,y\,}\;$
d)
$\;\,\sqrt{x\,}\,+\,\sqrt{y\,}\;$
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: (D)
×
(FACULDADES OBJETIVO) Qual o valor de $\phantom{X}\dfrac{\;\sqrt{9\;}\,-\,\sqrt[\Large 3]{-8\;}\,+\,(\dfrac{1}{2})^{\large 0}\;}{(-2)^{2}\,+\,\sqrt[\Large 3]{-27\;}}\phantom{X}$?

 



resposta: 6
×
(FACULDADES OBJETIVO) Qual o valor da expressão $\phantom{X}\dfrac{\;\left( 4^{{}^{\large \frac{3}{2}}}\,-\,8^{{}^{\large \frac{2}{3}}} \right)^{\large \frac{3}{2}}\;}{\;\left[2^{{}^{\large 0}}\,+\,3^{{}^{\large -1}}\centerdot 6\,-\,(\dfrac{3}{4})^{{}^{\large 0}} \right]^{\large 2}\;}\phantom{X}$?

 



resposta: 2
×
(MACKENZIE) Qual o valor de $\phantom{X}\left[ \sqrt[\LARGE 3]{\dfrac{\;(0,005)^{{}^{\Large 2}}\,\centerdot \,0,000075\;}{10}\;} \right] \div \left[ \dfrac{5\,\centerdot \,10^{{}^{\Large -4}}\,\centerdot 2^{{}^{\large -\frac{1}{3}}}}{3^{{}^{\large -\frac{1}{3}}}} \right]\phantom{X}$?

 



resposta: 1
×
(ALFENAS) Calculando $\phantom{X}a\sqrt{a^{{}^{\Large -1}}\sqrt{a^{{}^{\Large -1}}\sqrt{a^{{}^{\Large -1}}}}}\phantom{X}$ obtém-se:
a)
$\,\sqrt[\Large 6]{\dfrac{1}{a}}\,$
b)
$\,4a^{\large -1}\,$
c)
$\,a^{{}^{\large -1}}\,$
d)
$\,\sqrt[\LARGE 8]{a}\,$
e)
$\,\sqrt{a^{{}^{\Large -1}}}\,$

 



resposta: (D)
×
(MACKENZIE) Se n é um número natural maior que 1, a expressão $\phantom{X}\sqrt[\LARGE n]{\;\dfrac{20}{\;4^{{}^{\Large n\,+\,2}} + 2^{{}^{\Large 2n\,+\,2}}\;}\;}\phantom{X}$ é:
a)
$\,\dfrac{4}{\;n\;}\phantom{XX}$
b)
$\,\dfrac{1}{\;4\sqrt[\Large n]{\;2n\;}\;}\,$
c)
$\,\dfrac{1}{\;2n\;}\,$
d)
$\,\sqrt[\Large n]{\;2n\,+\,1\;}\phantom{X}$
e)
$\,\dfrac{\;1\;}{4}\,$

 



resposta: (E)
×
(CESCEM - 1975) A expressão $\phantom{X}ax^2\,+\,bx\,+\,c\phantom{X}$ onde $\phantom{X}b^2\,-\,4ac\,\gt\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,\lt\,0\phantom{X}$ é estritamente positiva se x for:
a)
positivo 
b)
não nulo
c)
igual às raízes
d)
exterior às raízes
e)
interior ás raízes

 



resposta: (E)
×
Os coeficientes a e b da equação ax = b são escolhidos ao acaso entre os pares ordenados do produto cartesiano A × A , sendo A = {1, 2, 3, 4} , verificando-se que a é o 1º elemento do par e b é o 2º elemento do par. Qual a probabilidade da equação ter raízes inteiras?

 



resposta: a) 1/2
×
(BRAGANÇA) A equação do 3° grau, cujas raízes são $\;-\frac{\;1\;}{\;2\;}\,$, 1 e 2 é:
a)
x³ - 2x² - x + 2 = 0
b)
2x³ - 5x² + x + 2 = 0
c)
2x³ - 5x² - x - 2 = 0
d)
2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0
e)
2x³ - 7x² + 7x - 2 = 0

 



resposta: (B)
×
(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 . Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .
cubo com semirreta
a)
Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$
b)
Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?
c)
Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°

 



resposta: a)
cubo com ângulo teta para resposta
Resolução:
Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:
i)
pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$
ii)
o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$
iii)
o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$
iv)
o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$
v)
Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:
$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$
b)
Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.
então:
$\;\operatorname{cos}\theta \;\lt\;0\;\Leftrightarrow$ $\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}\;\lt\;0\;$
Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.
gráfico da função x ao quadrado menos 1
raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4.
×
(CESCEM) Se os números -3 , a e b são raízes da equação x³ + 5x² - 2x - 24 = 0 , então o valor de a + b é:
a)
-6
b)
-2
c)
-1
d)
2
e)
6

 



resposta: (B)
×
(FUVEST) Sejam a , b , c as raízes de um polinômio P(x) do 3º grau, cujo coeficiente de é 1 . Sabe-se que:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a\,+\,b\,+ c =\;7\; \phantom{XX}& \\ ab\,+\,ac + bc\,=\,14\;& \\ abc\,=\,8\;\phantom{XXXXX} \; & \\ \end{array} \right.\,$
Calcular P(1)

 



resposta:
Resolução:
se P(x) é do 3º grau, então:
$\phantom{X}P(x) = x^3 + \alpha x^2 + \beta x + \gamma\phantom{X}$
Utilizando as Relações de Girard temos que:
$\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,7\,=\,-\alpha\,$
$\,ab\,+\,ac\,+\,bc\,=\,14\,=\,\beta\,$
$\,a\,\centerdot\,b\,\centerdot\,c\,=\,8\,=\,-\gamma\,$
Resta então que
$\,P(x)\,=\,x^3\,-\,7x^2\,+\,14x\,-\,8\,$ e
$\,P(1)\,=\,1\,-\,7\,+\,14\,-\,8\,=\,0\,$
×
Determinar a soma dos inversos das raízes da equação $\phantom{X}2x^4\,-\,7x^3\,+\,15x^2\,-\,12x\,+\,4\,=\,0\phantom{X}$

 



resposta: 3
×
Se três números a, b, c, dois a dois distintos, são tais que:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a^3\;+\;p\,a\;+\;r\;=\;0\;& \\\;b^3\;+\;p\,b\;+\;r\;=\;0\;& \\ c^3\;+\;p\,c\;+\;r\;=\;0\;& \\ \end{array} \right.\,$
então o valor de a + b + c é:
a)
p
b)
r
c)
p + r
d)
1
e)
0

 



resposta: (E) notar que a, b e c são raízes da equação x³ + 0x² + px + r e de acordo com as relações de Girard a soma dessas raízes é igual ao simétrico do coeficiente de x²
×
Resolver a equação $\phantom{X}x^3\,-\,6x^2\,+\,11x\,-\,6\,=\,0\phantom{X}$ sabendo que uma de suas raízes é 3 .

 



resposta: V = { 3 ; 1 ; 2 }
×
(UFS) Se as raízes reais da equação $\phantom{X}x^3\,+\,ax^2\,+\,bx\,-\,8\,=\,0\;;\phantom{X}$ onde $\,a,\,b\,\in\,{\rm\,I\!R}\,$, são distintas e estão em progressão geométrica, então:
a)
4a - b = 16
b)
2a + b = 0
c)
a² = b  
d)
a = 2b
e)
b = 4a
 
 

 



resposta: (B)
×
(CESCEM) Duas das raízes da equação $\phantom{X}x^3\;+\;2x^2\;-\;9x\;-\;18\;=\;0\phantom{X}$ são simétricas. A soma das duas maiores raízes dividida pela menor raiz é:
a)
-2
b)
-5/3
c)
-1/3
d)
0
e)
1/3

 



resposta: (C)V = { -3 ; -2 ; 3 }
×
O produto de duas raízes da equação $\phantom{X}x^3\,-\,8x^2\,+\,kx\,-\,10\,=\,0\phantom{X}$ é 2 . Determinar k e o conjunto verdade da equação.

 



resposta: k = 17 e V = { 5 ; 1 ; 2 }
×
(VUNESP) As três raízes da equação $\phantom{X}x^3\,-\,12x^2\,+\,mx\,-\,8\,=\,0\phantom{X}$ estão em progressão aritmética. Então:
a)
m = 26
b)
m = 28
c)
m = 30
d)
m = 32
e)
m = 34

 



resposta: (E)
×
(CESCEM) Seja a equação $\phantom{X}2x^3 + x^2 - 18x + k = 0\phantom{X}$, com $\phantom{X}k \in {\rm I\!R}\phantom{X}$. Se a soma de duas raízes desta equação é igual a zero, o valor de k é:
a)
-12
b)
-9
c)
1
d)
3
e)
9

 



resposta: (B)
×
(UFMS) Sejam -2 e 3 duas raízes da equação 2x³ - x² + kx + t = 0 , onde k,t ∈ $\,{\rm I\!R}\,$. A terceira raiz é:
a) impossível de ser determinada
b)
-1
c)
$\,-\frac{ 1 }{ 2 }$
d)
$\,\frac{ 1 }{ 2 }$
e)
1

 



resposta: (C)
×
(FUVEST - 2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m , onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:
a) o valor de m ;
b) as raízes desse polinômio.

 



resposta: a) m = 2; b) raízes $\,1\,-\,\sqrt{3},\,1\,e\,1\,+\,\sqrt{3}\,$
×
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}mx^2\,+\,(2m\,-\,1)x\,+\,(m\,-\,2)\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais distintas.

 



resposta: m ≠ 0 e m > -1/4
×
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}(m - 1)x^2\,+\,(2m\,+\,3)x\,+\,m\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais distintas.

 



resposta: m > -9/16 e m ≠ 1
×
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}(m\,+\,2)x^2\,+\,(3\,-\,2m)x\,+\,(m\,-\,1)\;=\;0\phantom{X}$ tenha raízes reais.

 



resposta:
Nessa equação:
$\,\left\{\begin{array}{rcr}\,a\,=\,m\,+\,2\phantom{x} &\,\\\,b\,=\,3\,-\,2m &\,\\ \,c\,=\,m\,-\,1\phantom{x} & \end{array}\,\right.\phantom{X}\Rightarrow$ $\Delta\,=\,(3\,-\,2m)^2\,-\,4\centerdot(m\,+\,2)(m\,-\,1)\,$
$\Delta\,=\,(9\,-\,12m\,+\,4m^2)\,-\,4(m^2\,-\,m\,+\,2m\,-\,2)\,=\,$ $9\,-\,12m\,+\,4m^2\,-\,4m^2\,+\,4m\,-\,8m\,+\,8\,=\,$ $-16m\,+\,17\,$
Para que a equação seja do segundo grau é necessário que $\;a = m + 2 \ne 0\;$ e para que tenha raízes reais é necessário que $\,\Delta = 17 - 16m \geqslant 0\,$
$\,\left\{\begin{array}{rcr}\,\;m \ne -2\; &\,\\ m\;\leqslant \dfrac{17}{16} & \end{array}\,\right.\phantom{X}$
m ≤ 17/16 e m ≠ -2
×
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}x^2\,+\,(3m\,+\,2)x\,+\,(m^2\,+\,m\,+\,2)\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais iguais.

 



resposta: m = -2 ou m = 2/5
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(FUVEST - 2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices.
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.

 



resposta: a) $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$; $\,-i\,$; $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$;
b) 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1
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Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,3\phantom{XXX}& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\;& \\ \end{array} \right.\,$
a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.
eixo x0y quadriculado
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

 

d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

 

e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

 

f)
Calcule as raízes de cada uma das funções citadas. .

 


 



resposta: a)
funções f(x) e g(x) resposta

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Veja exercÍcio sobre:
polinômios
equações polinomiais
raízes reais