(EPUSP-63) Mostre que a equação $\phantom{XXX}1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\,=\,0\;$ admite uma raiz positiva inferior a $\;\dfrac{1}{5}\;$.
resposta:
Temos o polinômio $\;\;P(x)\,=\,1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\;\;$ e vamos calcular $\;P(0)\;$ e $\;P(\frac{1}{5})\;$:$\;P(0)\,=\,1000(0)^5\,+\,20(0)^2\,-\,1\,=\,-1\,<\,0$ $\;P(\frac{1}{5})\,=\,1000{(\frac{1}{5})}^{5}\,+\,20{(\frac{1}{5})}^{2}\,-\,1\;=$ $\,1000\,+\,2500\,-\,\frac{3125}{3125}\,>\,0$. Como $\;\;P(0)\centerdot P(\frac{1}{5})\,<\,0\;\;$ , resulta que $\;P\;$ apresenta um número ímpar de raízes no intervalo $\;]0;\frac{1}{5}[\;$ (Teorema de Bolzano).
(FFCLUSP - 1966) Se dois trinômios do segundo grau $\;\;P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\;\;$ e $\;\;Q(x)\,=\,a'x^2\,+\,b'x\,+\,c'\;\;$ possuem uma e uma só raiz comum $\;\;x_0\;\;$, simples, o seu mínimo múltiplo comum é o polinômio:
(CESCEM - 1970) Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x , e representam-se respectivamente por $\;cosh \; x\;$ e $\;senh \; x\;$ aos números:
$cosh\; x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
$senh\; x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
Então $\phantom{X}(cosh\,x)^2 - (senh\,x)^2\phantom{X}$ vale:
(EAESP-GV - 1977) A expressão $\phantom{X}\left[\dfrac{\sqrt{a\;+\;b}\;-\;\sqrt{a}}{b}\right]^{-1}\phantom{X}$ , onde $\;a\;$ e $\;b\;$ são números positivos, é equivalente a:
(ITA - 2004) Dada a equação $\phantom{} x^3\,+\,(m\,+\,1)x^2\,+\,(m\,+\,9)x\,+\,9\,=\,0\phantom{X}$, em que $\;m\;$ é uma constante real, considere as seguintes afirmações:
I.
Se $\phantom{X} m\; \in \;\; ]-6, 6[\phantom{X}$ então existe apenas uma raiz real.
II.
Se $\phantom{X}m\,=\,-6\phantom{X}$ ou $\phantom{X}m\,=\,+6\phantom{X}$, então existe raiz com multiplicidade $\;2\;$.
III.
$\forall \;m \in \mathbb{R}\phantom{X}$, todas as raízes são reais.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas:
(MACKENZIE - 1982) Seja $\;ax^2\,+\,bx\,+\,c\,=\,0\;$ uma equação de coeficientes reais não nulos, com $\,a\,$ e $\,c\,$ de sinais contrários. Então, podemos afirmar que, certamente:
(FGV - 1982) Para que a equação $\phantom{X}(a\,-\,2) \centerdot x^2 \,+\,ax\,+\,a\,-\,1\,=\,0\phantom{X}$ apresente duas raízes reais e distintas, a condição é:
a)
$\,a < 2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$
b)
$\,a > 2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$
c)
$\,a\,\neq\,2\,$
d)
$\,2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}}) < \,a\, < 2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\;$ e $\;a\,\neq \,2$
e)
$\,a\, < \,2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$ ou $\,a\, >\,2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})$
(ITA - 1990) Considere as equações $\;{\large z^3}\,=\,i\phantom{X}\mbox{, e }\phantom{X}{\large z^2}\,+\,(2\,+\,1)z\,+\,2i\,=\,0\;$ onde $\,z\,$ é complexo. Seja $\,S_1\,$ o conjunto das raízes da primeira equação e $\,S_2\,$ o da segunda. Então:
a)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é vazio.
d)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é unitário.
(ITA - 1990) Seja $\phantom{X}p(x)\,=\,16x^5\,-\,78x^4\,+\,...\,+\,{\LARGE \alpha} x\,-\,5\phantom{X}$ um polinômio de coeficientes reais tal que a equação $\phantom{X}p(x)\,=\,0\phantom{X}$ admite mais do que uma raiz real e ainda, $\,\mathbb{a}\,+\,bi\,$ é uma raiz complexa desta equação com $\,\mathbb{a}b\,\neq\,0\,$. Sabendo-se que $\,{\Large \frac{1}{\mathbb{a}}}\,$ é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de $\,p(x)\,=\,0\,$ e que a soma destas raízes vale $\,{\Large \frac{7}{8}}\,$ enquanto que o produto é $\,{\Large \frac{1}{64}}\,$, o valor de $\,{\LARGE \alpha}\,$ é:
(ITA - 1986) Sejam $\,a\,$, $\,b\,$ e $\,c\,$ números reais dados com $\,a\,<\,0\,$. Suponha que $\,x_1\,$ e $\,x_2\,$ sejam as raízes da função $\phantom{X}y\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_1\,<\,x_2\,$. Sejam $\phantom{X}x_3\,=\,\dfrac{-b}{2a}\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_4\,=\,-\,\left(\dfrac{2b\,+\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{4a}\right)\phantom{X}$. Sobre o sinal de $\,y\,$ podemos afirmar que:
(FUVEST - 2018) Considere o polinômio $\phantom{XXXX}P(x) = x^{n}\,+\,a_{n-1}\;x^{n-1}\,+\,...\,+\,a_{1}\;x\,+\,a_{0}\phantom{X}$, em que $\,a_{0}, ... , a_{n-1}\,\in\,\mathbb{R}\,$. Sabe-se que as suas raízes estão sobre a circunferência unitária e que $\,a_{0}\,<\,0\,$. O produto das $\,n\,$ raízes de $\,P(x)\,$, para qualquer inteiro $\,n\,\geqslant\,1\,$, é:
Escrever na forma de um único radical a expressão $\phantom{X}\sqrt{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\phantom{X}$.
resposta:
Resolução:
1. Reduzir os radicais para o mesmo índice 6 — porque 6 é o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3. $\;\sqrt{3}\,=\,\sqrt[\large 2]{3^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{3^{1\centerdot 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{3^{\large 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\;$ $\;\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 3]{5^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{5^{1\centerdot 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{5^{\large 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{25}\;$
2. Usar a primeira propriedade das raízes ($\;\sqrt[\large n]{a}\,\centerdot\,\sqrt[\large n]{b}\,=\,\sqrt[\large n]{a\centerdot b}\;$) $\;\sqrt[\large 2]{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{25}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{27\,\centerdot\,25}\,=\,\sqrt[\large 6]{675}\;$
(FGV) $\phantom{X}{\large \dfrac{\,2\,}{3}\,\centerdot\,\left(8\right)^{\frac{\,2\,}{3}}\,-\,\dfrac{\,2\,}{3}\,\centerdot\,\left(8\right)^{-\,\frac{\,2\,}{3}}}\phantom{X}$ é igual a:
Calcular o valor numérico da expressão:$\phantom{X}-\,\sqrt[\large 3]{-8}\,+\,16^{{}^{\frac{1}{4}}}\,-\,\left(\,-\,\dfrac{1}{2}\right)^{\large -2}\,+\,8^{{}^{\frac{4}{3}}}\phantom{X}$
(UNB) A sequência correta em que se encontram os números $\phantom{X}A\,=\,\sqrt[\large 9]{\sqrt{2,7\,}}\phantom{X}$, $\phantom{X}B\,=\,\sqrt[\large 15]{3\,}\phantom{X}$ e $\phantom{X}C\,=\,\sqrt[\large 8]{\sqrt[\large 17]{(2,7)^{\large 8}\,}}\phantom{X}$ é:
Sendo $\phantom{X}x\phantom{X}$ um número real maior que zero, a expressão$\phantom{X}\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt[\large 5]{x^{\large 4}}\;}}\phantom{X}$ vale:
(FACULDADES OBJETIVO) Qual o valor de $\phantom{X}\dfrac{\;\sqrt{9\;}\,-\,\sqrt[\Large 3]{-8\;}\,+\,(\dfrac{1}{2})^{\large 0}\;}{(-2)^{2}\,+\,\sqrt[\Large 3]{-27\;}}\phantom{X}$?
(FACULDADES OBJETIVO) Qual o valor da expressão $\phantom{X}\dfrac{\;\left( 4^{{}^{\large \frac{3}{2}}}\,-\,8^{{}^{\large \frac{2}{3}}} \right)^{\large \frac{3}{2}}\;}{\;\left[2^{{}^{\large 0}}\,+\,3^{{}^{\large -1}}\centerdot 6\,-\,(\dfrac{3}{4})^{{}^{\large 0}} \right]^{\large 2}\;}\phantom{X}$?
(MACKENZIE) Qual o valor de $\phantom{X}\left[ \sqrt[\LARGE 3]{\dfrac{\;(0,005)^{{}^{\Large 2}}\,\centerdot \,0,000075\;}{10}\;} \right] \div \left[ \dfrac{5\,\centerdot \,10^{{}^{\Large -4}}\,\centerdot 2^{{}^{\large -\frac{1}{3}}}}{3^{{}^{\large -\frac{1}{3}}}} \right]\phantom{X}$?
(MACKENZIE) Se n é um número natural maior que 1, a expressão $\phantom{X}\sqrt[\LARGE n]{\;\dfrac{20}{\;4^{{}^{\Large n\,+\,2}} + 2^{{}^{\Large 2n\,+\,2}}\;}\;}\phantom{X}$ é:
(CESCEM - 1975) A expressão $\phantom{X}ax^2\,+\,bx\,+\,c\phantom{X}$ onde $\phantom{X}b^2\,-\,4ac\,\gt\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,\lt\,0\phantom{X}$ é estritamente positiva se x for:
Os coeficientes a e b daequação ax = b são escolhidos ao acaso entre os pares ordenados do produto cartesiano A × A ,sendo A = {1, 2, 3, 4} ,verificando-se que a é o 1º elemento do par e b é o 2º elemento do par. Qual a probabilidade da equação ter raízes inteiras?
(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 .Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .
a)
Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$
b)
Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?
c)
Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°
resposta: a)
Resolução:
Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:
i)
pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$
ii)
o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$
iii)
o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$
iv)
o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$
v)
Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:
$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$ b)
Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.
Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.
raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$ c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4. ×
(CESCEM) Se os números -3 , a e b são raízes da equação x³ + 5x² - 2x - 24 = 0 , então o valor de a + b é:
(FUVEST) Sejam a , b , c as raízes de um polinômio P(x) do 3º grau, cujo coeficiente de x³ é 1 . Sabe-se que: $\,\left\{\begin{array}{rcr} a\,+\,b\,+ c =\;7\; \phantom{XX}& \\ ab\,+\,ac + bc\,=\,14\;& \\ abc\,=\,8\;\phantom{XXXXX} \; & \\ \end{array} \right.\,$ Calcular P(1)
resposta:
Resolução: se P(x) é do 3º grau, então: $\phantom{X}P(x) = x^3 + \alpha x^2 + \beta x + \gamma\phantom{X}$ Utilizando as Relações de Girard temos que:
Se três números a, b, c, dois a dois distintos, são tais que: $\,\left\{\begin{array}{rcr} a^3\;+\;p\,a\;+\;r\;=\;0\;& \\\;b^3\;+\;p\,b\;+\;r\;=\;0\;& \\ c^3\;+\;p\,c\;+\;r\;=\;0\;& \\ \end{array} \right.\,$ então o valor de a + b + c é:
a)
p
b)
r
c)
p + r
d)
1
e)
0
resposta: (E) notar que a, b e c são raízes da equação x³ + 0x² + px + r e de acordo com as relações de Girard a soma dessas raízes é igual ao simétrico do coeficiente de x² ×
Resolver a equação $\phantom{X}x^3\,-\,6x^2\,+\,11x\,-\,6\,=\,0\phantom{X}$ sabendo que uma de suas raízes é 3 .
(UFS) Se as raízes reais da equação $\phantom{X}x^3\,+\,ax^2\,+\,bx\,-\,8\,=\,0\;;\phantom{X}$ onde $\,a,\,b\,\in\,{\rm\,I\!R}\,$, são distintas e estão em progressão geométrica, então:
(CESCEM) Duas das raízes da equação $\phantom{X}x^3\;+\;2x^2\;-\;9x\;-\;18\;=\;0\phantom{X}$ são simétricas. A soma das duas maiores raízes dividida pela menor raiz é:
(CESCEM) Seja a equação $\phantom{X}2x^3 + x^2 - 18x + k = 0\phantom{X}$, com $\phantom{X}k \in {\rm I\!R}\phantom{X}$. Se a soma de duas raízes desta equação é igual a zero, o valor de k é:
(FUVEST - 2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m ,onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine: a) o valor de m ; b) as raízes desse polinômio.
resposta: a) m = 2; b) raízes $\,1\,-\,\sqrt{3},\,1\,e\,1\,+\,\sqrt{3}\,$ ×
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}mx^2\,+\,(2m\,-\,1)x\,+\,(m\,-\,2)\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais distintas.
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}(m - 1)x^2\,+\,(2m\,+\,3)x\,+\,m\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais distintas.
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}(m\,+\,2)x^2\,+\,(3\,-\,2m)x\,+\,(m\,-\,1)\;=\;0\phantom{X}$ tenha raízes reais.
resposta:
Nessa equação: $\,\left\{\begin{array}{rcr}\,a\,=\,m\,+\,2\phantom{x} &\,\\\,b\,=\,3\,-\,2m &\,\\ \,c\,=\,m\,-\,1\phantom{x} & \end{array}\,\right.\phantom{X}\Rightarrow$ $\Delta\,=\,(3\,-\,2m)^2\,-\,4\centerdot(m\,+\,2)(m\,-\,1)\,$ $\Delta\,=\,(9\,-\,12m\,+\,4m^2)\,-\,4(m^2\,-\,m\,+\,2m\,-\,2)\,=\,$ $9\,-\,12m\,+\,4m^2\,-\,4m^2\,+\,4m\,-\,8m\,+\,8\,=\,$ $-16m\,+\,17\,$ Para que a equação seja do segundo grau é necessário que $\;a = m + 2 \ne 0\;$ e para que tenha raízes reais é necessário que $\,\Delta = 17 - 16m \geqslant 0\,$ $\,\left\{\begin{array}{rcr}\,\;m \ne -2\; &\,\\ m\;\leqslant \dfrac{17}{16} & \end{array}\,\right.\phantom{X}$
Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}x^2\,+\,(3m\,+\,2)x\,+\,(m^2\,+\,m\,+\,2)\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais iguais.
(FUVEST - 2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices.
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir: $\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,3\phantom{XXX}& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\;& \\ \end{array} \right.\,$
a) Represente num mesmo plano cartesiano as funções f(x) e g(x) .
b) Calcule para quais valores de $\;x\;$ as imagens de f(x) e g(x) são iguais.
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .
d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .
e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .
f)
Calcule as raízes de cada uma das funções citadas. .
