A soma dos ângulos internos de um polígono é 2340°. Calcular a quantidade de diagonais desse polígono.

resposta:

A soma dos ângulos internos de um polígono é 180° × (n - 2)

Resolução:

Vamos calcular a quantidade de lados no polígono:

SI = 180°(n - 2) = 2340° ⟺ n - 2 = 13 ⟺ n = 15

Agora vamos substituir o número de lados (n = 15) na fórmula do número de diagonais:

$\phantom{X}d_n\,=\,\dfrac{\;n(n\,-\,3)\;}{2}\phantom{X}$ e então temos que:

$\phantom{X}d_{\text 15\,lados}\,=\,\dfrac{\;15(15\,-\,3)\;}{2}\;\Leftrightarrow\;d_{\text 15\,lados}\,=\,90\phantom{X}$

90 diagonais
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O número de diagonais de um polígono é 20. Qual é esse polígono?

resposta:

$\require{cancel}$Resolução:

Veja a fórmula do número de diagonais de um polígono em função do número de lados (n):

$\;\boxed{\phantom{X}d_n\,=\,\dfrac{\;n(n\,-\,3)\;}{2}\phantom{X}}\;$

$\phantom{X}d_n\,=\,\dfrac{\;n(n\,-\,3)\;}{2}\;=\;20\phantom{X} \;\Longleftrightarrow\;$ $\;n^2 - 3n - 40 = 0\;\Longleftrightarrow\;$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} n\,=\,8\phantom{XX}\longleftarrow & {\text (resposta)\phantom{X}} \\ n\,=\,\cancel{-5}\;\longleftarrow& {\text (inadequado)} \\ \end{array} \right.\,$

se n = 8 o polígono é o OCTÓGONO

Octógono (n = 8 lados)
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O valor de um ângulo interno de um polígono regular é 150° . Qual é o polígono?

resposta:

Polígono regular possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos de mesma medida.

Resolução:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} A_i\;\leftarrow & \\ S_i \; \leftarrow & \\ n \;\leftarrow & \end{array} \right.\,$

medida do ângulo interno
soma das medidas dos ângulos internos
número de lados

Sabemos que soma dos ângulos internos de um polígono é $\boxed{\phantom{X}S_i\;=\;180^o(n\,-\,2)\phantom{X}}$

$\;A_i\,=\,\dfrac{\;S_i\;}{\;n\;}\;=\dfrac{\;180^o(n\,-\,2)\;}{n}\;=\;150^o\;\Longleftrightarrow$ $\;180^o\,\centerdot\,n\,-\,360^o\;=\;150^o\,\centerdot\,n\;\Longrightarrow$ $\;n\,=\,12\;$

O polígono é o Dodecágono (n = 12 lados)
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Verificar se existe ou não polígono com 15 diagonais e, se existe, quantos lados possui o polígono.

resposta:

$\,d_n\,=\,15\,$

$\,d_n\,=\,\dfrac{\,n\,\centerdot\,(n\,-\,3)\,}{2}\phantom{XX}n\,\in\,\mathbb{N}\,;\,n\,\geqslant\,3$

$\,\dfrac{\,n\,\centerdot\,(n\,-\,3)\,}{2}\,=\,15\;\Longleftrightarrow\;n^2\,-\,3n\,-\,30\,=\,0$

$\,n_1\,=\,\dfrac{\;9\,+ \sqrt{\,129\;}}{2}\phantom{XX}n_2 = \dfrac{\;9\,- \sqrt{\,129\;}}{2}\;\Longrightarrow$ $\;\,n\,\,\notin\,\,\mathbb{N}$

Não existe polígono com 15 diagonais.
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Qual é o polígono regular cujo ângulo interno (a_i) mede entre 130° e 140° ?

resposta:

Resolução:
A condição descrita no enunciado é 130° < a_i < 140°
Sabemos que $\,a_i\,=\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\;$graus, e então temos que:

$\,130^o\,\lt\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\,\lt\,140^o\,$ que podemos então resolver como um sistema de inequações:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} 130^o \lt \,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\;&(I) \\ \dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\,\lt\,140^o\;&(II) \end{array} \right.\,$

Resolvento (I)
$\,130^o\,\lt\,\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\;\Longleftrightarrow$ $\;130n\,\lt\,180(n\,-\,2)\;\Longleftrightarrow$ $\;\boxed{\;n\,\gt\,7,2\;}\;(*)$

Resolvento (II)
$\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\lt\,140^o\;\Longleftrightarrow$ $\;180(n\,-\,2)\,\lt\,140n\;\Longleftrightarrow$ $\;\boxed{\;n\,\lt\,9\;}\;(**)$

(*) e (**) Temos então que 7,2 < n < 9 e como n ∈ ℕ concluímos que n = 8

o polígono é o octógono regular (n = 8)
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Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do ângulo externo?

resposta:

Resolução:
a_i é o ângulo interno;
a_e é o ângulo externo;
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_i\,+\,a_e\,=\,180^o\;& \\ a_i\,=\,3\,a_e\phantom{XXX}\;& \end{array} \right.\phantom{X}\Longrightarrow\;a_e\,=\,45^o$
Quando um polígono é regular o ângulo externo é igual a $\,\dfrac{\;360^o\;}{n}$.
$\,\dfrac{\;360^o\;}{n}\;=\;45^o\;\Longrightarrow\;n\,=\,8\,$
Calculando o número de diagonais de um polígono de oito lados:
$\,d_n\,=\,\dfrac{\;n(n\,-\,3)\;}{2}\;\Rightarrow\,$ $\;d_n = \dfrac{\;8(8-3)\;}{2}\;=\;20\;$

o polígono tem 20 diagonais.
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Duas retas concorrentes formam entre si ângulo de 18°. Quantos lados tem o polígono regular onde dois lados consecutivos são segmentos que pertencem a cada uma dessas concorrentes, respectivamente.

resposta: 20 lados
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