Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes:
A={0,2,4,6,8,...}
B={0,1,2,...9}
C={Brasília, Rio de Janeiro, Salvador}

resposta: A={x | x é inteiro, par e não negativo}
B={x | x é algarismo arábico}
C={x | x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}

×

Descreva por meio de uma propriedade dos elementos:
$A = \lbrace+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6\rbrace$
$B = \lbrace0, -10, -20, -30, -40, ...\rbrace$
$C = \lbrace1, 4, 9, 16, 25, 36, ...\rbrace$
$D = \lbrace Lua \rbrace$

resposta:
×

(PUC) Seja $\,D\,=\,\lbrace \, 1, \,2, \,3, \,4, \,5 \,\rbrace\,$, e $\,f\,:\, D \rightarrow \mathbb{R}\;$ a função definida por $\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)\centerdot(x\,-\,4)\,$. Então:

$f\,$ é sobrejetora

$f\,$ é injetora

$f\,$ é bijetora

O conjunto imagem de $\,f\,$ possui 3 elementos somente

$\,Im(f)\,=\,\lbrace \, -1,\,0,\,1 \,\rbrace\,$

resposta: (D)
×

(USP) Dizemos que uma função real é par se $\,f(x)\,=\,f(-x)\,$ e que é ímpar se $\,f(x)\,=\,-f(-x)\,$.
Das afirmativas que seguem indique qual a falsa:

O produto de duas funções ímpares é uma função ímpar.

O produto de duas funções pares é uma função par.

A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.

A soma de duas funções pares é uma função par.

Alguma das afirmações anteriores é falsa.

resposta: alternativa A (é falsa)
×

(ITA) Com relação à função $\,f\,:\, \mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+} \rightarrow \mathbb{R}_+\;$ tal que $\,f(b\,-\,a)\,=\,f(a)\,-\,f(b);\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - a,b \,\in\, \, \mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+} \,$, então:

$\,f\,$ é decrescente em $\,\mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+}\,$

$\,f\,$ é crescente em $\,\mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+}\,$

$\,f\,$ é estritamente decrescente em $\,\mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+}\,$

$\,f\,$ é estritamente crescente em $\,\mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+}\,$

$\,f\,$ é constante em $\,\mathbb{R^{\large *}} \negthickspace \negthinspace {_+}\,$

resposta: (A)
×

(PUC) Uma função que verifica a propriedade
"qualquer que seja $\,x\,$, $\;f(-x)\,=\,-f(x)\,$" é:

$f(x) \,=\, 2\phantom{X}$

$f(x)\, =\, 2x$

$f(x)\,=\,x^2\;$

$\,f(x)\,=\,2^x\,$

$\,f(x)\,=\, \operatorname{cos}(x)\,$

resposta: (B)
×

Resolver em $\,\mathbb{R}\,$ as inequações, aplicando as propriedades da desigualdade.

$\,3x\,-\,6\,<\,0\,$

$\,-3x\,+\,6\,<\,0\,$

$\,6\,-\,2x\,\geqslant\,0\,$

$\,x\,-\,3\,<\,x\,+\,3\,$

$\,-x\,+3\,\leqslant \,x\,+\,3\,$

$\,x\,-\,2\, > \,x\,+\,2\,$

resposta: Resolução:

$\,3x\,-\,6\,<\,0\;\Rightarrow $ $ \; 3x\,<\,6\; \Rightarrow $ $ \;\boxed{x<2}\,$

$\,-3x\,+\,6\, < \, 0 \; \Rightarrow $ $ \; -3x\, < \, -6 \;\Rightarrow $ $ \; \boxed{x > 2} \,$

$\,6\,-\,2x\,\geqslant 0 \; \Rightarrow $ $ \; -2x\, \geqslant \,-6 \;\Rightarrow $ $ \boxed{x \leqslant 3}\,$

$\,x\,-\,3\, < \, x\,+\,3 \; \Rightarrow $ $ \; 0x\, < 6 \;$ que ocorre para $\; \boxed{\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \,\in\, \, \mathbb{R} \,}\,$

$\,-x\,+\,3\,\leqslant \,x\,+\,3\; \Rightarrow $ $ \,-2x \, \leqslant \, 0 \Rightarrow $ $ \boxed{x \geqslant 0}\,$

$\,x\,-\,2\, > \, x\,+\,2 \; \Rightarrow $ $ \; 0x \, > \, 4 \; \Rightarrow $ $ \; \boxed{x \notin \mathbb{R}}\;$ ou $ \; \mathbb{S} \,=\, \varnothing \,$

Resolver a equação $\,{\large \binom{10}{2x}}\,=\,{\large \binom{10}{x\,+\,1}} \, \neq \, 0\,$

resposta:
Propriedade:
Os números binomiais $\,{\large \binom{n}{k}}\;$ e $\;{\large \binom{n}{n-k}}\;$ são chamados complementares e são iguais. Assim:
$\boxed{\,{\large \binom{n}{k}}\;=\;{\large \binom{n}{n-k}}\,}$

Resolução:
$\,\binom{10}{2x}\,=\,\binom{10}{x\,+\,1} \, \neq \, 0\;\Longleftrightarrow \;2x\,=\,x\,+\,1 \; \text{ ou } \; 2x\,+\,(x\,+\,1)\,=\,10\;\Longleftrightarrow$
$\,\Longleftrightarrow\;x\,=\,1\;\text{ ou }\; x\,=\,3\,$.
Resposta: $\,V\,=\,\lbrace\, 1, 3 \,\rbrace\,$

×

Calcular o valor da expressão:
$\,\frac{10 \, \left[ {\large \binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3} } \right]\,+\,2\,\left[\,{\large \binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]}{\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}\,$

resposta:

Pela propriedade da soma na linha do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que:
$\,\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}\,=\,2^{\large{3}}\,=\,8$

Pela propriedade da soma na coluna do triângulo de Pascal, temos que:
$\,\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}\,=\,\binom{5}{3}\,=\,10$

Pela propriedade da soma na diagonal do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que:
$\,\binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}\,=\,\binom{6}{3}\,=\,20$

Então:
$\,\frac{10 \, \left[\large {\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}} \right]\,+\,2\,\left[\,\large {\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]\phantom{XX}}{ {\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}}\,=\,$ $\,\dfrac{10\centerdot 8 \,+\, 2\centerdot 10}{20}\,=\,\dfrac{100}{20}\,=\,5$

5
×

Empregando as propriedades do triângulo de Pascal, achar o valor das seguintes somas:

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{10}} {\Large \binom{10}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{9}} {\Large \binom{10}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,2}^{9}} {\Large \binom{9}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,4}^{10}} {\Large \binom{p}{4}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,5}^{10}} {\Large \binom{p}{5}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{7}} {\Large \binom{3\,+\,p}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{3}} {\Large \binom{8\,+\,p}{p}}\,$

resposta:

1024

1023

502

462

330

220

Sendo a reta a paralela à reta b, determine x nos casos:

duas paralelas cortadas por uma transversal a 50 graus

duas paralelas cortadas por uma transversal a 120 graus

resposta: 50° e 60°
×

Se as retas r e s são paralelas, determine x nos seguintes casos:

retas paralelas r e s cortadas por uma transversal

diagrama retas paralelas cortadas por uma transversal

resposta: 60° e 70°
×

As retas r e s dos casos representados nas figuras são paralelas entre si. Determine x e y.

duas retas paralelas e duas transversais

duas paralelas cortada por duas transversais perpendiculares entre si

resposta: a) x = 120° e y = 75° b) x = 20° e y = 50°
×

Assinale a alternativa incorreta:

"Comprem-se todas as propriedades desta região" — se é partícula apassivadora;

"Por onde se vai ao Museu de Arte?" — se é partícula de indeterminação do sujeito;

"Os inimigos olham-se agora como amigos..." — se é objeto direto;

"Os fugitivos se morriam de sede e fome..." — se é objeto direto;

"A Lua se elevava nos céus..." — se é objeto direto

resposta: Alternativa D - em d) o se é partícula de realce ou expletiva.
×

Escrever na forma de um único radical a expressão $\phantom{X}\sqrt{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\phantom{X}$.

resposta:

Resolução:

1. Reduzir os radicais para o mesmo índice 6 — porque 6 é o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3.
$\;\sqrt{3}\,=\,\sqrt[\large 2]{3^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{3^{1\centerdot 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{3^{\large 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\;$
$\;\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 3]{5^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{5^{1\centerdot 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{5^{\large 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{25}\;$

2. Usar a primeira propriedade das raízes ($\;\sqrt[\large n]{a}\,\centerdot\,\sqrt[\large n]{b}\,=\,\sqrt[\large n]{a\centerdot b}\;$)
$\;\sqrt[\large 2]{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{25}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{27\,\centerdot\,25}\,=\,\sqrt[\large 6]{675}\;$

Resposta:

$\;\sqrt[\large 6]{675}\;$
×

Sendo

$\phantom{X}M\;=\;\begin{pmatrix} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{pmatrix} \,$;

$\phantom{X}A\;=\;\begin{pmatrix} 2m & 2n & 2p \\ 3a & 3b & 3c \\ x & y & z \end{pmatrix} \,$

$\phantom{X}B\,=\,2M\phantom{X}$ e $\phantom{X}detM\,=\,5\phantom{X}$ calcular:

a) $\,detA\,$b) $\,detB\,$

resposta: a)detA = -30; b)detB = 40
×

Qual das propriedades abaixo é uma característica das partículas dispersas das soluções?

são visíveis ao microscópio comum.

são retidas somente por ultrafiltros laboratoriais

sedimentam muito lentamente por ação da gravidade

são retidas no filtro comum

não são visíveis ao microscópio.

resposta: (E)
×

Sendo a , b e c números reais positivos, desenvolver as expressões abaixo.

$\;log_{{}_{\Large \,2\,}}\left(\dfrac{\,2ab\,}{c}\right)\,$

$\;log_{{}_{\Large \,3\,}}\left(\dfrac{\,a^{\large 3}b^{\large 2}\,}{c^{\large 4}}\right)\,$

$\;log\,\left(\dfrac{\,a^{\large 3}\,}{\,b^{{}^{\Large 2}}\,\centerdot\,\sqrt{\,c\,}\,}\right)\,$

resposta: a) $1\,+\,log_2\,a\,+\,log_2\,b\,-\,log_2\,c$ b) $3\,log_3\,a\,+\,2\,log_3\,b\,-\,4\,log_3\,c$ c) $\,3\,log\,a\,-\,2\,log\,b\,-\,\dfrac{1}{2}\,log\,c$
×

Desenvolver as expressões abaixo aplicando as propriedades dos logaritmos.

$\;log_{{}_{\Large \,5\,}}(\dfrac{\,5a\,}{bc})\,$

$\;log_{{}_{\Large \,3\,}}(\dfrac{\,ab^2\,}{c})\,$

$\;log_{{}_{\Large \,2\,}}\left(\dfrac{\,a^2\,\sqrt{\,b\,}\,}{\sqrt[\large \,3\,]{\,c\,}} \right) $

$\;log_{{}_{\Large \,3\,}}\left(\dfrac{\,a\,\centerdot\,b^3\,}{c\,\centerdot\,\sqrt[\large \,3\,]{\,a^2\,}}\right)\,$

$\;log\sqrt{\dfrac{\,ab^3\,}{c^2}}\,$

$\;log_{{}_{\Large \,3\,}}\sqrt[\Large 3\,]{\dfrac{\,a\,}{\,b^2\,\centerdot\,\sqrt{\,c\,}}}\,$

$\;log_{{}_{\Large \,2\,}}\sqrt{\dfrac{\,4a\,\sqrt{\,ab\,}}{\,b\;\sqrt[\Large 3\,]{\,a^2b\,}}}\,$

$\;log\,\left(\sqrt[\LARGE 3\,]{\dfrac{\,a^{\large 4}\,\sqrt{\,ab\,}}{\,b^2\;\sqrt[\Large 3\,]{\,bc\,}}}\right)^{\Large 2}\,$

resposta: a) $\,1\,+\,log_5a\,-\,log_5b\,-log_5c\,$ b) $\,log_3a\,+\,2\,log_3b\,-\,log_3c\,$ c) $2\,log_2a\,+\,\frac{1}{2}log_2b\,-\,\frac{1}{3}log_2c$ d) $\,\frac{1}{3}\,log_3a\,+\,3\,log_3b\,-\,log_3c$ e) $\frac{1}{2}\,log\,a\,+\,\frac{3}{2}log\,b\,-\,log\,c$ f) $\frac{1}{3}\,log\,a\,-\,\frac{2}{3}log\,b\,-\,\frac{1}{6}log\,c$ g) $\,2\,+\,\frac{5}{12}log_2a\,-\,\frac{5}{12}log_2b\,$h) $\,3\,log\,a\,-\,\frac{11}{9}log\,b\,-\,\frac{2}{9}log\,c\,$
×

Calcular:
a) $\,antilog_{\,2\,}(log_2\,3)\;$ b)$\,antilog_{\,3\,}(log_3\,5)\,$

resposta: a) 3 b) 5
×

Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos. Obs. a > b > c > 0 .

$\;log_{{}_{\Large \,2\,}}\dfrac{2a}{\;a^2\,-\,b^2\;}\;$

$\;log_{{}_{\Large \,2\,}}\dfrac{a^2\,\sqrt{\,bc\,}}{\;\sqrt[\LARGE 5]{\,(a\,+\,b)^3}\;}\;$

$\;log\left(c\,\centerdot\,\sqrt[\LARGE 3]{\dfrac{\;a(a\,+\,b)^2}{\sqrt{\;b\;}}} \right)\;$

$\;log\left(\dfrac{\;\sqrt[\Large 5]{a(a\,-\,b)^2}\;}{\sqrt{a^2\,+\,b^2}} \right)\;$

resposta: a) b) c) d)
×

Sendo a, b e c reais positivos, escreva as expressões cujos desenvolvimentos logaritmicos são dados.

$\;log_{{}_{\Large \,2\,}}a\,+\,log_{{}_{\Large \,2\,}}b\,-\,log_{{}_{\Large \,2\,}}c\;$

$\;2\,log\,a\;-\;log\,b\;-\;3\,log\,c\;$

$\;2\,-\,log_{{}_{\Large \,3\,}}a\,+\,3\,log_{{}_{\Large \,3\,}}b\,-\,2\,log_{{}_{\Large \,3\,}}c\;$

$\;\dfrac{\;1\;}{2}\,log\;a\,-\;2\,log\,b\;-\;\dfrac{\;1\;}{3}\,log\,c\;$

$\;\dfrac{\;1\;}{3}\,log\;a\,-\;\dfrac{\;1\;}{2}\,log\,c\;-\;\dfrac{\;3\;}{2}\,log\,b\;$

$\;2\;+\;\dfrac{\;\,1\,\;}{3}\,log_{{}_{\Large \,2\,}}a\,+\,\dfrac{\;\,1\,\;}{6}\,log_{{}_{\Large \,2\,}}b\,-\,log_{{}_{\Large \,2\,}}c\;$

$\;\dfrac{\;1\;}{4}(log\,a\;-\;3\,log\,b\;-\;2\,log\,c)\;$

resposta: a) b) c) d)
×

Se $\;log\,2\;=\;a\phantom{X}$ e $\phantom{X}log\,3\;=\;b\;$, colocar em função de $\,a\,$ e $\,b\,$ os seguintes logaritmos decimais:

$\,log\,6\,$

$\,log\,4\,$

$\,log\,12\,$

$\,log\,\sqrt{\,2\,}\,$

$\,log\,0,5\,$

$\,log\,20\,$

$\,log\,5\,$

$\,log\,15\,$

resposta: a) b) c) d)
×

Desenvolver as potências (utilizando as propriedades do triângulo de Pascal).

$\phantom{X}(x\,+\,y)^0\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,+\,y)^1\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,+\,y)^2\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,+\,y)^3\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,+\,y)^4\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,+\,y)^5\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,+\,y)^7\phantom{X}$

$\phantom{X}(x\,-\,y)^5\phantom{X}$

resposta:
×

Considere um meio que apresente as seguintes propriedades:

o meio permite a propagação de luz, através de si, em trajetórias regulares, com visão nítida dos objetos;

em qualquer posição que considerarmos uma porção do meio, as propriedades físicas são as mesmas.

em cada ponto do meio a velocidade de propagação da luz varia conforme a direção em que é medida.

Classifique o meio em questão.

resposta: transparente, homogêneo, anisótropo
×

Determine o tamanho mínimo e a posição de um espelho plano vertical para que um observador de altura H, cujos olhos estão à altura h, possa se ver de corpo inteiro.

quadriculado para desenho de imagem no espelho

resposta:

Resolução:Vamos construir a imagem no espelho plano e definir a relação entre as medidas.

Passo 1. Marcar os pontos A' e B' simétricos a A e B em relação à superfície do espelho. Desenhar a imagem A'B' simétrica, que na figura (em azul) representa a imagem de AB no espelho.
A medida da distância entre a pessoa AB até o espelho (p) é igual à medida da distância da imagem A'B' ao espelho (p')

Passo 2. Para o observador enxergar a imagem do seu pé, ou seja, enxergar o ponto A, o raio de luz que atinge o seu olho no ponto O deve passar pela imagem do pé no ponto A'.
Desenhe então o raio que parte de A' e atinge O. Lembre-se que atrás do espelho é o ambiente escuro, por isso a porção do raio A'O atrás do espelho é representada como linha pontilhada.
Note na figura que o ponto de cruzamento do raio A'O com o espelho E é o ponto chamado I₁. O segmento OI₁ representa o raio de luz; o segmento I₁A' pontilhado representa o prolongamento do raio que define a imagem da sola do pé A'.

Passo 3. O raio I₁O é resultado da reflexão da luz real de um raio que partiu de A e atingiu o espelho no ponto I₁.
Desenhar então o raio AI₁.

Passo 4. Analogamente, para que o observador possa ver a imagem do topo da sua cabeça, o olho deve receber um raio que passa pelo ponto alto da imagem de sua cabeça, o ponto B'.
Desenhamos um raio de luz que atinge O e cujo prolongamento passa pela imagem do topo da cabeça B'.
Note que esse raio de luz OB' cruza com o espelho num ponto que foi chamado I₂. O segmento B'I₂ é representado por linha pontilhada porque está na área escura do espelho, ou seja, é apenas um prolongamento do raio de luz.
O segmento I₂O é o raio de luz na área clara (real), por isso é representado por linha contínua.

Passo 5. O raio I₂O é resultado da reflexão de um raio real que partiu de B e atingiu o espelho no ponto I₂.
Desenhar então o raio BI₂: o raio que, refletido, gerou a imagem do ponto mais alto da cabeça.

semelhança de triângulos no espelho plano

Passo 6. Do esquema ao lado, podemos concluir que o triângulo A'OB' e o triângulo I₁OI₂ são semelhantes pelo critério (AA∾).
O ângulo $\hat{O}$ é comum a ambos os triângulos A'OB' e I₁OI₂
Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_2}$ e $\hat{B'}$ são ângulos correspondentes.
Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_1}$ e $\hat{A'}$ são ângulos correspondentes.

tamanho mínimo de em espelho plano vertical

Passo 7. Conforme o enunciado, a altura do observador em frente ao espelho é H então $\;\overline{AB}\;=\;H\,$
Vamos chamar a dimensão vertical mínima do espelho $\;\overline{I_1I_2}\;$ de $\;d\;$.
Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .Da semelhança dos triângulos OI₁I₂ e OA'B' decorre que:
$\;\dfrac{\;H\;}{\;d\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{|p|}\;\Rightarrow\;H\,=\,2d\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;d\;=\;\dfrac{\;H\;}{\;2\;}\;}\;$

O tamanho mínimo de um espelho plano, na posição vertical, para que uma pessoa possa ver seu corpo inteiro, independe da distância entre a pessoa e o espelho.

Passo 8. Vamos chamar de D a posição do espelho em relação ao chão, então $\;\overline{CI_1}\;=\;D\,$
A distância do olho do observador até o chão, segundo o enunciado, é $\;h\;$, então $\;\overline{AO}\;=\;h\,$.
O triângulo AOA' é semelhante ao triângulo CI₁A' pelo critério (AA∾)
O ângulo $\;\hat{A}\;$ e o ângulo $\;\hat{C}\;$ são ângulos retos;
O ângulo $\;\hat{A'}\;$ é um ângulo comum aos dois triângulos.
Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .
Da semelhança dos triângulos AOA' e CI₁A' decorre que:
$\;\dfrac{\;h\;}{\;D\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{\;|p|\;}\;\Rightarrow\;h\;=\;2D\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;D\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,2\,}\;}$

A posição de um espelho plano relativa ao solo para que um observador consiga ver-se de corpo inteiro independe da distância do observador ao espelho (p).

Sejam os conjuntos
conjuntos A = { 1; 2; 3 } e B = { 0; 2; 3; 4 } .
a) Represente num diagrama de flechas as seguintes relações binárias de A em B .

$\,f\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;x\,=\,y\,-\,2\;\rbrace\,$

II.

$\,g\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;y\,\gt\,x\;\rbrace\,$

III.

$\,h\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;y\,=\,x\,+\,1\;\rbrace\,$

b) Considere as relações binárias de A em B e as propriedades seguintes:

F⋅1 :

Todo x ∈ A se relaciona com algum y ∈ B .

F⋅2 :

Cada x ∈ A que se relaciona, relaciona-se com um único y ∈ B .

Assinale a opção verdadeira:

(i)

f satisfaz F⋅1

(ii)

g satisfaz F⋅1 e F⋅2

(iii)

h satisfaz F⋅1 e não satisfaz F⋅2

(iv)

h não satisfaz F⋅1

(v)

h satisfaz F⋅1 e F⋅2

resposta: a)

II.

III.

relacao binaria de A em B com flechas e diagrama de Venn

b) (v) é a correta
×

Justifique a seguinte propriedade: "Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo anterior e o posterior".

resposta:

(hipótese):
Seja a P.G.$(...\,,\,a_{p-1}\,,\,a_{p}\,,\,a_{p+1}\,,\,...)$ de razão igual a $\,q\,$
(tese):
Queremos demonstrar que $\phantom{X}(ap)^2\,=\,a_{p-1}\,\centerdot\,a_{p+1}\phantom{X}$
(DEMONTRAÇÃO):
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\;& \\ a_p\,=\,a_1\,q^{p-1}\phantom{Xx}& \\ a_{p+1}\,=\,a_1\,q^{p}\phantom{Xx}& \end{array} \right.\;\Longrightarrow$ $\;a_{p+1}\,\centerdot \,a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\,\centerdot \,a_1\,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{p-2}\,\centerdot \,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2p-2}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2(p-1)}\,=$ $\,=\,(a_1\,q^{p-1})^2\,=$ $\,(a_p)^2$

c.q.d.