Exercícios sobre projeção ortogonal do ponto

Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.

resposta:

Resolução:
Para um ponto $\;P(x;y)\;$, vamos chamar de $\;P_x\;$ e $\;P_y\;$ as projeções do ponto $\,P\,$ respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).

plano cartesiano mostrando ponto Pe xis ípsilon

Resposta:

$\,A(2\,;\,3)\;\;\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} A_x\;(2\,;\,0) \phantom{X}& \\ A_y\;(0\,;\,3)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$

$\,B(3\,;\,-1)\;\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} B_x\;(3\,;\,0) \phantom{XX}& \\ B_y\;(0\,;\,-1)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$

$\,C(-5\,;\,1)\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} C_x\;(-5\,;\,0) \phantom{X}& \\ C_y\;(0\,;\,1)\phantom{XX}& \\ \end{array} \right.$

$\,D(-3\,;\,-2)\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} D_x\;(-3\,;\,0) \phantom{X}& \\ D_y\;(0\,;\,-2)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$

$\,E(-5\,;\,-1)\;\Rightarrow \; \left\{\begin{array}{rcr} E_x\;(-5\,;\,0) \phantom{X}& \\ E_y\;(0\,;\,-1)\phantom{X}& \\ \end{array} \right.$

Dar as coordenadas dos pontos simétricos aos pontos A(-1 , 2) ; B(3 , -1) ; C(-2 , -2) ; D(-2 , 5) ; E(3 , -5) em relação ao eixo das ordenadas.

resposta:

Resolução:
Para um ponto $\;P(x\, ,\,y)\;$ existe o ponto $\;P_1\;$, simétrico a $\;P\;$ em relação ao eixo das ordenadas, conforme a figura:

plano cartesiano indicando simétrico de P em relação ao eixo das ordenadas

Observando a figura acima, podemos concluir:

$\,\boxed{\;P(x\, , \,y)\;\Rightarrow \;P_1(-x\, , \,y) \,}$

Resposta:

$\,A(-1\,,\,2)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,A_1(1\,,\,2)\,$

$\,B(3\,,\,-1)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,B_1(-3\,,\,-1)\,$

$\,C(-2\,,\,-2)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,C_1(2\,,\,-2)\,$

$\,D(-2\,,\,5)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,D_1(2\,,\,5)\,$

$\,E(3\,,\,-5)\,$
$\phantom{X}\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\,E_1(-3\,,\,-5)\,$

Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:

$\,xy \, >\, 0\,$

$\,xy \, < \, 0\,$

$\,x\,-\,y\,=\,0\,$

$\,x\,+\,y\,=\,0\,$

resposta: Resolução:

se $\,xy \, > \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades:
1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE
2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE

se $\,xy \, < \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades:
1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE
2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE

se x - y = 0 ⇒ x = y ⇒ $ \left\{\begin{array}{rcr} P(x\, ,\,y) \in \,1º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XX}\text{ou}& \\ P(x\,,\,y) \in \,3º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.$

se $\,x\,+\,y \, = \, 0\; \Rightarrow \; $ $\;x\,=\,-y \;\Rightarrow\; \left\{\begin{array}{rcr} P(x\, ,\,y) \in \,2º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XX}\text{ou}& \\ P(x\,,\,y) \in \,4º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.$