A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é a_n = a₁.q^{n - 1}

a) De acordo com o enunciado
$\require{cancel}$$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,15\;& \\ a_3\,=\,45\;& \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,a_3\,=\,a_1\,q^{3\,-\,1}\;\Longleftrightarrow$ $\;45\,=\,5\,q^2\;\Longleftrightarrow$ $\,q_1\,=\,3\;\,{\text e}\;\cancel{\,q_2\,=\,-3\,}$(a razão é positiva).
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula $\,\boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\;a_1\,(\,q^n\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}\;}\,$.
No enunciado $a_1$ é 5 e a razão $q$ nós calculamos e é igual a 3
. Vamos calcular os 6 primeiros termos:
$\,S_6\,=\,\dfrac{\;5\,(\,q^6\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}$ $\,=\,\dfrac{\;5\,(\,3^6\,-\,1\,)\;}{3\,-\,1}\,=\,1820$

b) A pergunta refere-se aos termos inteiros positivos entre 0 e 112, então o intervalo de números naturais é de 1 até 111, incluindo os extremos.

1. A soma de todos os inteiros positivos de 1 a 111 é dada por:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,1\phantom{XXXXXXXx} & \\ n\,=\,111\phantom{XXXXXXX} & \\ \boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;} \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,S_{111}\,=\,\dfrac{\,111(1\,+\,111)\,}{2}$ $\;= 6216$
A soma dos 111 primeiros números inteiros é 6216.

2. Vamos dividir 111 por 4 e encontrar quantos números entre 1 e 111 são múltiplos de 4

111

4

31

27

3

Notar que:
● o quociente é 27, então existem 27 múltiplos de 4 entre 1 e 111
● o primeiro número divisível por quatro é a₁ = 4
● o último número divisível por 4 é igual a 111 menos o resto da divisão, então a₂₇ = 111 - 3 = 108
● A soma de todos os múltiplos de 4 menores que 112 é igual a $\,S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;\Rightarrow$ $\;S_{27}\;=\;\dfrac{\,27(4 + 108)\,}{2}$ $\;=\;1512 \;$

3. Basta subtrair:
(soma dos inteiros menores que 112) menos (soma dos múltiplos de quatro menores que 112) = 6216 - 1512 = 4704.

c) A soma dos n primeiro termos é S_n = n(2n + 1)
Então a soma dos 20 primeiros termos é:
$\,S_{\large 20}\,=\,20(2\,\centerdot\,20\,+\,1)\,=\,820\,$
Para descobrir o 20º termo, vamos extrair da soma acima o valor da soma de todos os termos anteriores ao 20º, a saber, a soma de todos os termos até o 19º:
$\,S_{\large 19}\,=\,19(2\,\centerdot\,19\,+\,1)\,=\,741\,$
O vigésimo termo é então 820 - 741 = 79

a) a soma dos 6 primeiros termos é 1820 b)a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4 é 4704 c) o vigésimo termo é 79
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resposta: (em graus) $\dfrac{90(\sqrt{90}\,-\,1)}{89}\; ; \dfrac{90(90 - \sqrt{90})}{89}\;; 90^o\;$
(em radianos) $\,\dfrac{3\pi}{4}\,-\,\dfrac{\pi\sqrt{5}}{4}\; ; \dfrac{\pi (\sqrt{5} - 1)}{4}\;; \dfrac{\pi}{2}\,$
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resposta: 35
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resposta: a₁ = 2
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resposta: ( a₁ = 320 e q = 1/2 ) ; ( a₁ = -320 e q = -1/2 )
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resposta: 1/32
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resposta: P.G.(6, 12, 24, 48, 96, 192, 384)
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resposta: -728
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resposta: 2550
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resposta: 2/81
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resposta: 48 unidade²
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resposta:

(hipótese):
Seja a P.G.$(...\,,\,a_{p-1}\,,\,a_{p}\,,\,a_{p+1}\,,\,...)$ de razão igual a $\,q\,$
(tese):
Queremos demonstrar que $\phantom{X}(ap)^2\,=\,a_{p-1}\,\centerdot\,a_{p+1}\phantom{X}$
(DEMONTRAÇÃO):
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\;& \\ a_p\,=\,a_1\,q^{p-1}\phantom{Xx}& \\ a_{p+1}\,=\,a_1\,q^{p}\phantom{Xx}& \end{array} \right.\;\Longrightarrow$ $\;a_{p+1}\,\centerdot \,a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\,\centerdot \,a_1\,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{p-2}\,\centerdot \,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2p-2}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2(p-1)}\,=$ $\,=\,(a_1\,q^{p-1})^2\,=$ $\,(a_p)^2$

c.q.d.

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A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é an = a1.qn - 1

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é a_n = a₁.q^{n - 1}