(PUC) O limite da soma dos termos da progressão geométrica $\,\left({\large \frac{1}{3}},\,{\large\frac{1}{9}},\,{\large\frac{1}{27}}, ... ,\right)\,$ é:
(ITA - 1979) Considere uma Progressão Geométrica, onde o primeiro termo é $\phantom{X}a\;, \;\;a\,>\,1\phantom{X}$, a razão é $\phantom{X}q\;,\;\;q\,>\,1\phantom{X}$, e o protudto dos seus termos é $\;\;c\;\;$. Se $\phantom{X}\sideset{}{\large _a^b}{log}\,=\,4\phantom{X}$, $\phantom{X}\sideset{}{\large _q^b}{log}\,=\,2\phantom{X}$ e $\phantom{X}\sideset{}{\large _c^b}{log}\,=\,0,01\phantom{X}$, quantos termos tem essa Progressão Geométrica"?
Seja $\phantom{X}(a_n)\phantom{X}$ uma Progressão Geométrica (P.G.) tal que $\phantom{X}a_1\,=\,3\phantom{X}$ e $\phantom{X}a_{n+1}\,=\,2\centerdot a_n\phantom{X}$. Determinar a P.G. .
resposta: Resolução:
De acordo com a fórmula descrita no enunciado, temos:
Temos então $\phantom{X}(2,\,\underbrace{6,\,18,\,54,\,162,}_{4\,termos}\,486,\,...)\phantom{X}$ como a P.G. Resposta:(2, 6, 18, 54, 162, 486, ...) ×
Determinar a P.G. de números reais em que $\phantom{X}a_{\large 4}\,+\,a_{\large 6}\,=\,120\phantom{X}$ e $\phantom{X}a_{\large 7}\,+\,a_{\large 9}\,=\,960\phantom{X}$.
resposta: Resolução:
Determinar a P.G. significa descobrir o primeiro termo $\;a_{\large 1}$ e a razão $\;q\;$.
Vamos dividir (II) por (I): $\,\frac{\large a_1q^6\,+\,a_1q^8}{\large a_1q^3\,+\,a_1q^5}\,=\,\frac{\large a_1q^6\,(1\,+\,q^2)}{\large a_1q^3\,(1\,+\,q^2)}\,=\,{\large\frac{960}{120}}$
(UBERABA) Na ordem em que são dados, os números x , y , z formam uma P.A. e os números $\;\;{\large \frac{1}{x}}\;,\;\;{\large \frac{1}{y}}\;,\;\;{\large \frac{1}{x\,+\,z}}\;\;$ formam uma P.G. . Pode-se concluir que:
a)
a razão da P.A. é igual a 3, qualquer que seja x .
b)
y + z = 5x
c)
a razão da P.G. é $\,{\large \frac{1}{3}}\,$
d)
yz = 8x²
e)
não existem os números x , y , z nas condições acima.
(ITA - 1990) Seja $\phantom{X}p(x)\,=\,16x^5\,-\,78x^4\,+\,...\,+\,{\LARGE \alpha} x\,-\,5\phantom{X}$ um polinômio de coeficientes reais tal que a equação $\phantom{X}p(x)\,=\,0\phantom{X}$ admite mais do que uma raiz real e ainda, $\,\mathbb{a}\,+\,bi\,$ é uma raiz complexa desta equação com $\,\mathbb{a}b\,\neq\,0\,$. Sabendo-se que $\,{\Large \frac{1}{\mathbb{a}}}\,$ é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de $\,p(x)\,=\,0\,$ e que a soma destas raízes vale $\,{\Large \frac{7}{8}}\,$ enquanto que o produto é $\,{\Large \frac{1}{64}}\,$, o valor de $\,{\LARGE \alpha}\,$ é:
(ITA - 1990) Numa progressão geométrica de três termos a razão é $\,e^{\large -2a}\,$, a soma dos termos é $\phantom{X}7\phantom{X}$ enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é $\phantom{X}3\phantom{X}$ . Nestas condições, o valor de $\phantom{X}a\phantom{X}$ é:
(FUVEST - 2015) Dadas as sequências $\phantom{X}a_n\,=\,n^2\,+\,4n\,+\,4\,$, $\phantom{X}b_n\,=\,2^{\Large n^2}\,$, $\phantom{X}c_n\,=\,a_{n\,+\,1}\,-\,a_n\phantom{X}$ e $\phantom{X}d_n\,=\,\dfrac{b_{n\,+\,1}}{b_n}\,$, definidas para valores inteiros positivos de $\,n\,$, considere as seguintes afirmações:
(UFS) Se as raízes reais da equação $\phantom{X}x^3\,+\,ax^2\,+\,bx\,-\,8\,=\,0\;;\phantom{X}$ onde $\,a,\,b\,\in\,{\rm\,I\!R}\,$, são distintas e estão em progressão geométrica, então:
O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.
b)
Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.
c)
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n + 1) , qualquer que seja n ≥ 1 . Encontre o vigésimo termo dessa progressão.
resposta:
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é an = a1.qn - 1
a) De acordo com o enunciado $\require{cancel}$$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,15\;& \\ a_3\,=\,45\;& \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,a_3\,=\,a_1\,q^{3\,-\,1}\;\Longleftrightarrow$ $\;45\,=\,5\,q^2\;\Longleftrightarrow$ $\,q_1\,=\,3\;\,{\text e}\;\cancel{\,q_2\,=\,-3\,}$(a razão é positiva). A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula $\,\boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\;a_1\,(\,q^n\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}\;}\,$. No enunciado $a_1$ é 5 e a razão $q$ nós calculamos e é igual a 3 . Vamos calcular os 6 primeiros termos: $\,S_6\,=\,\dfrac{\;5\,(\,q^6\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}$ $\,=\,\dfrac{\;5\,(\,3^6\,-\,1\,)\;}{3\,-\,1}\,=\,1820$
b) A pergunta refere-se aos termos inteiros positivos entre 0 e 112, então o intervalo de números naturais é de 1 até 111, incluindo os extremos.
1. A soma de todos os inteiros positivos de 1 a 111 é dada por: $\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,1\phantom{XXXXXXXx} & \\ n\,=\,111\phantom{XXXXXXX} & \\ \boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;} \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,S_{111}\,=\,\dfrac{\,111(1\,+\,111)\,}{2}$ $\;= 6216$ A soma dos 111 primeiros números inteiros é 6216.
2. Vamos dividir 111 por 4 e encontrar quantos números entre 1 e 111 são múltiplos de 4
111
4
31
27
3
Notar que: ● o quociente é 27, então existem 27 múltiplos de 4 entre 1 e 111 ● o primeiro número divisível por quatro é a1 = 4 ● o último número divisível por 4 é igual a 111 menos o resto da divisão, então a27 = 111 - 3 = 108 ● A soma de todos os múltiplos de 4 menores que 112 é igual a $\,S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;\Rightarrow$ $\;S_{27}\;=\;\dfrac{\,27(4 + 108)\,}{2}$ $\;=\;1512 \;$
3. Basta subtrair: (soma dos inteiros menores que 112) menos (soma dos múltiplos de quatro menores que 112) = 6216 - 1512 = 4704.
c) A soma dos n primeiro termos é Sn = n(2n + 1) Então a soma dos 20 primeiros termos é: $\,S_{\large 20}\,=\,20(2\,\centerdot\,20\,+\,1)\,=\,820\,$ Para descobrir o 20º termo, vamos extrair da soma acima o valor da soma de todos os termos anteriores ao 20º, a saber, a soma de todos os termos até o 19º: $\,S_{\large 19}\,=\,19(2\,\centerdot\,19\,+\,1)\,=\,741\,$ O vigésimo termo é então 820 - 741 = 79
a) a soma dos 6 primeiros termos é 1820 b)a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4 é 4704c) o vigésimo termo é 79 ×
(FUVEST) Calcule os ângulos de um triângulo retângulo sabendo que eles estão em progressão geométrica.
resposta: (em graus) $\dfrac{90(\sqrt{90}\,-\,1)}{89}\; ; \dfrac{90(90 - \sqrt{90})}{89}\;; 90^o\;$ (em radianos) $\,\dfrac{3\pi}{4}\,-\,\dfrac{\pi\sqrt{5}}{4}\; ; \dfrac{\pi (\sqrt{5} - 1)}{4}\;; \dfrac{\pi}{2}\,$ ×
(PUCC - 1982) Dada a Progressão Geométrica $\phantom{X}1,\;-\frac{\,\sqrt{\,2\,}}{\,2\,},\;\frac{\;1\;}{\;2\;},\;...\phantom{X}$, determine o seu 11º termo.
De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.
