(ITA - 2004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a $\;5^o\;$. Então seu maior ângulo mede, em graus,
(UBERABA) Na ordem em que são dados, os números x , y , z formam uma P.A. e os números $\;\;{\large \frac{1}{x}}\;,\;\;{\large \frac{1}{y}}\;,\;\;{\large \frac{1}{x\,+\,z}}\;\;$ formam uma P.G. . Pode-se concluir que:
a)
a razão da P.A. é igual a 3, qualquer que seja x .
b)
y + z = 5x
c)
a razão da P.G. é $\,{\large \frac{1}{3}}\,$
d)
yz = 8x²
e)
não existem os números x , y , z nas condições acima.
(FUVEST - 2015) Dadas as sequências $\phantom{X}a_n\,=\,n^2\,+\,4n\,+\,4\,$, $\phantom{X}b_n\,=\,2^{\Large n^2}\,$, $\phantom{X}c_n\,=\,a_{n\,+\,1}\,-\,a_n\phantom{X}$ e $\phantom{X}d_n\,=\,\dfrac{b_{n\,+\,1}}{b_n}\,$, definidas para valores inteiros positivos de $\,n\,$, considere as seguintes afirmações:
(COMSART - 1973) Três números, em progressão aritmética, apresentam uma soma igual a 9 e uma soma de seus quadrados igual a 59. Estes três números são dados por:
(MACKENZIE - 1974) As progressões aritméticas: (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 11, ...) têm 100 termos cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:
(MACKENZIE - 1974) A sequência $\,(\,a_1,\,a_2,\,a_3,\,.\,.\,.\,,\,a_{\large n}\,)\,$ é uma progressão aritmética de razão 2 e primeiro termo igual a 1. A função $\,f\,$ definida por $\,f(x)\,=\,ax\,+\,b\,$ é tal que $\,(f(a_1),\,f(a_2),\,f(a_3),\,.\,.\,.\,,\,f(a_{\large n}))\,$ é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo igual a 4. Então $\,f(2)\,$ é igual a:
(PUC - 1977) A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética: $\phantom{XXX}\dfrac{1\,-\,n}{n}\,,\;\dfrac{2\,-\,n}{n}\,,\;\dfrac{3\,-\,n}{n}\,,\;.\,.\,.\;,\phantom{X}$ é:
(CESCEM - 1975) Em uma sucessão, o termo geral segue a expressão $\,u_{\large n}\,=\,2n\,-\,1\;,\phantom{X}\forall\,n\,\geqslant \,1\,$. A soma dos 100 primeiros termos dessa sucessão é:
(PUC - 1976) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é $\phantom{X}n^{\large 2}\,+\,n\;,\phantom{X}\forall\,n\,\in\,\mathbb{N^*}\,$. Então a razão é:
(CESCEM - 1968) Na progressão em que o primeiro termo é $\,a_1\,$ e o k-ésimo termo é $\,a_{\large k}\,=\,2(k\,+\,n)\,-1\,$, a soma dos $\,n\,$ primeiros termos da progressão é:
(EAESP FGV - 1977) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é $\,(n\,+\,2)2n\,$. Se o termo de ordem n é tal que $\,20\,<\,a_{\large n}\,<\,26\,$, então n vale:
(FGV - 1971) Sabendo que a soma do segundo e do quarto termos de uma progressão aritmética é 40 e que a razão é $\,\dfrac{3}{4}\,$ do primeiro termo; a soma dos dez primeiros termos será:
(MACKENZIE - 1976) Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:
(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale
a)
$\;144\,cm^2\;$
b)
$\;12\,\pi\,cm^2\;$
d)
$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro
c)
$\;24\,cm^2\;$
e)
$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro
resposta:
Considerações:
Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro. Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro. Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases. O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.
A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$. $\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$
A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.
A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita
$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R
=
$\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$
A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais: Alateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$
(FUVEST - 2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m ,onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine: a) o valor de m ; b) as raízes desse polinômio.
resposta: a) m = 2; b) raízes $\,1\,-\,\sqrt{3},\,1\,e\,1\,+\,\sqrt{3}\,$ ×
Determinar os ângulos agudos de um triângulo retângulo em que as medidas dos três ângulos formam uma P.A..
O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.
b)
Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.
c)
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n + 1) , qualquer que seja n ≥ 1 . Encontre o vigésimo termo dessa progressão.
resposta:
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é an = a1.qn - 1
a) De acordo com o enunciado $\require{cancel}$$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,15\;& \\ a_3\,=\,45\;& \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,a_3\,=\,a_1\,q^{3\,-\,1}\;\Longleftrightarrow$ $\;45\,=\,5\,q^2\;\Longleftrightarrow$ $\,q_1\,=\,3\;\,{\text e}\;\cancel{\,q_2\,=\,-3\,}$(a razão é positiva). A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula $\,\boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\;a_1\,(\,q^n\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}\;}\,$. No enunciado $a_1$ é 5 e a razão $q$ nós calculamos e é igual a 3 . Vamos calcular os 6 primeiros termos: $\,S_6\,=\,\dfrac{\;5\,(\,q^6\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}$ $\,=\,\dfrac{\;5\,(\,3^6\,-\,1\,)\;}{3\,-\,1}\,=\,1820$
b) A pergunta refere-se aos termos inteiros positivos entre 0 e 112, então o intervalo de números naturais é de 1 até 111, incluindo os extremos.
1. A soma de todos os inteiros positivos de 1 a 111 é dada por: $\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,1\phantom{XXXXXXXx} & \\ n\,=\,111\phantom{XXXXXXX} & \\ \boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;} \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,S_{111}\,=\,\dfrac{\,111(1\,+\,111)\,}{2}$ $\;= 6216$ A soma dos 111 primeiros números inteiros é 6216.
2. Vamos dividir 111 por 4 e encontrar quantos números entre 1 e 111 são múltiplos de 4
111
4
31
27
3
Notar que: ● o quociente é 27, então existem 27 múltiplos de 4 entre 1 e 111 ● o primeiro número divisível por quatro é a1 = 4 ● o último número divisível por 4 é igual a 111 menos o resto da divisão, então a27 = 111 - 3 = 108 ● A soma de todos os múltiplos de 4 menores que 112 é igual a $\,S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;\Rightarrow$ $\;S_{27}\;=\;\dfrac{\,27(4 + 108)\,}{2}$ $\;=\;1512 \;$
3. Basta subtrair: (soma dos inteiros menores que 112) menos (soma dos múltiplos de quatro menores que 112) = 6216 - 1512 = 4704.
c) A soma dos n primeiro termos é Sn = n(2n + 1) Então a soma dos 20 primeiros termos é: $\,S_{\large 20}\,=\,20(2\,\centerdot\,20\,+\,1)\,=\,820\,$ Para descobrir o 20º termo, vamos extrair da soma acima o valor da soma de todos os termos anteriores ao 20º, a saber, a soma de todos os termos até o 19º: $\,S_{\large 19}\,=\,19(2\,\centerdot\,19\,+\,1)\,=\,741\,$ O vigésimo termo é então 820 - 741 = 79
a) a soma dos 6 primeiros termos é 1820 b)a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4 é 4704c) o vigésimo termo é 79 ×
Determinar as sucessões aritméticas de três elementos que têm soma 15 e produto 80.
De uma P.A. com 10 elementos e razão r = k, vamos retirar o 2º, 3º, 5º, 6º, 8º e o 9º elementos. Os restantes 4 elementos, dispostos na mesma ordem, ainda formam uma P.A.. Qual a razão desta segunda P.A.?
Determine os quatro primeiros termos da sequência definida por $\phantom{X}a_{\large n} = \dfrac{\,n\,-\,1\,}{n^{\large 2}}\, ,\phantom{X}\forall \;n\;\in\;{\rm I\!N}^*$
A sequência é $\,a_n\,=\,(0;\,\frac{1}{4};\,\frac{2}{9};\,\frac{3}{16}\,...\,)$ ×
(SANTA CASA) A partir da sucessão
1 × 8 =
10 - 2
2 × 8 =
20 - 4
3 × 8 =
30 - 6
․
․
․
․
․
․
Verifica-se que a sequência (1 × 8 , 2 × 8 , 3 × 8 , ... , n × 8 , ...), onde n ∈ $\,{\rm I\!N}^*\,$, pode ser escrita na forma (a1 - b1, a2 - b2, ... , an - bn, ...). Então an + bn é igual a:
Iniciando em 2020 uma competição esportiva que irá se repetir de quatro em quatro anos, pergunta-se, em que ano será realizada esta competição pela quinquagésima vez?
A quinquagésima competição será realizada no ano 2216. ×
Com relação à seguinte sequência:$\phantom{X}(\frac{\,a\,-\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,2\,}{2}\,,\,\frac{\,a\,+\,6\,}{2}\,,\,...\,)\phantom{X}(a\,\in\,{\rm I\!R})\,$, pode-se afirmar que:
Um arquiteto dispôs as poltronas de um anfiteatro em filas. Colocou 6 poltronas na primeira fila, 10 na segunda, 14 na terceira e assim sucessivamente, sempre mantendo essa lei de formação de modo que a última fila tenha 94 poltronas. O número de filas é:
a) 21 b) 23 c) 25 d) 26 e) 27
resposta: (B)
Progressão aritmética, o termo geral $\,a_n\,=\,a_1\,+\,(n\,-\,1)r\,$ $\,94\,=\,6\,+\,(n\,-\,1)4\;\Rightarrow$ $\,(n\,-\,1)4\,=\,88\;\Rightarrow$ $\,n\;-\;1\;=\;22\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;n\,=\,23\;}\,$
(FUVEST - 1998) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes. a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.) b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
resposta: a) B recebeu as 4 moedas restantes. b) A recebeu 176 moedas, B recebeu 159 moedas e C recebeu 165 moedas. ×
Determinar os ângulos internos de um triângulo sabendo que estão em progressão aritmética e que o seno da soma do menor ângulo com o ângulo médio é $\phantom{X}\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\phantom{X}$
