(EPUSP-63) Mostre que a equação $\phantom{XXX}1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\,=\,0\;$ admite uma raiz positiva inferior a $\;\dfrac{1}{5}\;$.
resposta:
Temos o polinômio $\;\;P(x)\,=\,1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\;\;$ e vamos calcular $\;P(0)\;$ e $\;P(\frac{1}{5})\;$:$\;P(0)\,=\,1000(0)^5\,+\,20(0)^2\,-\,1\,=\,-1\,<\,0$ $\;P(\frac{1}{5})\,=\,1000{(\frac{1}{5})}^{5}\,+\,20{(\frac{1}{5})}^{2}\,-\,1\;=$ $\,1000\,+\,2500\,-\,\frac{3125}{3125}\,>\,0$. Como $\;\;P(0)\centerdot P(\frac{1}{5})\,<\,0\;\;$ , resulta que $\;P\;$ apresenta um número ímpar de raízes no intervalo $\;]0;\frac{1}{5}[\;$ (Teorema de Bolzano).
(FFCLUSP - 1966) Se dois trinômios do segundo grau $\;\;P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\;\;$ e $\;\;Q(x)\,=\,a'x^2\,+\,b'x\,+\,c'\;\;$ possuem uma e uma só raiz comum $\;\;x_0\;\;$, simples, o seu mínimo múltiplo comum é o polinômio:
(ITA - 2004) O termo independente de $\;x\;$ no desenvolvimento do binômio $\phantom{X}\Biggl( \sqrt{\dfrac{3\sqrt[\large 3]{x}}{5x}} - \sqrt[\Large 3]{\dfrac{5x}{3\sqrt{x}}}\Biggr)^{\large 12}\;\;$ é:
(FEI) Dados os binômios $\,A(x)\,=\,x^{\Large 3}\,+\,1\,$ e $\,B(x)\,=\,x^{\Large 3}\,-\,1\,$:
a) Determine k e n, tais que o 4º termo da expansão binomial de $\phantom{X}\left[ B(x) \right]^{\Large n}\phantom{X}$, feita segundo os expoentes decrescentes de x, seja $\,k \centerdot x^{\Large 6}\,$.
b) Se n é ímpar, ache a soma dos coeficientes do polinômio $\phantom{X}\left[ A(x) \right]^{\Large n}\left[ B(x) \right]^{\Large n}\phantom{X}$.
(ITA - 1990) Seja $\phantom{X}p(x)\,=\,16x^5\,-\,78x^4\,+\,...\,+\,{\LARGE \alpha} x\,-\,5\phantom{X}$ um polinômio de coeficientes reais tal que a equação $\phantom{X}p(x)\,=\,0\phantom{X}$ admite mais do que uma raiz real e ainda, $\,\mathbb{a}\,+\,bi\,$ é uma raiz complexa desta equação com $\,\mathbb{a}b\,\neq\,0\,$. Sabendo-se que $\,{\Large \frac{1}{\mathbb{a}}}\,$ é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de $\,p(x)\,=\,0\,$ e que a soma destas raízes vale $\,{\Large \frac{7}{8}}\,$ enquanto que o produto é $\,{\Large \frac{1}{64}}\,$, o valor de $\,{\LARGE \alpha}\,$ é:
(FUVEST - 2018) Considere o polinômio $\phantom{XXXX}P(x) = x^{n}\,+\,a_{n-1}\;x^{n-1}\,+\,...\,+\,a_{1}\;x\,+\,a_{0}\phantom{X}$, em que $\,a_{0}, ... , a_{n-1}\,\in\,\mathbb{R}\,$. Sabe-se que as suas raízes estão sobre a circunferência unitária e que $\,a_{0}\,<\,0\,$. O produto das $\,n\,$ raízes de $\,P(x)\,$, para qualquer inteiro $\,n\,\geqslant\,1\,$, é:
(USP) A expressão $\phantom{X}\dfrac{\;x^2\,-\,1\;}{x^2}\,\div\,\dfrac{x^2\,-\,2x\,-\,3}{\;x^3\,-\,6x^2\,+\,9x\;}\phantom {X}$ é equivalente, para valores de x que não anulam nenhum dos 4 polinômios citados, a
(ITA - 1982) Sabendo-se que o polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,ax^3\,+\,bx^2\,+\,2x\,-\,2\phantom{X}$ é divisível por $\phantom{X}(x\,+\,1)\phantom{X}$ e por $\phantom{X}(x\,-\,2)\phantom{X}$, podemos afirmar que
a)
$\,a\,$ e $\,b\,$ têm sinais opostos e são inteiros.
b)
$\,a\,$ e $\,b\,$ têm o mesmo sinal e são inteiros.
c)
$\,a\,$ e $\,b\,$ têm sinais opostos e são racionais não inteiros.
d)
$\,a\,$ e $\,b\,$ têm o mesmo sinal e são racionais não inteiros,
e)
somente $\,a\,$ é inteiro.
resposta:
P é divisível por (x + 1) ⇔ P(-1) = 0 P é divisível por (x - 2) ⇔ P(2) = 0 $\,{\small \left\{\begin{array}{rcr} P(-1)\,=\,a(-1)^3\,+\,b(-1)^2\,+\,2(-1)\,-\,2\,=\,0\;& \\ P(2)\,=\,a\centerdot 2^3\,+\,b\centerdot 2^2\,+\,2\centerdot2\,-\,2\,=\,0\phantom{XXXX} & \\ \end{array} \right.}\;\Leftrightarrow$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} -a\,+\,b\,=\phantom{X}4& \\ 8a\,+\,4b\,=\,-2& \\ \end{array} \right.\;\Leftrightarrow$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} a\,=\,-\,\dfrac{3}{2}\;& \\ b\,=\phantom{X}\dfrac{5}{2}\;& \\ \end{array} \right.\,$
Conclui-se que $\;a\;$ e $\;b\;$ têm sinais opostos e são racionais não inteiros conforme afirmação (C) ×
(PUC - 1977) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,mx^2\,+\,2(m\,-\,2)x\,+\,m^2\phantom{X}$ é negativo quando x = 1 ?
Seja $\;P\,:\, \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \;$ a função polinomial definida por $\phantom{X}P(x)\,=\,$ $\,(a^2\,-\,4)\centerdot x^3\,+\,(a^2\,-\,3a\,+\,2)\centerdot x^2\,$ $+\,(a\,-\,2)\centerdot x\,+\,4\phantom{X}$. Determinar o grau de $\,P\,$, em função de $\,a\,$
resposta:
G(P) = 3 se (a ≠ 2) e (a ≠ -2) G(P) = 2 se (a = -2) não existe a ∈ C para que G(P) = 1 G(P) = 0 se (a = 2)
Se o polinômio, em x, ax² + bx + c tem grau 2 então
b)
Se o polinômio, em x, ax² + bx + c tem grau 1 então
c)
Se o polinômio, em x, ax² + bx + c tem grau 0 (zero) então
d)
Se o polinômio, em x, ax² + bx + c tem grau então
e)
Se o polinômio, em x, ax² + bx + c não tem grau então o polinômio é identicamente nulo e portanto
resposta: a) a ≠ 0b) a = 0 e b ≠ 0c) a = 0 e b = 0 e c ≠ 0d) a ≠ 0 ou b ≠ 0 ou c ≠ 0e) a = 0 e b = 0 e c = 0 ×
Determine $\phantom{X}a,\; b\,,\;c\;$ e $\;d\phantom{X}$ para que se tenha $\,(a\,-\,b)\centerdot x^3\,+\,(b\,-\,c)\centerdot x^2\,+$ $\,c\centerdot x\,-\,2(x\,+\,2)\,+\,d\;\equiv\;0\,$
(UFS) Sejam os polinômios $\,f\,=\,(2p\,+\,2)x^3\,+\,(3\,-\,2q)x\,-\,6\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,=\,(q\,-\,4)x^3\,+\,(p\,+\,1)x\,-\,6\;$, onde p e q são parâmetros reais. Se f e q são idênticos, então $\phantom{X}p^{\,\Large q}\phantom{X}$ é igual a:
(LONDRINA - 1982) Sejam os polinômios $\phantom{X}f\,=\, 2x^3\,-\,x\,-\,1\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,=\,(x\,-\,1)(2x^2\,+\,k\,x\,+\,t)\;.\phantom{X}$Os valores de k e t , para os quais f = g , são tais que:
(FEI) Determine a e b para que a identidade $\phantom{X}\dfrac{a}{\;x\,-\,3\;}\,+\,\dfrac{b}{\;x\,+\,1\;}\;=\;\dfrac{3x\,-\,5}{\;x^2\,-2x\,-3\;}\phantom{X}$ seja verificada para todo $\phantom{X}x\,\in\,{\rm I\!R}\,-\,\lbrace\, -1\,;\,3\,\rbrace\phantom{X}$
Determinar um polinômio P , de grau 2 , de modo que se tenha:$\,\left\{\begin{array}{rcr} P(0)\,=\,0\phantom{XXXX} & \\ P(x)\,- \,P(x\,-\,1) & =\,2x\;,\phantom{X}\forall\, x \, \in \,\mathbb{C} \\ \end{array} \right.\,$
Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão $\phantom{X}\dfrac{\;a_0 x^2\,+\,a_1 x\,+\,a_2\;}{b_0 x^2\,+\,b_1 x\,+\,b_2\;}\phantom{X}$ assuma um valor que não depende de x.
(E E LINS - 1966) Calcular p para que o polinômio $\phantom{X}4x^4\,-\,8x^3\,+\,8x^2\,-\,4(p\,+\,1)x\,+\,(p\,+\,1)^2\phantom{X}$ seja o quadrado perfeito de um polinômio racional inteiro em $\,x\,$.
Sendo dados os polinômios $\,f\;=\;x\,$, $\phantom{X}g\,=\,x\,+\,x^3\phantom{X}$ e $\phantom{X}h\;=\;2x^3\,+\,5x\phantom{X}$, obter os números reais $\,a\,$ e $\,b\,$ tais que $\,h\,=\,af\,+\,bg\,$.
Sendo dados os polinômios:$\phantom{X}f\,=\,x^2\phantom{X}$, $\phantom{X}g\,=\,x^2\,+\,x^4\phantom{X}$, $\phantom{X}h\,=\,x^2\,+\,x^4\,+\,x^6\phantom{X}$ e $\phantom{X}k\,=\,3x^6\,-\,6x^4\,+\,2x^2\phantom{X}$, obter os números reais $\,a,\;b,\;c\,$ de modo que se tenha $\,k\,=\,af\,+\,bg\,+\,ch\,$.
Mostrar que os polinômios $\phantom{X}f\,=\,(x^2\,+\,\sqrt{\;2\;}\,x\;+\;1)(x^2\,-\,\sqrt{\;2\;}\;x\,+1)\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,=\,x^4\,+\,1\phantom{X}$ são iguais.
(SANTA CASA) Numa divisão de polinômios em que o dividendo é de grau $\,n\,$ e o quociente é de grau $\;n\,-\,4\,$, com $\,n\,\in\,\mathbb{N}\phantom{X}$ e $\phantom{X}n\,\geqslant\,4\;$, o grau do resto pode ser no máximo igual a
resposta: $\,q\,=\,\frac{\,1\,}{\,2\,}x\,-\,\frac{\,1\,}{\,2\,}\,$ e $\,r\,=\,(a\,+\,4)x\,+\,(b\,-\,3)\,$ e para uma divisão exata é necessário que a = -4 e b = 3. ×
Sem efetuar a divisão, determinar a e b de modo que o polinômio f = (x + 2)³ + (x - 1)³ + 3ax + b seja divisível por g = (x - 2)²
(ITA - 1962) Se $\phantom{X}x^3\,+\,px\,+\,q\phantom{X}$ é divisível por $\phantom{X}x^2\,+\,ax\,+\,b\phantom{X}$ e $\phantom{X}x^2\,+\,rx\,+\,s\phantom{X}$, demonstrar que $\phantom{X}b\,=\,-r(a\,+\,r)\phantom{X}$
(OSEC) Um polinômio inteiro em x, quando dividido por x + 2 dá resto 5 e quando dividido por x - 2 dá resto 13. Então, o resto da divisão por x² - 4 vale:
Dividindo um polinômio $\,A(x)\,$ por $\;x\,-\,1\;$ obtemos quociente $\,B(x)\,$ e resto 1 . Dividindo $\,B(x)\,$ por $\;x\,-\,2\;$ obtemos $\,Q(x)\,$ e resto 6 .O resto da divisão de $\,A(x)\,$ por $\,3x - 6\,$ é:
Determinar o resto da divisão de um polinômio $\,A(x)\,$ por $\phantom{X}B(x)\,=\,x^2\,-\,5x\,+\,6\phantom{X}$, sabendo que $\phantom{X}A(2)\,=\,1\,$, $\phantom{X}A(-1)\,=\,3\,$ e que o quociente é divisível por $\,x\,+\,1\,$
(FUVEST) Sejam a , b , c as raízes de um polinômio P(x) do 3º grau, cujo coeficiente de x³ é 1 . Sabe-se que: $\,\left\{\begin{array}{rcr} a\,+\,b\,+ c =\;7\; \phantom{XX}& \\ ab\,+\,ac + bc\,=\,14\;& \\ abc\,=\,8\;\phantom{XXXXX} \; & \\ \end{array} \right.\,$ Calcular P(1)
resposta:
Resolução: se P(x) é do 3º grau, então: $\phantom{X}P(x) = x^3 + \alpha x^2 + \beta x + \gamma\phantom{X}$ Utilizando as Relações de Girard temos que:
(FUVEST - 2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m ,onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine: a) o valor de m ; b) as raízes desse polinômio.
resposta: a) m = 2; b) raízes $\,1\,-\,\sqrt{3},\,1\,e\,1\,+\,\sqrt{3}\,$ ×
(FUVEST - 1998) P(x) é um polinômio de grau $\,\geqslant\,2\,$ e tal que P(1) = 2 e P(2) = 1 .Sejam D(x) = (x - 2)(x - 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x) .
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x).
(FUVEST - 2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices.
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.
