(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a)
5
b)
10
c)
15
d)
18
e)
24
resposta:
O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.
O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo). Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si. As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes. Resolução:
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas.
Modo intuitivo: A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos.
Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5.
1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior.
3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA.
Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, $\,5\,\times\,2\,=\,10\,$ e são 10 as diagonais do prisma pentagonal.
(FUVEST - 1978) Na figura abaixo, os ângulos $\;\;{\large\hat{a}}\;\;$, $\;\;{\large\hat{b}}\;\;$, $\;\;{\large\hat{c}}\;\;$ e $\;\;{\large\hat{d}}\;\;$ medem, respectivamente, $\;\;\dfrac{x}{2}\;$, $\;\;2x\;$, $\;\;\dfrac{3x}{2}\;\;$ e $\;\;x\;\;$. O ângulo $\;\;{\large\hat{e}}\;\;$ é reto. Qual a medida do ângulo $\;\;{\large\hat{f}}\;$?
(ITA - 2004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a $\;5^o\;$. Então seu maior ângulo mede, em graus,
(FGV) As cordas $\,\overline{AB}\,$ e $\,\overline{CD}\,$ de uma circunferência de centro $\,O\,$ são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas $\,\overline{AD}\,$ e $\,\overline{BC}\,$ se intersectam no ponto $\,P\,$, conforme indica a figura a seguir:
A medida do ângulo $\,B\hat{P}D\,$, indicado na figura por $\,\alpha\,$, é igual a:
Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² eo volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.
resposta:
Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.
Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal...
Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETOe suas bases são POLÍGONOS REGULARES.
RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases
REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.
A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases. A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases. O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.
Resolução: Área Lateral$\;A_L\,=\,4\centerdot ah\,=\,32\;\Rightarrow\;ah\,=\,8\,m^2\phantom{X}$(I)
Volume$\,=\,A_{\large base}\centerdot h\,=\,a^{\large 2}\centerdot h \,=\,24\phantom{X}$(II)
Resolvento (II) $\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\lt\,140^o\;\Longleftrightarrow$ $\;180(n\,-\,2)\,\lt\,140n\;\Longleftrightarrow$ $\;\boxed{\;n\,\lt\,9\;}\;(**)$
(*) e (**) Temos então que 7,2 < n < 9 e como n ∈ ℕ concluímos que n = 8
Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do ângulo externo?
resposta:
Resolução: ai é o ângulo interno; ae é o ângulo externo; $\,\left\{\begin{array}{rcr} a_i\,+\,a_e\,=\,180^o\;& \\ a_i\,=\,3\,a_e\phantom{XXX}\;& \end{array} \right.\phantom{X}\Longrightarrow\;a_e\,=\,45^o$ Quando um polígono é regular o ângulo externo é igual a $\,\dfrac{\;360^o\;}{n}$. $\,\dfrac{\;360^o\;}{n}\;=\;45^o\;\Longrightarrow\;n\,=\,8\,$ Calculando o número de diagonais de um polígono de oito lados: $\,d_n\,=\,\dfrac{\;n(n\,-\,3)\;}{2}\;\Rightarrow\,$ $\;d_n = \dfrac{\;8(8-3)\;}{2}\;=\;20\;$
Duas retas concorrentes formam entre si ângulo de 18°. Quantos lados tem o polígono regular onde dois lados consecutivos são segmentos que pertencem a cada uma dessas concorrentes, respectivamente.
