(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?
(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, $\phantom{X}\stackrel \frown{AB} \phantom{X}$ é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo $\phantom{X}BCDE\phantom{X}$ é:
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$. $\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3. $\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$. O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
As equações das tangentes são: $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$
Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.
resposta:
Resolução: Para um ponto $\;P(x;y)\;$, vamos chamar de $\;P_x\;$ e $\;P_y\;$ as projeções do ponto $\,P\,$ respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).
(PUCC) Dada a função $\,y\,=\,mx^2\,+\,2x\,+\,1\;$, se $\,m\,$ for um número inteiro maior que 1, assinale, dentre os gráficos abaixo, o que melhor a representa:
Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:
a)
$\,xy \, >\, 0\,$
b)
$\,xy \, < \, 0\,$
c)
$\,x\,-\,y\,=\,0\,$
d)
$\,x\,+\,y\,=\,0\,$
resposta: Resolução:
a)
se $\,xy \, > \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE
b)
se $\,xy \, < \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE
c)
se x - y = 0 ⇒ x = y ⇒ $ \left\{\begin{array}{rcr} P(x\, ,\,y) \in \,1º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XX}\text{ou}& \\ P(x\,,\,y) \in \,3º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.$
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no $\;1^{\underline{o}}\,$ QUADRANTE. O vértice C é dado por:
(SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação $\phantom{X}|y|\,=\,x\,+\,1\,,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x\,,\,y \,\in\, \, \mathbb{R} \phantom{X}$ é:
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
resposta:
Resolução: A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é: $\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$. Como $\;C\,(0\,,\,0)\;$ e $\;R\,=\,3\;$, temos: $\,(x\,-\,0)^2\,+\,(y\,-\,0)^2\,=\,3^2\;\Rightarrow$ $\; \;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;$
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
resposta:
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .
(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano x0y definida pelas desigualdades $\,x\,-\,y\,\leqslant\,1\;\mbox{, }\; x\,+\,y\,\geqslant\,1\;$ e $\;(x\,-\,1)^2\,+\,y^2\,\leqslant\,2\,$. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo $\,x\,$ é igual a:
(FUVEST - 2015) A equação $\phantom{X}x^2\,+\,2x\,+\,y^2\,+\,my\,=\,n\phantom{X}$, em que $\,m\,$ e $\,n\,$ são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta $\phantom{X}y\,=\,-x\,+\,1\phantom{X}$ contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto $\,(-3,\,4)\,$. Os valores de $\,m\,$ e $\,n\,$ são, respectivamente
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$ $\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$ b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$ c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.
(FUVEST - 1977) Determine a intersecção das curvas de $\,{\rm\,I\!R}\,×\,{\rm\,I\!R}\,$ dadas por $\,x^3\,-\,x^2\,=\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}y^3\,-\,y^2\,=\,0\,$
(MAPOFEI - 1973) O ponto P = (2; 4) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano. Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo 0x nos pontos A e B , e tais que a distância entre eles seja 10 .
resposta: (r) 2x - y = 0 e (s) x + 27 - 10 = 0 (r) x - 2y + 6 = 0 e (s) 2x + y - 8 = 0 ×
Baseado no gráfico das funções f , g e h , definidas no conjunto dos números reais, determine os valores de $\,x\;\in\;{\rm I\!R}\,$ tais que:
Considere uma função $\;f\,:\, {\rm I\!R} \rightarrow {\rm I\!R} \;$ tal que $\phantom{X}f(x)\,=\,\dfrac{\;|x|\,-\,x\;}{|x|}\phantom{X}$. Esboce o seu gráfico.
