Determinar o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 5 cm e cuja altura mede 3 cm .

resposta:

Resolução:
$\phantom{X}A_{base}\,=\,5^2\,=\,25\,cm^2\phantom{X}$
$\phantom{X}H\,=\,3\,cm\phantom{X}$
$\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,A_{base}\,\centerdot\,H\,}{3}\,=\,\dfrac{\,25\,\centerdot\,3\,}{3}\,=\,25\,cm^3\phantom{X}$
resposta:

V = 25 cm³

Dada uma pirâmide quadrangular regular, cuja base tem 64 m² de área e a sua altura mede 3 m , calcular:

A área lateral da pirâmide.

A área total da pirâmide.

resposta:

a) $\phantom{X}A_{base}\,=\,\ell^2\,=\,64\,\Rightarrow\,\ell\,=\,8\,m\phantom{X}$
No triângulo VAB:
$\phantom{X}b^2\,=\,a^2\,+\,3^2\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,\ell\,}{2}\,=\,4\,m\phantom{X}$
$\phantom{X}b^2\,=\,4^2\,+\,3^2\,\Rightarrow\,b\,=\,5\,m\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{lateral}\,=\,2\,\centerdot\,8\,\centerdot\,5\,=\,80\,m^2\phantom{X}$
b)\,$\phantom{X}A_{total}\,=\,A_{lateral}\,+\,A_{base}\phantom{X}$ sendo:
$\phantom{X}A_{lateral}\,=\,80\,m^2\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{base}\,=\,64\,m^2\phantom{X}$
$\phantom{X}A_{total}\,=\,80\,+\,64\,=\,144\phantom{X}$
Resposta:

a) Área lateral = 80m² b) Área total = 144m²
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Determinar o volume de uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base medindo $\;\ell\;$ e altura medindo $\;\ell\;$.

pirâmide hexagonal regular de altura e aresta da base congruentes

resposta:

Resolução:
$\phantom{X}A_{base}\;=\;6\;\dfrac{\ell^2\,\sqrt{\,3\,}}{4}\;=\;\dfrac{3\ell^2\,\sqrt{\,3\,}}{2}\phantom{X}$
Altura: $\phantom{X}H\,=\,\ell\phantom{X}$
Volume: $\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\;A_{base}\,\centerdot\,H\;}{3}\,=\,\dfrac{3\ell^2\,\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\ell}{2 \centerdot 3} = \dfrac{\;l^3\,\sqrt{\;3\;}}{2}\phantom{X}$Resposta:

$\phantom{X}V = \dfrac{\ell^3\,\sqrt{\,3\,}}{2}\phantom{X}$
×

(FEI) Sendo a reta AB perpendicular ao plano BCD e a reta BC perpendicular à reta CD; e sendo a a medida de cada segmento AB, BC e CD:

Achar o volume da pirâmide ABCD;

Achar a área total dessa pirâmide.

resposta: $\phantom{X}V\,=\,\dfrac{\,a^3\,}{6}\phantom{X}$ $\phantom{X}S_T\,=\,a^2(1\,+\,\sqrt{\,2\,})\phantom{X}$
×

(USP) A altura de um tetraedro regular de aresta $\phantom{X}\ell\phantom{X}$ vale:

$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\,$

$\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,$

$\,\ell\,\sqrt{\,3\,}\phantom{X}$

$\,\ell\,\phantom{\dfrac{X}{X}}$

$\,\ell\,\sqrt{\,2\,}\,$

resposta:

altura do tetraedro regular:

Na figura, o apótema "g" do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$:
$\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$
O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo.
A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então:
$\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$
$\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$
Assim temos:
$\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$
Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$

resposta:

alternativa A
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