Lista de exercícios do ensino médio para impressão
De quantas formas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez de modo que nenhuma torre possa "comer" a outra?

 



resposta: 8!

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(MAPOFEI - 1975) Quantas palavras distintas podemos formar com a palavra PERNAMBUCO? Quantas começam com a sílaba PER?

 



resposta: 10! e 7!

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Em um "horário especial" um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios comerciais. Se existirem 7 diferentes tipos de anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 nos intervalos destinados a eles?

 



resposta: 7!

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Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante?

 



resposta: 288

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Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4?

 



resposta: 72

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Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?

 



resposta: 60

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Com os dígitos 2, 5, 6, 7 quantos números formados por 3 dígitos distintos ou não são divisíveis por 5?

 



resposta: 16

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Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 2, 4, 6, 8, que lugar ocupa o número 68 412?

 



resposta: 95º

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Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43 892?

 



resposta: 58º

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Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?

 



resposta: 7! = 5040

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Com relação à palavra TEORIA:
a)
Quantos anagramas existem?
b)
Quantos anagramas começam por T?
c)
Quantos anagramas começam por T e terminam com A?
d)
Quantos anagramas começam por vogal?
e)
Quantos anagramas têm as vogais juntas?

 



resposta: Resolução:
a) Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 6}\,=\,6!\,=\,720\,$
b) T _ _ _ _ _
Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 5}\,=\,5!\,=\,120\,$
c) T _ _ _ _ A
Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I. O número procurado é $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$
d) Temos as possibilidades:
A _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
E _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
I _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
O _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas

Logo, ao todo teremos 120 + 120 + 120 + 120 = 480 anagramas
e) Se as vogais A, E, I, O devem estar juntas, então elas funcionam como "uma letra" que deve ser permutada com T e R.
Logo o número de permutações é: $\,P_{\large 3}\,=\,3!\,=\,6\,$.
Mas em cada uma dessas permutações as vogais podem permutar-se (entre elas mesmas) de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$ formas. Então o número de anagramas nas condições é: $\,6\,\centerdot\,24\,=\,144\,$

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Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante?

 



resposta: 480

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Dez pessoas, entre elas Amador e Bruna, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Amador e Bruna devem ficar sempre juntos?

 



resposta: Resolução:
Se Amador e Bruna devem ficar juntos é porque eles funcionam como uma única pessoa, que junto com as outras 8 devem ser permutadas, dando um total de 9! permutações.
Entretanto, em cada uma dessas permtuações, Amador e Bruna podem ser permutados entre si (AB ou BA) de 2! = 2 formas.
O total de permutações em que eles aparecem juntos (AB ou BA) é : $\,2\,\centerdot\,9!\,$

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De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se:
a)
os homens devem ficar todos juntos.
b)
os homens devem ficar todos juntos e as mulheres também?

 



resposta: a) 17 280
b) 5 760

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Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas?

 



resposta: 28 800
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De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas delas (Geraldo e Francisco) se recusam a sentar um ao lado do outro?

 



resposta: 480
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Temos uma estante de 15 livros, dos quais 4 são de Matemática. De quantas formas podemos colocá-los em ordem na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos?

 



resposta: $\,4!\centerdot\,12!\,$

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Calcular $\,P_1,\;P_2,\;P_3,\;P_4\,$

 



resposta: 1, 2, 6, 24
Resolução:
$\,P_1\;=\;1!\;=\;1\,$
$\,P_2\;=\;2!\;=\;2\,$
$\,P_3\;=\;3!\;=\;6\,$
$\,P_4\;=\;4!\;=\;24\,$

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a)
Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra ORIGEM ?
 
b)
Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com O ?
 
c)
Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com vogal?
 
d)
Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com vogal e terminam com consoante?
 
e)
Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que começam e terminam com vogal?
 
f)
Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que começam com vogal ou terminam com consoante?
 
g)
Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM que possuem as letras ORI juntas, porém em qualquer ordem?
 
h)
Quantos são, no total, os anagramas da palavra ORIGEM em que nunca aparecem juntas duas vogais nem duas consoantes?
 

 



resposta:
a)
720
b)
120
c)
360
d)
216
e)
144
f)
504 anagramas
g)
144 anagramas
h)
72 anagramas

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Se colocarmos em ordem estritamente crescente todos os números de cinco algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61 473 é:
a)
44º
b)
45º
c)
75º
d)
76º
e)
82º

 



resposta: (D)
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(MAUÁ LINS) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática (distintos), 3 de Português (distintos) e 4 de Física (distintos) de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso os de Física fiquem, entre si, sempre numa certa ordem?

 



resposta:
Resolução:
1.
podemos permutar os livros de matémática de $P_2$ maneiras.
2.
podemos permutar os livros de português de $P_3$ maneiras.
3.
os livros de física têm sempre a mesma ordem, são organizados de 1 maneira.
4.
os 3 grupos de livros, uma vez agrupados por matéria, podem ser permutados (os grupos) de $P_3$ maneiras.
5.
portanto, podemos ordenar de $\phantom{X}P_2\,\centerdot\,P_3\,\centerdot\,1\,\centerdot\,P_3\;=$ $2!\,\centerdot\,3!\,\centerdot\,1\,\centerdot\,3!\;=\;72\phantom{X}$ maneiras
Resposta:
Podemos organizar os livros de 72 maneiras.
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a)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
b)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos e em ordem crescente, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
c)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos e em ordem decrescente, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?

 



resposta: a) 180 b) 20 c) 35
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Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra PERERECA ?
a)
1820
b)
3360
c)
4032
d)
7200
e)
40320

 



resposta: (B)
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Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra PERERECA que começam com as três letras ERE , nessa ordem.

 



resposta: 120
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Qual o número total de maneiras de dispor 5 pessoas em torno de uma mesa circular de 5 lugares?

 



resposta: $\phantom{X}\sideset{}{_5^o}P \;=\;(5\,-\,1)!\;=\;24\phantom{X}$
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Veja exercÍcio sobre:
análise combinatória
permutações
permutação
xadrez