(ITA - 2012) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a:
(ITA - 2012) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a
Cinco pessoas querem acomodar-se em um automóvel de cinco lugares. De quantas maneiras isso poderá ser feito?
resposta: Resolução:
Sempre haverá cinco pessoas dentro do carro. Elas podem somente trocar de assento. Trata-se então de uma permutação. $\,P_{\large 5}\,=\,5!\,=\,5\centerdot 4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1\,=\, 120\,$
Quatro livros diferentes de Matemática, seis de Física e dois de Química dever ser arrumados em uma prateleira. Quantas arrumações diferentes podem ser feitas se:
a)
os livros de cada matéria devem ficar juntos?
b)
apenas os de matemática devem ficar juntos?
resposta:
Resolução:
a)
Os livros de Matemática podem ser arrumados entre si de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,$ modos; os de Física de $\,P_{\large 6}\,=\,6!\,$ modos; os de Química de $\,P_{\large 2}\,=\,2!\,$ modos, e os três grupos de $\,P_{\large 3}\,=\,3!\,$ modos. Então, o nº de arrumações que podem ser feitas é dado por $\,4!\centerdot 6!\centerdot 2\centerdot 3!\,=207360\,$
b)
Consideramos os quatro livros de Matemática como sendo um único. Então existem 9 livros que podem ser arrumados de $\,P_{\large 9}\,=\,9!\,$ modos. Em todas essas maneiras, os livros de Matemática estão juntos, mas esses livros podem ser arrumados de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,$ modos entre si. Então o nº total de arrumaçoes é dado por: $\,9!\centerdot 4!\,=\,8709120\,$
Em um "horário especial" um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios comerciais. Se existirem 7 diferentes tipos de anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 nos intervalos destinados a eles?
(COMSART - 1973) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras, dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens?
(ITA - 1977) Consideremos $\,m\,$ elementos distintos. Destaquemos $\,k\,$ dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles $\,m\,$ elementos tomados $\,n\,$ a $\,n\;(A_{\Large m,n})\,$ podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, $\,r\;(r\,<\,n)\,$ dos $\,k\,$ elementos destacados?
(CESCEA - 1967) No jogo de loto, de uma urna contendo 90 pedras numeradas de 1 a 90, quatro pedras são retiradas sucessivamente; o número de extrações possíveis tal que a terceira pedra seja 80 será:
Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
resposta: Resolução: a) Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 6}\,=\,6!\,=\,720\,$ b) T _ _ _ _ _ Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 5}\,=\,5!\,=\,120\,$ c) T _ _ _ _ A Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I. O número procurado é $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$ d) Temos as possibilidades:
A _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
E _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
I _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
O _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
Logo, ao todo teremos 120 + 120 + 120 + 120 = 480 anagramas e) Se as vogais A, E, I, O devem estar juntas, então elas funcionam como "uma letra" que deve ser permutada com T e R. Logo o número de permutações é: $\,P_{\large 3}\,=\,3!\,=\,6\,$. Mas em cada uma dessas permutações as vogais podem permutar-se (entre elas mesmas) de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$ formas. Então o número de anagramas nas condições é: $\,6\,\centerdot\,24\,=\,144\,$
Dez pessoas, entre elas Amador e Bruna, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Amador e Bruna devem ficar sempre juntos?
resposta:
Resolução: Se Amador e Bruna devem ficar juntos é porque eles funcionam como uma única pessoa, que junto com as outras 8 devem ser permutadas, dando um total de 9! permutações. Entretanto, em cada uma dessas permtuações, Amador e Bruna podem ser permutados entre si(AB ou BA) de 2! = 2 formas.
O total de permutações em que eles aparecem juntos (AB ou BA) é : $\,2\,\centerdot\,9!\,$
Temos uma estante de 15 livros, dos quais 4 são de Matemática. De quantas formas podemos colocá-los em ordem na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos?
Se colocarmos em ordem estritamente crescente todos os números de cinco algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61 473 é:
(MAUÁ LINS) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática (distintos), 3 de Português (distintos) e 4 de Física (distintos) de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso os de Física fiquem, entre si, sempre numa certa ordem?
resposta:
Resolução:
1.
podemos permutar os livros de matémática de $P_2$ maneiras.
2.
podemos permutar os livros de português de $P_3$ maneiras.
3.
os livros de física têm sempre a mesma ordem, são organizados de 1 maneira.
4.
os 3 grupos de livros, uma vez agrupados por matéria, podem ser permutados (os grupos) de $P_3$ maneiras.
5.
portanto, podemos ordenar de $\phantom{X}P_2\,\centerdot\,P_3\,\centerdot\,1\,\centerdot\,P_3\;=$ $2!\,\centerdot\,3!\,\centerdot\,1\,\centerdot\,3!\;=\;72\phantom{X}$ maneiras
Quantos números naturais, de três algarismos distintos, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
b)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos e em ordem crescente, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
c)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos e em ordem decrescente, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
